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河南安阳市部分学校2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.样本数据，，，，，，，的第百分位数为( )
A. B. C. D.
4.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知正项等比数列的前项积为若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知是定义域为的奇函数，若，，则( )
A. B. C. D.
8.设，分别是双曲线的左、右顶点，点在上且在第一象限内，直线与圆的另一个交点为，设，，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的单调递增区间为
C. 图象的对称轴方程为
D. 的图象关于原点对称
10.若数列满足为常数，则称为等比和数列，为公比和已知是以为公比和的等比和数列，且，，记，，则下列说法正确的是( )
A. 的各项互不相等 B. 是周期为的周期数列
C. 的前项和为 D. 是公比和为的等比和数列
11.已知抛物线的焦点为，准线为，，是上两动点，过，均与坐标原点不重合分别作的切线，两切线交于点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则直线恒过点
B. 若，则直线的方程为
C. 若直线过点，则点必在准线上，且
D. 若点在准线上，则的面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某前沿科技公司正在研发一款新型“陪伴机器人”，该机器人共配有个不同的传感器，需要激活至少个传感器机器人才能正常运行，则要使机器人正常运行，共有 种不同的激活方案．
13.已知函数，若过点可以作曲线的条切线，则实数的取值范围是 ．
14.如图，封闭的圆台形容器容器壁厚度忽略不计的两个底面半径分别为，，母线长为，若该容器内有一个可任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且，．
求；
求的面积的最大值．
16.本小题分
某校为了解学生对食堂新推出的套餐是否满意，食堂主管部门在就餐的学生中随机调查了人，得到如下列联表：
满意 不满意 总计
男生
女生
总计
依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对该套餐满意与性别有关
该校有东、西两个食堂，若学生甲当天去了东食堂就餐，则接下来的一天去东食堂就餐的概率为若当天没有去东食堂就餐，则接下来的一天去东食堂就餐的概率为已知学生甲第一天去东食堂就餐的概率为，求他第三天去东食堂就餐的概率．
附：．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，且，为的中点，三棱锥的体积为．
求棱的长；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的右焦点为，的上顶点和两焦点连线构成面积为的等边三角形，过点且与轴不重合的动直线交于，两点．
求的方程．
若的平分线垂直于轴，
(ⅰ)求；
(ⅱ)求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，，其中，为正整数，．
当时，证明：在上单调递增．
设函数为的导函数，
(ⅰ)证明：对于固定的和，数列为递减数列；
(ⅱ)证明：对于任意的，都有．
附：；伯努利不等式：当，时，．
参考答案
1.
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5.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以由正弦定理可得，
即，
由于，因此，
又因为，所以，则
因为，所以，
则，故
由余弦定理可得，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，则，
则的面积，
故的面积的最大值为．

16.解：零假设该校学生对该套餐满意与性别无关，
由题意得，
根据小概率值的独立性检验，不成立，
可以认为该校学生对该套餐满意与性别有关；
设“学生甲第天去东食堂就餐”，则“学生甲第天没有去东食堂就餐”，，
由题意知，，，，
，
则，
，
学生甲第三天去东食堂就餐的概率为．
17.解：因为，且，所以，
又因为为的中点，
所以，，
因为平面，且，
所以，
解得．
由知，，且，，两两互相垂直，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，可取，
同理得平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

18.解：依题意，得，解得
所以的方程是．
设直线的方程为，
与的方程联立，得，消去，得，
，
设，，则，
由题知，的平分线垂直于轴等价于，且直线与有两个交点．
由，得，即，
可得，
化简得，即，
由的任意性，可得，因此的值为．
(ⅱ)由(ⅰ)知，即，直线的方程为，
与的方程联立，得，消去，得，
，得，
则，，说明，两点在轴同侧，
所以
，
因为，所以，则，
所以，即，
所以，
故的取值范围为．

19.解：由题意得，
所以，
因为，，所以，当时，，
所以，又因为，所以，
故在上单调递增；
，
要证为递减数列，只需证对于任意的，都有，
即证
因为，，分母均为正数，
所以交叉相乘整理可得，
即，
移项整理得，
由二项式定理可知，
即，
因为，，所以，
所以成立．
故原不等式成立，数列为递减数列；
(ⅱ)由题目给出的公式知，
代入的表达式，得，
注意到，令，因为，，所以．
则，
利用伯努利不等式可知，
得
，
所以，
因为，
所以．

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