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(共19张PPT)
2026年湖南省中考数学 复习提升-
第一章 数与代数
1.1　数与式
1.1.4　分　式
达标训练
基础检测
典例精讲
1.(2025 云南)函数y＝的自变量x的取值范围为(　　)
A.x≠4 B.x≠3
C.x≠2 D.x≠1
D
2.已知两个不等于0的实数a，b满足a＋b＝0，则＋的值为(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
3.计算－的结果为(　　)
A.2 B.2a－b
C. D.
A
A
4.(2025 湖南) 约分：＝　　　　.
5.(2024 威海)计算：＋＝　　 .
6.(2025 安徽)先化简，再求值：÷，其中x＝3.
x2
－x－2
1
达标训练
基础检测
典例精讲
第一章 数与代数
1.1　数与式
1.1.4　分　式
【例1】 (1)若分式的值为零，则x的值为(　　)
A.0 B.1
C.－1 D.±1
C
(2)下列运算过程中，开始出现错误的步骤是(　　)

A.① B.②
C.③ D.④
(3)(2025 内蒙古) ＝　　　　　　.　
B
【例2】 已知a2＋3ab＋b2＝0(a≠0，b≠0)，求代数式＋的值.
－3
－2
【例3】 若x2＋3x＝－1，则x－＝　　　　.
【例4】 先化简，再求值： ＋，其中x＝1＋.
【例5】 分子为1的真分数叫作“单位分数”，也叫“埃及分数”.古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：＝＋.
(1)请将拆分成两个单位分数相加的形式.
(2)对于任意奇数k(k＞2)，将拆分成两个不同单位分数相加的形式.
＝＋
＝＋
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第一章 数与代数
1.1　数与式
1.1.4　分　式
一、选择题
1.计算÷的结果为(　　)
A.1 B.
C. D.
B
2.化简的结果为(　　)
A.－1 B.1
C. D.
3.(2025 河南)化简－的结果是(　　)
A.x＋1 B.x
C.x－1 D.x－2
D
A
4.已知A为整式，若计算－的结果为，则A＝(　　)
A.x B.y
C.x＋y D.x－y
A
5.照相机成像应用了一个重要原理，可用公式＝＋(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f，v，则u＝(　　)
A.
C.
C
二、填空题
6.(2025 广西)写出一个使分式有意义的x的值，可以是
　 　 　　.
7.化简：÷＝　　 　　.
8.已知＋＝1，且a≠－b，则的值为　　.
2(答案不唯一)
1
9.已知x＋＝6，则x2＋＝　　　.
10.(2024 眉山)已知a1＝x＋1(x≠0且x≠－1)，a2＝，a3＝，…，an＝，则a2 024的值为　　　　.
34　
－
三、解答题
11.(2024 乐山)先化简，再求值：－，其中x＝3.小乐同学的计算过程如下：
解：－＝－ ①
＝－ ②
＝ ③
＝ ④
＝. ⑤
当x＝3时，原式＝1.
(1)小乐同学的解答过程中，第　　　　步开始出现错误.
(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程.
③
12.(2025 福建)先化简，再求值：÷，其中a＝－1.
1
13.(2025 北京)已知a＋b－3＝0，求代数式的值.
14.已知x2－x－1＝0，求代数式÷的值.(共30张PPT)
2026年湖南省中考数学 复习提升-
第一章 数与代数
1.1　数与式
1.1.1　实　数
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基础检测
典例精讲
1.(2025 湖南)下列四个实数中，最大的数是(　　)
A.3.5 B.
C.0 D.－1
A
2.(2024 湖南)据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家.将4 015 000用科学记数法表示应为(　　)
A.0.401 5×107 B.4.015×106
C.40.15×105 D.4.015×107
B
3.(2024 湖北)在生产生活中，正数和负数都有现实意义.例如收入20元记作＋20元，则支出10元记作(　　)
A.＋10元 B.－10元
C.＋20元 D.－20元
B
4.(2024 广元)将－1在数轴上对应的点向右平移2个单位长度，则此时该点对应的数是(　　)
A.－1 B.1
C.－3 D.3
B
5.(2025 陕西)满足＜a＜5的整数a可以是　 　　　(写出一个符合题意的数即可).
3(答案不唯一)
6.计算：
(1)(2025 湖南)0＋－tan 45°.
(2)(2024 广东)20×＋－3－1.　
1
2
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第一章 数与代数
1.1　数与式
1.1.1　实　数
【例1】 (1)(2024 绥化)实数－的相反数是(　　)
A.2 025 B.－2 025
C.－ D.
D
(2)(2024 云南)中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若向北运动100 m记作＋100 m，则向南运动100 m可记作(　　)
A.100 m B.－100 m
C.200 m D.－200 m
B
(3)已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5 kg，收费13元；超过5 kg的部分每千克加收2元.圆圆在该快递公司寄一件8 kg的物品，需要付费(　　)
A.17元 B.19元
C.21元 D.23元
B
(4)若｜m－3｜＋(n＋2)2＝0，则m＋2n的值为(　　)
A.－4 B.－1　　
C.0 D.4
B
(5)(2025 北京)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(　　)

A.a＞－1 B.a＋b＝0
C.a－b＞0 D.＞
D
(6)(2024 广元)2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”.什么是阿秒？1阿秒是10－18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一.目前世界上最短的单个阿秒光脉冲是43阿秒.将43阿秒用科学记数法表示为　　 　　秒.
4.3×10－17
【例2】 (1)(2024 福建)下列实数中，为无理数的是(　　)
A.－3 B.0
C. D.
D
(2)(2024 内江)16的平方根是(　　)
A.－4 B.4　　
C.2 D.±4
D
(3)(2025 天津)估计1＋的值在(　　)
A.1和2之间 B.2和3之间
C.3和4之间 D.4和5之间
C
【例3】 计算：
(1)(－3)×4＋(－2)2.
－8
1－
2
(3)＋tan 45°－30.
(2)｜2－｜－(－2)2×.　
【例4】 设［x］表示不超过x的最大整数，计算：
［］ ｜－［］｜＋2.
4
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第一章 数与代数
1.1　数与式
1.1.1　实　数
一、选择题
1.(2025 烟台)的倒数是(　　)
A.3 B.
C.－3 D.－
B
2.(2025 江西)下列各数中，是无理数的是(　　)
A.0 B.
C.3.14 D.
B
3.(2024 山东)下列实数中，平方最大的数是(　　)
A.3 B.
C.－1 D.－2
A
4.(2025 河南)通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s，比蜗牛爬行的速度还慢.数据0.000 074用科学记数法表示为(　　)
A.0.74×10－4 B.7.4×10－4
C.7.4×10－5 D.74×10－6
C　
5.(2024 南充)如图，在数轴上表示的点是(　　)

A.点A B.点B
C.点C D.点D
C
6.(2024 河北)如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是(　　)
A B
C D
A
7.(2024 包头)若m，n互为倒数，且满足m＋mn＝3，则n的值为(　　)
A. B.
C.2 D.4
B
8.下列计算正确的是(　　)
A.30＝0 B.－｜－3｜＝－3
C.3－1＝－3 D.＝±3
B
9.(2024 广东)完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是
(　　)
A.2 B.5
C.10 D.20
B
10.如图，矩形OABC的边OA的长为2，边AB的长为1，OA在数轴上.以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是(　　)

A.2.5 B.2
C.
D
二、填空题
11.(2025 长春)8的立方根是　　.
12.化简：＝　　.
13.(2024 成都)若m，n为实数，且(m＋4)2＋＝0，则(m＋n)2的值为　　.
14.(2025 辽宁)在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量0.02 g记作＋0.02 g，那么低于标准质量0.01 g记作　　　　g.
2
4
1
－0.01
三、解答题
15.计算：
(1)＋(－1)2 024.
3
2
2
(3)＋－12－2－0.
(2)22－tan 60°＋｜－1｜－(3－π)0.
16.(2025 安徽改编)对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0，则m＝；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n＋1.这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”.对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推.例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8.根据8除以3的余数为2，由8＋1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9.根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为3.
(1)若对正整数15进行三次变换得到的数为w，求w的值.
2
11
(2)若对正整数n进行二次变换得到的数为1，求所有满足条件的n的值之和.(共18张PPT)
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第一章 数与代数
1.1　数与式
1.1.5　二次根式
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1.(2025 内江)在函数y＝中，自变量x的取值范围是(　　)
A.x≥2 B.x≤2
C.x＞2 D.x＜2
A
2.将化为最简二次根式，其结果是(　　)
A.
C.
D
3.(2025 湖南) 化简＝　　　　.
4.请写出一个正整数m的值使得是整数.m＝　　　 　.
5.(2024 河南)计算：×－(1－)0.
2
8(答案不唯一)
9
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第一章 数与代数
1.1　数与式
1.1.5　二次根式
【例1】 (1)若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是(　　)
A.m＞1 B.m≥1
C.m＞－2 D.m＞－2且m≠1
(2)(2025 安徽)下列计算正确的是(　　)
A.＝－a B.＝－a
C.a3 2＝a4 D.3＝a6
B
B
(3)已知xy＜0，则化简后为(　　)
A.x B.－x
C.x D.－x
(4)若＋(y＋3)2＝0，则x－y的值为(　　)
A.1 B.－1
C.7 D.－7
B　
C
【例2】 计算：
(1)(2025 湖北)－×＋22.
(2)(＋－1)(－＋1).
6
2
【例3】 若整数m满足条件＝m＋1，且m＜，则m的值是　　　　 .
【例4】 已知a＝2＋，b＝2－，试求－的值.
－1，0
8
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第一章 数与代数
1.1　数与式
1.1.5　二次根式
一、选择题
1.下列运算正确的是(　　)
A.＋＝3 B.4－＝4
C.×＝÷＝4
C
2.若a＝，b＝，则的值为(　　)
A.2 B.4
C.
3.(2024 盐城)矩形相邻两边长分别为 cm， cm，设其面积为Scm2，则S在哪两个连续整数之间(　　)
A.1和2 B.2和3
C.3和4 D.4和5
A
C
4.设6－的整数部分为a，小数部分为b，则(2a＋)b的值是(　　)
A.6 B.2　　
C.12 D.9
5.(2024 乐山)已知1＜x＜2，化简＋的结果为(　　)
A.－1 B.1
C.2x－3 D.3－2x
A
B
6.实数a在数轴上的位置如图所示，则化简＋的结果为(　　)

A.7 B.－7
C.2a－15 D.无法确定
A
7.(2024 德阳)将一组数，2，，2，，2，…，，…，按以下方式进行排列：
第一行
第二行2　　
第三行2　　2
则第八行左起第1个数是(　　)
A.7 B.8　　
C. D.4
C
二、填空题
8.(2025 陕西)计算：×＋－0＝　　 .
9.(2023 聊城)计算：－3 ÷＝　　.
10.对于任意两个不相等的实数a，b，定义一种新运算“ ”：a b＝.如：3 2＝＝.则12 4的值为　　.
7
3
三、解答题
11.计算：
(1)(2025 自贡改编)－3.
(2)(2025 甘肃改编)×－×.　　
(3)｜1－｜＋240＋－(1－)0.
0
2
12.先化简，再求值：÷，其中x＝－1.
1－(共16张PPT)
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第一章 数与代数
1.1　数与式
1.1.3　因式分解
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1.分解因式：mx－2my＝　 　　　.
2.因式分解：m2－16＝　　 　　.
3.分解因式：3a2＋6ab＋3b2＝　　　　.
4.分解因式：4a2－1＝(　　)
A.(2a－1)(2a＋1) B.(a－2)(a＋2)
C.(a－4)(a＋1) D.(4a－1)(a＋1)
m(x－2y)
(m＋4)(m－4)
3(a＋b)2
A
5.(2024 云南)分解因式：a3－9a＝(　　)
A.a(a－3)(a＋3) B.a(a2＋9)
C.(a－3)(a＋3) D.a2(a－9)
6.分解因式：(x－1)2＋2(x－5).
A
(x＋3)(x－3)
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第一章 数与代数
1.1　数与式
1.1.3　因式分解
【例1】 (1)下列因式分解正确的是(　　)
A.2a2－4a＋2＝2(a－1)2 B.a2＋ab＋a＝a(a＋b)
C.4a2－b2＝(4a＋b)(4a－b) D.a3b－ab3＝ab(a－b)2
A
D　
(2)下列因式分解不正确的是(　　)
A.m2－16＝(m－4)(m＋4) B.m2＋4m＝m(m＋4)
C.m2－8m＋16＝(m－4)2 D.m2＋3m＋9＝(m＋3)2
(3)若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n的值为(　　)
A.1 B.－2
C.－1 D.2
C
【例2】 (1)若m－n＝2，m＋n＝5，则m2－n2的值为　　　　.
10
(2)规定一种新的运算：a b＝a2－ab，则2 026 2 025＝　　　　.
2 026
【例3】 将下列多项式进行因式分解：
(1)x4－1.
(2)2mx2－4mxy＋2my2.
(3)16－8(x－y)＋(x－y)2.
(4)(x＋2)(x－2)＋2xy＋y2.
(x－1)(x＋1)(x2＋1)
2m(x－y)2
(x－y－4)2
(x＋y＋2)(x＋y－2)
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第一章 数与代数
1.1　数与式
1.1.3　因式分解
一、选择题
1.若关于x的二次三项式x2＋ax＋是完全平方式，则a的值是(　　)
A.－1 B.1
C.±1 D.
C
2.下列各式从左到右的变形是因式分解且正确的是(　　)
A.(a＋3)2＝a2＋6a＋9
B.(a－2)(a＋2)＝a2－4
C.5ax2－5ay2＝5a(x＋y)(x－y)
D.a2－2a－8＝(a－2)(a＋4)
C
3.把多项式x2(x－2)－16(x－2)分解因式，结果正确的是(　　)
A.(x－2)(x2－16)　　
B.(x－4)(x＋4)
C.(x－2)(x－4)2　　
D.(x－2)(x－4)(x＋4)
D
4.若(7x－a)2＝49x2－bx＋9，则｜a＋b｜的值是(　　)
A.45 B.39
C.24 D.18
5.将代数式x2＋4x－1化成(x＋p)2＋q的形式为(　　)
A.(x－2)2＋3 B.(x＋2)2－4
C.(x＋2)2－5 D.(x＋2)2＋4
A
C
二、填空题
6.把下列多项式进行因式分解：
(1)因式分解：a2＋13a＝　　　 　.
(2)分解因式：7m2－28＝　　　 　.
(3)(x＋2)(x＋4)＋1＝　　　 　.
a(a＋13)
7(m＋2)(m－2)
(x＋3)2
7.若x3－4x2－12x＝x(x－6)(x＋m)，则m＝　.　
8.(2025 成都)多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是　　　 　　(填一个即可).
2
4x(答案不唯一)
三、解答题
9.如果a＋b＝3，ab＝1，求a3b＋2a2b2＋ab3的值.
9　
8
10.已知实数m满足m2－m－1＝0，求2m3－3m2－m＋9的值.
11.(2024 福建)已知实数a，b，c，m，n满足3m＋n＝，mn＝.
(1)求证：b2－12ac为非负数.
略
m，n不可能都为整数.理由略.
(2)若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由.(共20张PPT)
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第一章 数与代数
1.1　数与式
1.1.2　整　式
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1.(2024 内江)下列单项式中，是ab3的同类项的是(　　)
A.3ab3 B.2a2b3
C.－a2b2 D.a3b
2.(2025 吉林)计算3的结果为(　　)
A.2a5 B.2a6
C.8a5 D.8a6
A
D
3.(2024 湖南)下列计算正确的是(　　)
A.3a2－2a2＝1
B.a3÷a2＝a(a≠0)
C.a2·a3＝a6
D.(2a)3＝6a3
4.(2025 长春)已知x2＋2x＝4，则代数式7－x2－2x的值为　　　　.
5.先化简，再求值：(a＋1)(a－1)＋a2＋1，其中a＝.
B
3
6
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第一章 数与代数
1.1　数与式
1.1.2　整　式
【例1】 (1)(2025 长沙) 智慧农业广泛应用智能机器人.某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果.若该机器人搭载m个机械手(m＞1)，则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为(　　)
A.6m B.m＋10
C.60m D.10m
D
(2)(2024 河北)下列运算正确的是(　　)
A.a7－a3＝a4 B.3a2 2a2＝6a2
C.(－2a)3＝－8a3 D.a4÷a4＝a
(3)按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是　　　　.
C
－26
【例3】 先化简，再求值：
(1)(2025 湖南)＋x，其中x＝6.
2
3
(2)［(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)］÷2b，其中a＝2，b＝－1.
【例2】 已知x－1＝，求代数式(x＋1)2－4(x＋1)＋4的值.
3
【例4】 (1)观察等式：2＋22＝23－2，2＋22＋23＝24－2，2＋22＋23＋24＝25－2，……
已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是　　　　.
m2－m
【例5】 【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
(1)第n个图案中，“ ”的个数为　　.
3n
(2)第1个图案中，“ ”的个数可表示为；第2个图案中，“ ”的个数可表示为；第3个图案中，“ ”的个数可表示为；第4个图案中，“ ”的个数可表示为；…；第n个图案中，“ ”的个数可表示为　　　　　　.
【规律应用】
(3)结合图案中“ ”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1＋2＋3＋…＋n等于第n个图案中“ ”的个数的2倍.
11
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第一章 数与代数
1.1　数与式
1.1.2　整　式
一、选择题
1.(2025 上海)用代数式表示a与b差的平方，正确的是(　　)
A.a2－b2 B.2
C.a2－b D.a－b2
2.(2025 湖南) 计算a3 a4的结果是(　　)
A.2a7 B.a7
C.2a4 D.a12
B
B
3.若a＞0且ax＝2，ay＝3，则ax－y的值为(　　)
A.－1 B.1
C.
4.下列运算正确的是(　　)
A.2a＋a2＝2a3 B.6a2b－a2＝6b
C.7＝a7b7 D.－＝
C
C
5.按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，…，第n个代数式是(　　)
A.2xn B.(n－1)xn
C.nxn＋1 D.(n＋1)xn
D
二、填空题
6.(2025 山西)近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入.某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元.该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了　　　　元(用含a的代数式表示).
60a
7.(2025 自贡)若2a＋b＝－1，则4a2＋2ab－b的值为　　 .
8.(2024 广州)如图，把电阻为R1，R2，R3的三个电阻器串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1＋IR2＋IR3.当R1＝20.3 Ω，R2＝31.9 Ω，R3＝47.8 Ω，I＝2.2 A时，U的值为　　　　V.
1
220
9.若实数x满足x2－2x－1＝0，则x2＋＝　　.
10.(2025 河南)观察2x，4x2，6x3，8x4，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为　　　　　.
11.对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝　　 .
10
2nxn
－3或4
三、解答题
12.先化简，再求值：
(1)(2024 陕西)(x＋y)2＋x(x－2y)，其中x＝1，y＝－2.
6
29
(2)(2024 乐山)已知a－b＝3，ab＝10，求a2＋b2.
13.观察下列式子：
12－1×0＝1，22－2×1＝2，32－3×2＝3，42－4×3＝4，52－5×4＝5；……
(1)请按以上规律，写出第6个等式：　　　　　　.
62－6×5＝6
(2)用含字母n(n为正整数)的式子表示第n个等式，并说明其成立的理由.
解：第n个等式为n2－n(n－1)＝n.理由如下：因为n2－n(n－1)＝n2－(n2－n)＝n2－n2＋n＝n，所以第n个等式成立.

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