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(共27张PPT)
2026年湖南省中考数学 复习提升
- 第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.4　二次函数
第2课时　二次函数的图象及其应用
达标训练
基础检测
典例精讲
1.(2025 威海)已知点，，都在二次函数y＝－2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2
C.y2＞y1＞y3 D.y3＞y2＞y1
C
2.(2024 贵州)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是(　　)
A.二次函数图象的对称轴是直线x＝1
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C.当x＜－1时，y随x的增大而减小
D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
D
3.(2024 广州)函数y1＝ax2＋bx＋c与y2＝的图象如图所示，当　　　时，y1，y2均随着x的增大而减小(　　)
A.x＜－1
B.－1＜x＜0
C.0＜x＜2
D.x＞1
D
4.已知点(－m，0)和(3m，0)在二次函数y＝ax2＋bx＋3(a，b是常数，a≠0)的图象上.
(1)当m＝－1时，求a和b的值.
(2)求证：b2＋4a＝0.
a＝－1，b＝－2
略
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第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.4　二次函数
第2课时　二次函数的图象及其应用
【例1】 (1)抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是(　　)
A.m＜2 B.m＞2
C.0＜m≤2 D.m＜－2
A
(2)(2023 安徽)已知反比例函数y＝(k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y＝－x＋b的图象如图所示，则函数y＝x2－bx＋k－1的图象可能为(　　)
A　 B C D
A
(3)(2025 山东)在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(cm/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x＜1 000)内，y与x近似成一次函数关系.在中高光照强度范围内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是(　　)
A.当x≥1 000时，y随x的增大而减小　　
B.当x＝2 000时，y有最大值
C.当y≥0.6时，x≥1 000　　
D.当y＝0.4时，x＝600
B
(4)(2024 齐齐哈尔)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋2
(a≠0)的图象与x轴交于(－1，0)，(x1，0)，其中2＜
x1＜3.结合图象给出下列结论：
①ab＞0；②a－b＝－2；
③当x＞1时，y随x的增大而减小；
④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0(a≠0)的另一个根是－；
⑤b的取值范围为1＜b＜.
其中正确结论的个数是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
C
【例2】 (2025 新疆)天山胜利隧道于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展.如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分.若隧道底部宽12 m，高8 m，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数解析式.
y＝－(x－6)2＋8(0≤x≤12)
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 m，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2 m(中心线宽度不计).若宽3 m，高3.5 m的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由.
能安全通过.理由略
【例3】 (2024 安徽)已知抛物线y＝－x2＋bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y＝－x2＋2x的顶点横坐标大1.
(1)求b的值.
(2)点A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋2x上，点B(x1＋t，y1＋h)在抛物线y＝
－x2＋bx上.
①若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
②若x1＝t－1，求h的最大值.
4
3
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第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.4　二次函数
第2课时　二次函数的图象及其应用
一、选择题
1.(2024 湖北)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为(－1，－2)，抛物线与y轴的交点位于x轴上方.以下结论正确的是(　　)
A.a＜0　　
B.c＜0
C.a－b＋c＝－2　　
D.b2－4ac＝0
C
2.(2025 安徽)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则
(　　)
A.abc＜0
B.2a＋b＜0
C.2b－c＜0
D.a－b＋c＜0
第2题图
C
3.(2025 凉山)二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，其对称轴为x＝2，且图象经过点，则下列结论错误的是(　　)
A.bc＞0　　
B.4a＋b＝0
C.若a＋bx1＝a＋bx2且x1≠x2，则x1＋x2＝4
第3题图
D.若，两点都在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上，则y2＜y1
D
4.如图，函数y＝ax2－4x＋2和y＝－ax＋2(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(　　)
A　 B C D
A
5.(2025 东营)如图①，在矩形ABCD中，BC＝4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F.设BE＝x，CF＝y，图②是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则AB的长为(　　)
A.5
B.6　　
C.7
D.8
A
图① 　　图②
6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(－3，0)与(1，0)两点，关于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0(m＞0)有两个实数根，其中一个根是3.则关于x的方程ax2＋bx＋c＋n＝0(0＜n＜m)有两个整数根，这两个整数根是
(　　)
A.－2和0 B.－4和2
C.－5和3 D.－6和4
B
7.定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形OABC中，点A(0，2)，点C(2，0)，则互异二次函数y＝(x－m)2－m与正方形OABC有交点时，m的最大值和最小值分别是(　　)
A.4，－1
B.，－1
C.4，0
D.，－1
D
二、填空题
8.(2024 内江)已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，则y1　　y2(填“＞”或“＜”).
9.已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是　　　 　.
＜
2≤t≤4
10.(2023 福建)已知抛物线y＝ax2－2ax＋b(a＞0)经过A(2n＋3，y1)，B(n－1，y2)两点.若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是　 　　　.
－1＜n＜0
三、解答题
11.(2025 福建)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx－2的图象过点A(1，t)，B(2，t).
(1)求的值.
－3
(2)已知二次函数y＝ax2＋bx－2的最大值为1－a2.
①求该二次函数的表达式.
②若M，N为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0.求证：＝.
y＝－x2＋3x－2
略
12.(2024 武汉)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行到一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2＋x和直线y＝－x＋b.其中，当火箭运行的水平距离为9 km时，自动引发火箭的第二级.
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km.　
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km，求这两个位置之间的距离.
a＝－，b＝8.1
8.4 km
(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过
15 km.
－＜a＜0(共14张PPT)
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- 第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.4　二次函数
第3课时　二次函数与几何的综合应用
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(2023 株洲)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其中点A，C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A(t，0)，点P(1，2)在函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上.
(1)求k的值.
2
(2)连接BP，CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S－2t2，求T的最大值.
1
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第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.4　二次函数
第3课时　二次函数与几何的综合应用
【例1】 已知函数y＝的图象如图所示，点A(x1，y1)在第一象限内的函数图象上.
(1)若点B(x2，y2)也在上述函数图象上，满足x2＜x1.
①当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值.
②若｜x2｜＝｜x1｜，设w＝y1－y2，求w的最小值.
x1＝2，x2＝－4
－
(2)过点A作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，过点A作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.
(0，)
【例2】 (2025 湖南)如图，已知二次函数y＝ax的图象过点A，连接OA，点P，Q，R，是此二次函数图象上的三个动点，且0＜x3＜x1＜x2＜2，过点P作PB∥y轴交线段OA于点B.
(1)求此二次函数的表达式.
y＝－x2＋2x
图① 　图②
(2)如图①，点C，D在线段OA上，且直线QC，RD都平行于y轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答：
①当PB＞QC时，求证：x1＋x2＞2.
②当PB＞RD时，求证：x1＋x3＜2.
图① 　
略
(3)如图②，若x2＝x1，x3＝x1，延长PB交x轴于点T，射线QT，TR分别与y轴交于点Q1，R1，连接AP，分别在射线AT，x轴上取点M，N(点N在点T的右侧)，且∠AMN＝∠PAO，MN＝2.记t＝R1Q1－ON，试探究：当x1为何值时，t有最大值？并求出t的最大值.
图②
当x1＝时，t的最大值为.
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第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.4　二次函数
第3课时　二次函数与几何的综合应用
1.(2024·湖南)已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5).点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点.
(1)求此二次函数的表达式.
图①　 图②
y＝－x2＋9　
(2)如图①，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ.若x2＝x1＋3，求证：的值为定值.
图①
略
(3)如图②，点P在第二象限，x2＝－2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1－1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值.
图②
2.(2025 天津)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a＜0，b＞0).
(1)当a＝－1，b＝2，c＝3时，求该抛物线顶点P的坐标.
P(1，4)　
(2)点A(－1，0)和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点.
①当a＝－2时，若点D在抛物线上，∠CAD＝90°，AC＝AD，求点D的坐标.
②若点B，∠CAB＝2∠ABC，以AC为边的 ACEF的顶点F在抛物线的对称轴l上，当CE＋CF取得最小值为2时，求顶点E的坐标.
(，－1)
(，)(共25张PPT)
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- 第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.4　二次函数
第1课时 二次函数的概念、性质及其应用
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1.(2024 包头)将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为(　　)
A.y＝(x＋1)2－3
B.y＝(x＋1)2－2
C.y＝(x－1)2－3
D.y＝(x－1)2－2
A
2.已知二次函数y＝x2－2x－1，当0≤x≤3时，函数的最大值为(　　)
A.－2 B.－1
C.0 D.2
D
3.(2024 天津)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6).有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6 s；
②小球运动中的高度可以是30 m；
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.
其中，正确结论的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
C
4.(2025 连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a2＋2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB为
　 m.
8
5.已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1.求h的值.
1或6
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第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.4　二次函数
第1课时 二次函数的概念、性质及其应用
【例1】 (1)已知点A，B在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是(　　)
A.1＜y1＜y2 B.y1＜1＜y2
C.1＜y2＜y1 D.y2＜1＜y1
A
(2)(2024 齐齐哈尔)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下作正方形EFGH，设点E运动的路程为x(0＜x＜12)，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y.下列图象能反映y与x之间函数关系的是(　　)
A　 B C D
A
(3)(2024 陕西)已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是(　　)
A.图象的开口向上
B.当x＞0时，y的值随x的值增大而增大
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线x＝1
D
【例2】 若一个点的坐标满足(k，2k)，我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于x的二次函数y＝(t＋1)x2＋(t＋2)x＋s(s，t为常数，t≠－1)总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是　　　　 .
－1＜s＜ 0
【例3】 (2024 贵州)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值.
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
日销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y与x的函数表达式.
y＝－2x＋80
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
日销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元.
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值.
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
日销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
2
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第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.4　二次函数
第1课时 二次函数的概念、性质及其应用
一、选择题
1.(2024 达州)抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是(　　)
A.b＋c＞1 B.b＝2
C.b2＋4c＜0 D.c＜0
A
2.已知抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋mx＝5的解是(　　)
A.x1＝0，x2＝4 B.x1＝1，x2＝5
C.x1＝1，x2＝－5 D.x1＝－1，x2＝5
D
3.(2025 齐齐哈尔)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形的面积(即阴影部
分)为y，点E运动的路程为x(x＞0).下列图象能反映y与x之间函数关系的是(　　)
A　 B C D
A
4.(2025 泸州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝－1时，y＞0，下列结论正确的是(　　)
A.2a＝b B.b2－4ac＜0
C.a－2b＋4c＜0 D.8a＋c＞0
D
二、填空题
5.(2025 上海)将函数y＝3x2的图象向下平移2个单位长度后，得到的新函数的解析式为　　 　　.
6.某广场要修一个圆形喷水池，计划在池中心竖直安装一根顶端带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心的水平距离为3 m，如图所示，那么水管的设计高度应为　　　　.
y＝3x2－2
2.25 m
第6题图
7.(2024 烟台)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
x －4 －3 －1 1 5
y 0 5 9 5 －27
下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根；③当－4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点(m，y1)，(－m－2，y2)均在该二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2＋(b＋1)x＋c＜2的x的取值范围是x＜－2或x＞3.其中正确结论的序号为　　　　 .
①②④
三、解答题
8.某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益yA(万元)与投入资金x(万元)的函数表达式为yA＝x，投资B项目一年后的收益yB(万元)与投入资金x(万元)的函数表达式为yB＝－x2＋2x.
(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
4万元
(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m(m＞0)万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
8
(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
投入A项目资金28万元，投入B项目资金4万元时，收益之和最大，为16万元
9.(2025 河南)在二次函数y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值如下表所示.
x … －2 0 1 …
y … －2 －2 1 …
(1)求二次函数的表达式.
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象.
y＝x2＋2x－2　
(－1，－3)　图略
(3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值.
1＋或4－(共23张PPT)
2026年湖南省中考数学 复习提升
- 第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.2　一次函数
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1.(2024 德阳)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是
(　　)
A.　　
B.－　　
C.－1　　
D.－
A
2.(2025 长春)已知点A，B在同一正比例函数y＝kx的图象上，则下列结论正确的是(　　)
A.y1＝－y2 B.y1＝y2
C.y2＞0 D.y1＜0
3.若三点(1，4)，(2，7)，(a，10)在同一直线上，则a的值为(　　)
A.－1 B.0
C.3 D.4
A
C
4.在一次函数y＝(k－2)x＋3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是
　　 (任写一个符合条件的数即可).
3(答案不唯一)
5.一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1 000 m.甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，匀速而行去目的地N，M.图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y(m)与行走时间x(min)的函数关系图象.
(1)求OA所在直线的表达式.
(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
y＝200x
min
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第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.2　一次函数
【例1】 (1)一次函数y＝x＋1的图象不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
(2)(2024 广东)已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx＋b的图象大致是(　　)
A　 B C D
B
(3)(2025 山西)氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得.某实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y与分解的水的质量x满足我们学过的某种函数关系.下表是一组实验数据，根据表中数据，可得到y与x之间的函数关系式为(　　)
水的质量x/g 4.5 9 18 36 45
氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5
A.y＝ B.y＝9x C.y＝x D.y＝
C
【例2】 甲、乙两人相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15 min到缆车站，再乘坐缆车到达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度y(m)与甲登山的时间x(min)之间的函数图象如图所示.
(1)当15≤x≤40时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式.
y＝12x－180(15≤x≤40)
(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度.
180 m
【例3】 如图，直线l：y＝x＋m与反比例函数y＝的图象交于点A.
(1)求一次函数和反比例函数解析式.
(2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接OA，OC，当∠1＝∠2时，求点C的坐标及直线l平移的距离.
一次函数：y＝x－2
反比例函数：y＝
C(2，6)　
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第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.2　一次函数
一、选择题
1.在平面直角坐标系中，一次函数y＝5x＋1的图象与y轴的交点的坐标为
(　　)
A.(0，－1) B.
C. D.(0，1)
D
2.(2025 成都)小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家(小明家、书店、体育馆依次在同一直线上)，如图表示的是小明离家的距离与时间的关系.下列说法正确的是
(　　)
A.小明家到体育馆的距离为2 km
B.小明在体育馆锻炼的时间为45 min
C.小明家到书店的距离为1 km
D.小明从书店到家步行的时间为40 min
C
3.(2024 陕西)一个正比例函数的图象经过点A(2，m)和点B(n，－6)，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为(　　)
A.y＝3x B.y＝－3x
C.y＝x D.y＝－x
A
4.(2025 安徽)已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点M，且y随x的增大而增大.若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是
(　　)
A.　 B.　
C.　 D.
D
5.(2024 河北)扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴.如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S.该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn.若m＝，则m与n关系的图象大致是(　　)
A　 B C D
C　
6.如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，点P是线段AB上任意一点(不包括端点).过点P分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形的周长为8.则该直线的函数表达式是(　　)
A.y＝－x＋4 B.y＝x＋4
C.y＝x＋8 D.y＝－x＋8
A
二、填空题
7.(2025 湖南)甲、乙两人在一次100 m比赛中，路程s(m)与时间t(s)的函数关系如图所示，填　　(“甲”或“乙”)先到终点.
甲
8.(2024 上海)某种商品的销售量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时销售额为1 000万元，当投入90万元时销售额为
5 000万元，则投入80万元时，销售额为　　　　万元.
9.(2024 苏州)直线l1：y＝x－1与x轴交于点A，将直线l1绕点A逆时针旋转15°，得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式是　 　　　.
4 500
y＝x－
10.在“探索一次函数y＝kx＋b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A(0，2)，B(2，3)，C(3，1).同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，y3＝k3x＋b3.分别计算k1＋b1，k2＋b2，k3＋b3的值，其中最大的值等于　　　　.
5
三、解答题
11.(2024 云南)A，B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢.某超市销售A，B两种型号的吉祥物，有关信息见下表：
型号 成本/(元/个) 销售价格/(元/个)
A 35 a
B 42 b
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元.
(1)求a，b的值.
型号 成本/(元/个) 销售价格/(元/个)
A 35 a
B 42 b
a＝40，b＝50
(2)若某公司计划从该超市购买A，B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x(单位：个)不少于B种型号吉祥物数量的，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值.
型号 成本/(元/个) 销售价格/(元/个)
A 35 a
B 42 b
564(共24张PPT)
2026年湖南省中考数学 复习提升
- 第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.1　平面直角坐标系与函数的有关概念
达标训练
基础检测
典例精讲
1.(2025 成都)在平面直角坐标系xOy中，点P所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
2.(2025 内江)在函数y＝中，自变量x的取值范围是(　　)
A.x≥2 B.x≤2
C.x＞2 D.x＜2
A
3.(2025 广东)在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y与骑行里程x之间的关系如图所示.当电池剩余能量小于100 W h时，摩托车将自动报警.根据图象，下列结论正确的是(　　)
A.电池能量最多可充400 W h
B.摩托车每行驶10 km消耗能量300 W h
C.一次性充满电后，摩托车最多行驶25 km
D.摩托车充满电后，行驶18 km将自动报警
C
4.下列各点在函数y＝2x－1图象上的是(　　)
A.(－1，3) B.(0，1)
C.(1，－1) D.(2，3)
D
5.如图，函数y＝kx＋b(k＜0)的图象经过点P，则关于x的不等式kx＋b＞3的解集为　　　　.
x＜－1
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基础检测
典例精讲
第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.1　平面直角坐标系与函数的有关概念
【例1】 (1)高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为106 m3土石方的任务.该运输公司平均运送土石方的速度v(单位：m3/天)与完成运送任务所需的时间t(单位：天)之间的函数关系式是
(　　)
A.v＝ B.v＝106t
C.v＝t2 D.v＝106t2
A
(2)(2024 广安)向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满.在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为y(单位：Pa)，时间为x(单位：s)，则y关于x的函数图象大致为(　　)
A　　　 B C　　　 D
B
(3)已知变量y与变量x之间的关系如下表所示，则下列说法中正确的个数是(　　)
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 2 4 9 12 16 21 24 27 22 16 11 3
①当x变化时，y的最大值为27；
②y的值先随x的增大而增大，然后随x的增大而减小；
③y可以看作是关于x的函数.
A.0 B.1
C.2 D.3
D
【例2】 某加油站推出促销活动，一张加油卡的面值是1 000元，打九折出售.使用这张加油卡加油，每升油的单价降低0.30元.假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完.
(1)实际要花多少钱购买加油卡？
(2)减价后油的单价为y元/L，原价为x元/L，求y关于x的函数表达式(不用写出定义域).
(3)油的原价是7.30元/L，求优惠后油的单价比原价便宜了多少元.
900元
y＝0.9x－0.27
1.00元
【例3】 (2025 浙江改编)为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图①，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ为x(单位：km)(0≤x≤n)，PQ2为y(单位：km2).如图②，y关于x的函数图象的最低点为D(m，81)，且经过E(1，225)和F(n，225)两点.
(1)求m的值.
图①　　 图②
13　
(2)求y关于x的函数表达式.
图①　　 图②
y＝(x－13)2＋81(0≤x≤25)
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基础检测
典例精讲
第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.1　平面直角坐标系与函数的有关概念
一、选择题
1.(2025 贵州)如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度
(　　)
A.越来越慢　　
B.越来越快
C.保持不变　　
D.快慢交替变化
B
2.(2024 广西)激光测距仪L发出的激光束以3×105 km/s的速度射向目标M，t s后，测距仪L收到M反射回的激光束.则L到M的距离d km与时间t s的关系式为(　　)
A.d＝t B.d＝3×105t
C.d＝2×3×105t D.d＝3×106t
A
3.(2024 青海)化学实验小组查阅资料了解到：某种混凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的.实验得出加入混凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示.下列说法正确的是(　　)
A.加入混凝剂的体积越大，净水率越高
B.未加入混凝剂时，净水率为0
C.混凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率
的增加量相等
D.加入混凝剂的体积是0.2 mL时，净水
率达到76.54％
D
4.(2025 河南)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是(　　)
A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B.当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随
车速的增大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车
速应不低于60 km/h
D.若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
C
5.(2025 甘肃)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D为边AB的中点.动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止.设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图②所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为(　　)
A.2
B.2.5　　
C.2
D.4
A
图①　 　图②
二、填空题
6.已知函数y＝－x＋2，当－1＜x≤1时，y的取值范围是　　　　　　.
7.若直线y＝x向上平移3个单位长度后经过点(2，m)，则m的值为　　.
8.设min{x，y}表示x，y两个数中的较小值，如min{0，2}＝0，min{12，8}＝8，则关于x的函数y＝min{2x，－x＋2}的最大值为　　　　.
≤y＜　
5
三、解答题
9.(2024 北京)小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯)，在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯(记为2号杯)示意图如图所示.
当1号杯和2号杯中都有V mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h1(单位：cm)和2号杯的水面高度h2(单位：cm)，部分数据如下：
V/mL 0 40 100 200 300 400 500
h1/cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
h2/cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
(1)补全表格(结果保留到小数点后一位).
V/mL 0 40 100 200 300 400 500
h1/cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
h2/cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
1.0
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画h1与V，h2与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象.
略
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有320 mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为　　　cm(结果保留到小数点后一位)；
②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为　　　cm(结果保留到小数点后一位).
1.2
8.6
10.(2025 长春)随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活.某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变.已知
某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后，停工保养.保养结束后又和乙机器人一起继续工作.甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y(件)与乙机器人工作时间x(min)之间的函数关系如图所示.
(1)甲机器人停工保养的时间为　　　min，m＝　　　　.
20
3 800
(2)求AB所在直线对应的函数表达式.
(3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为5 450件，则乙机器人工作时间为　　　min.
y＝55x－600
110(共29张PPT)
2026年湖南省中考数学 复习提升
- 第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.3　反比例函数
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基础检测
典例精讲
1.(2024 重庆)已知点(－3，2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值为(　　)
A.－3 B.3
C. －6 D.6
C
2.(2025 浙江)已知反比例函数y＝－.下列选项正确的是(　　)
A.函数图象在第一、三象限
B.y随x的增大而减小
C.函数图象在第二、四象限
D.y随x的增大而增大
C
3.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R＝12 Ω时，电流I是(　　)
A.2 A
B.3 A　　
C.4 A
D.6 A
第3题图
B
4.(2024 齐齐哈尔)如图，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B(－1，3)，S ABCO＝3，则实数k的值为　　　　.
第4题图
－6
5.(2024 湖南)在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f＝(k为常数，k≠0).若某乐器的弦长l为0.9 m，振动频率f为200 Hz，则k的值为 　　　　.
180
6.(2025 山西改编)如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于点A和点B，与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点C.已知点A的坐标为(－2，0)，点C的坐标为(1，6)，点D在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，纵坐标为2.
(1)求反比例函数的表达式.
y＝
(2)连接BD，OD，求△OBD的面积.
6
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第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.3　反比例函数
【例1】 (1)在同一坐标系中，函数y＝和y＝kx＋3的图象可能是(　　)
A　 B C D
A
(2)(2024 广西)已知点M(x1，y1)，N(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，若x1＜0＜x2，则有(　　)
A.y1＜0＜y2 B.y2＜0＜y1
C.y1＜y2＜0 D.0＜y1＜y2
A
【例2】 已知反比例函数y1＝(x＞0)的图象与一次函数y2＝－x＋4的图象的一个交点坐标为(6，n).
(1)求k和n的值.
(2)当2≤x≤6时，求函数值y1的取值范围.
k＝6，n＝1
1≤y1≤3
【例3】 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，学生注意力指标y随时间x(min)变化的函数图象如图所示.当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段.当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分.
(1)求点A对应的指标值.
20
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17 min，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由.
能.理由略
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典例精讲
第一章 数与代数
1.3　函　数
1.3.3　反比例函数
一、选择题
1.(2024 安徽)已知反比例函数y＝(k≠0)与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为(　　)
A.－3 B.－1
C.1 D.3
A
2.(2025 湖南)对于反比例函数y＝，下列结论正确的是(　　)
A.点在该函数的图象上
B.该函数的图象分别位于第二、第四象限
C.当x＜0时，y随x的增大而增大
D.当x＞0时，y随x的增大而减小
D
3.一次函数y＝ax＋1与反比例函数y＝－在同一坐标系中的大致图象是
(　　)
A　 B C D
B
4.(2025 天津)若点A，B，C都在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y2＜y1
C.y1＜y3＜y2 D.y2＜y3＜y1
D
5.(2025 河北)在反比例函数y＝中，若2＜y＜4，则(　　)
A.＜x＜1 B.1＜x＜2
C.2＜x＜4 D.4＜x＜8
B
6.(2025 北京)如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y＝的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N(M，N不重合).给出下面四个结论：
①△COM与△CON的面积一定相等.
②△MON与△MCN的面积可能相等.
③△MON一定是锐角三角形.
④△MON可能是等边三角形.
上述结论中，所有正确结论的序号是(　　)
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
B
二、填空题
7.(2024 武汉)某反比例函数y＝具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是　 　　　.
1(答案不唯一)
8.(2024 威海)如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax＋b(a≠0)与双曲线y2＝(k≠0)交于点A(－1，m)，B(2，－1).则满足y1≤y2的x的取值范围为　　 　　.
第8题图
－1≤x＜0和x≥2
9.我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到y＝2x＋1的图象.将二次函数y＝x2＋1的图象向左平移2个单位得到y＝(x＋2)2＋1的图象.若将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是　　 　　 .　
第9题图
y＝－3
10.(2025 威海)如图，点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝－的图象上，连接OA，OB，AB.若AO⊥BO，则tan∠BAO的值为　　　　 .　
三、解答题
11.(2024 山东)列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系.下表是函数y＝2x＋b与y＝部分自变量与函数值的对应关系：
x － a 1
y＝2x＋b a 1 _______
y＝ _______　　　 － 7
(1)求a，b的值，并补全表格.
x － a 1
y＝2x＋b a 1 　　　　
y＝ 　　　　 － 7
解：a＝－2，b＝5.补全表格如下：
x － －2 1
y＝2x＋5 －2 1 7
y＝ －2 － 7
(2)结合表格，当y＝2x＋b的图象在y＝的图象上方时，直接写出x的取值范围.
解：－＜x＜0或x＞1
x － －2 1
y＝2x＋5 －2 1 7
y＝ －2 － 7
12.(2024 青海)如图，在同一直角坐标系中，一次函数y＝－x＋b和反比例函数y＝的图象相交于点A(1，m)，B(n，1).
(1)求点A，点B的坐标及一次函数的表达式.
(2)根据图象，直接写出不等式－x＋b＞的解集.
A(1，9)，B(9，1)，y＝－x＋10　
x＜0或1＜x＜9
13.(2025 甘肃)如图，一次函数y＝x＋4的图象交x轴于点A，交反比例函数y＝(k≠0，x＜0)的图象于点B.将一次函数y＝x＋4的图象向下平移m(m＞0)个单位长度，所得的图象交x轴于点C.
(1)求反比例函数y＝的表达式.
(2)当△ABC的面积为3时，求m的值.
y＝－　
2

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