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河南商丘市华大新高考联盟2026届高三4月联考模拟预测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记数列的前项和为，若，则当取最小值时，( )
A. B. C. D.
2.的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知全集，集合，则的真子集个数为( )
A. B. C. D.
4.已知一组数据，，，，，，的上四分位数为，则的值可能是( )
A. B. C. D.
5.若双曲线：的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知实数，满足，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知平面向量，，若，且，的终边不关于轴对称，则( )
A. B. C. D.
8.已知体积为的圆锥的母线与底面的夹角为，若体积为的带蓝色颜料的小球在该圆锥内滚动，则在滚动的过程中，圆锥的内侧面不含底面被染成蓝色区域的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，已知四棱锥，其中底面为正方形，平面，为线段的中点，与交于点，，，则( )
A. 平面 B. 平面
C. 二面角的余弦值为 D. 直线与所成的角为
10.已知函数，若的解集为或，则( )
A.
B. 在上单调递增
C. 的图象的对称中心的纵坐标为
D. 不等式的解为
11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，，是椭圆上不同的两点，为坐标原点，则( )
A.
B. 以为直径的圆与以为直径的圆内切
C. 若点，能够关于直线对称，则
D. 若，则的面积的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将编号为、、、、的个小球放入编号为、、、、的个盒子中，每个盒子中仅放个球，则至少个小球的编号与盒子的编号一致的概率为 ．
13.已知数列和分别是公差为的等差数列和公比为的等比数列，且，若数列的前项和与数列的前项和相等，则 ．
14.若函数，其中，则曲线的对称中心的坐标为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
研究机构对某省内所有“工程”院校专业毕业十年的毕业生的年薪情况进行调研，所得数据统计如图所示，已知．
求，的值；
以频率估计概率，若在所有被调研的毕业生中随机抽取人，记年薪在万元的人数为，求的分布列以及数学期望．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且，．
求的值以及的面积；
已知点在线段上，若，且，求的值．
17.本小题分
如图，在四棱台中，四边形为梯形，，，，点在线段上，且平面．
求的值；
若平面与平面间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，当直线的倾斜角为且，，三点共线时，．
求抛物线的方程；
若直线过点，点在抛物线上，且，关于直线对称，求；
已知直线与抛物线的准线交于点，且直线不过点，探究：是否为的外角平分线，并说明理由．
19.本小题分
已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点逆时针方向旋转角得到点．
将曲线绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线是某个函数的图象，求实数的取值范围．
已知曲线：．
(ⅰ)求证：曲线关于直线对称．
(ⅱ)已知直线：，探究：是否存在，，使得直线在曲线的上方，若存在，分别写出，满足的条件；若不存在，请说明理由．
参考答案
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14.
15.解：依题意可知组距为，则
解得．
依题意可知年薪在万元之间的概率为，随机变量服从二项分布，即；
则，
，
，
，
．
分布列如下表所示．
故．

16.解：由正弦定理得，，
故．
因为，，所以，
则，
故，，
所以，
．
如图，，
故．
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
又因为，
所以，
故，
所以．
所以，
所以，
因为，
所以，
所以．

17.解：如图，连接，
因为，所以，，，四点共面．
因为平面，平面平面，
平面，故，
故四边形是平行四边形，所以．
易知，因为，
所以，
所以．
如图，以为坐标原点，所在的直线为轴，
所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
由，得，故．
，，
设为平面的法向量，
则，即
令，则，故平面的一个法向量为，
故直线与平面所成角的正弦值．

18.解：当直线的倾斜角为且，，三点共线时，
直线：，
联立则．
设，，故，
则，故抛物线的方程为．
设直线，联立，得，
则，，．
设，则解得，，
则，解得，
则，
则．
直线的斜率为，
直线的方程为，
代入并整理得，
令得，，则．
焦点的坐标为，直线的方程为，
整理得，则点到直线的距离
，
同理，点到直线的距离，
由及直线与抛物线的位置关系，
可得直线是的外角平分线．

19.解：将和绕坐标原点顺时针旋转后，分别得到，，
当时，，
故问题转化为曲线与直线有且仅有一个交点，
令，则，
当时，由切线不等式可知，当且仅当时，等号成立，
故当时，；
当时，因为，故，当且仅当时，等号成立．
综上所述，实数的取值范围是．
设点在曲线上，则，所以，
因为点关于直线对称的点为，所以曲线关于直线对称．
，
将曲线绕坐标原点顺时针旋转后得到曲线，由旋转公式可得
则代入曲线得，
整理得，显然，
故曲线的方程为．
因为，所以
令，则，
令，得，，
因为当和时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
又，，
当时，，当时，，所以存在唯一零点．
因为，所以不等式的解集为
所以曲线恒在直线的下方．
将直线绕原点逆时针旋转，可得，
此时点到直线的距离为，
所以，解得，所以．
综上所述，，．

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