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2026年广东省A20联盟中考模拟（一）
数 学 试 题
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为120分，考试时间为120分钟。
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。“试题卷”共4页，“答题卷”共4页。
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并收回。
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．在，0，1，这四个数中，最小的数是 （ ）
A． B．0 C．1 D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ）

A B C D
3．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为 （ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，直线，若，则 （ ）
（第4题图） （第6题图）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是 （ 　　）
A． B． C． D．
6．如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知抛物线，若点、、均在该抛物线上，且，则下列结论正确的是 （ ）
A． B． C． D．
9．方程的解为 （ 　 　）
A． B． C． D．无解
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ）
A B C D
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．一组数据2，1，2，5，2，6的众数是___________．
12．关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的整数解有_____个．
13．一元二次方程的一个解为，则______．
14．计算____________________ ．
15．如图，等腰中，，、、分别是，，的中点，则的周长为______．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。
16．计算：；
17．如图，为半圆的直径，四边形中，，．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)请在图中，作出半圆的圆心；
(2)若，，，求的半径．
18．在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）．
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图．
(1)图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离．
(2)图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，）
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．在学校组织的知识竞赛中，成绩分为，，，四个等级，表示竞赛成绩（单位：分），其中九（1）班竞赛成绩统计图如图所示．
(1)求九（1）班A等级的百分比．
(2)已知九（1）班竞赛成绩的中位数为86分，小艾、小义本次成绩在九（1）班排名（从高到低）分别是第15名、第16名，小艾的成绩是87分，求小义的成绩．
(3)金乌同学为了预估全校1000名同学中A等级的总人数，随机抽取了50名学生的成绩，结果A等级人数比九（1）班的多了5人，请你估计该校A等级的总人数．
20．新课标中，数学课程要培养的学生核心素养是“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，这集中体现了数学课程的育人价值，也说明数学和实际生活密不可分．数学老师给小明小组布置了一项数学与实际的作业，让他们到菜市场进行调研，并利用所学的数学知识对销售提出合理化建议．小明小组经调研发现，某店铺蔬菜的售卖情况大致遵循以下规律．
规律一 当每千克蔬菜的售价为8元时，每天能销售80千克．
规律二 当每千克蔬菜的售价每降低元，每天的销售量就会增加10千克．
经小组讨论，发现里面可能存在函数关系，考虑用已学的函数知识帮助店家解决问题．
【建立模型】
（1）设每天销售这种蔬菜的销售额为y元，每千克蔬菜降价x元，求y与x的函数关系式；
【设计方案】
（2）当每千克蔬菜降价多少元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多？最多为多少元？
【实际需求】
（3）若该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，求这个蔬菜应参考的售价范围.
21．你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千静止时，下端离地面的距离为．
(1)如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即），当秋千分别荡到两边的最高点，位置时，若交于点，，且，请你计算秋千的长度．
(2)如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为的挡光板，用于遮挡阳光，点，，都在上，已知，，如果把挡光板沿方向向右平移，但为安全起见，要求与秋千运动弧线最近点的距离不小于，问挡光板应最多向右平移多少米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到）
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。
22．（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明：．
（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．
23．阅读材料：有一边是另一边倍的三角形叫做“卓越三角形”，这两边中较长的边称为“卓越边”，这两边的夹角称为“卓越角”．
(1)如图①，在菱形中，对角线相交于点O，已知，请找出图中的一个“卓越三角形”，并说明判断依据．
(2)如图②，是卓越三角形，是卓越角，是卓越边，若，求的长．
(3)如图③，在平面直角坐标系中，有一卓越，是卓越角，是卓越边，顶点A在x轴上，其坐标为，顶点B、C均在反比例函数的第一象限图象上，点B在点C下方，且纵坐标为，当是直角三角形时，求反比例函数的表达式．
参考答案与试题详解
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C A C B D D A
1．A
【详解】解：，即，
∴，
∴，
即在，0，1，这四个数中，最小的数是．
故选A．
2．C
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：C．
3．B
【详解】解：∵3240万，
∴，
故选B．
4．C
【详解】解：∵ 直线
∴
∵
∴
又∵ ，
∴
∴
故选：C．
5．A
【详解】选项A：根据幂的乘方运算法则，，故选项A正确；
选项B：单项式相乘时，系数相乘，同底数幂相加，，但选项B结果为，缺少的指数，故选项B错误；
选项C：左边提取公因式得，显然仅在特定条件下成立，而非恒等式，故选项C错误；
选项D：根据完全平方公式，，选项D漏掉了中间项，故选项D错误；
故选：A．
6．C
【详解】解：将开关依次编号为，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能发光的结果有4种，
使得小灯泡能发光的概率为，
故选：C．
7．B
【详解】解：如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，，
∴四边形，四边形为平行四边形，
由条件可知，，，
∴，，
∴，
故选：B．
8．D
【详解】解：由题意得，将代入，
则，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
抛物线对称轴为：，
当，
当，
∴当时函数值相等，均为0，
∵，抛物线开口向上，
∴，
故选：D．
9．D
【详解】解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验，是分式方程的增根，
即原方程无解，
故选：D．
10．A
【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即，
∴符号均一致，A项符合题意．
∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，
∴的符号矛盾，B项不符合题意．
∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则．
∴的符号矛盾，C项不符合题意．
∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则．
∴b的符号不一致，D项不符合题意．
故选：A．
11．2
【详解】解：数据2，1，2，5，2，6中，2出现的次数最多，
∴众数为2，
故答案为：2．
12．3/三
【详解】解：由数轴可知关于的不等式组的解集为，
∴该不等式组的整数解有，共3个，
故答案为：3
13．
【详解】解：一元二次方程的一个解为，
，
解得．
故答案为：．
14．/
【详解】解：原式=．
故答案为 ：．
15．
【详解】解：、、分别是、、的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，
，，
∵，
，，
四边形的周长为：．
故答案为：．
16．解：
17．（1）解：延长、交于点E，连接、交于点F，连接并延长交于点O，则点O即为所求作的圆心，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点E、F在的垂直平分线上，
∴，，
∴点O为半圆的圆心；
（2）解：分别过点C、D作，垂足分别为G、H，如图所示：
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为3．
18．（1）解：如图，连接，延长交于点，设的半径为，
由题意可知，，
，，
，
弓形高，，
，，
在中，，
，
解得，
，
即圆心 到的距离为．
（2）解：如图，延长，交于点，
由题意可知，，，
在中，，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
四边形是矩形，
．
即的长度约为．
19．（1）解：，
答：九（1）班A等级的百分比为；
（2）解：∵一共有名学生，
∴将这30名学生的成绩按照从高到低的顺序排列，中位数为第15名的成绩和第16名的成绩的平均数，
∵九（1）班竞赛成绩的中位数为86分，小艾、小义本次成绩在九（1）班排名（从高到低）分别是第15名、第16名，小艾的成绩是87分，
∴小义的成绩是分；
（3）解：名，
答：估计该校A等级的总人数为280名．
20．解：（1）由题意，每千克蔬菜的售价为8元时，销量为80千克，每降价元，销量增加10千克，
设降价为x元，则销量增加量为千克
总销量为千克．
又此时售价变为元/千克，
销售额y与x的函数关系式为：
（2）由题意，结合
当时，y取最大值，最大销售额为720元．
答：当每千克蔬菜降价2元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多，最多为720元．
（3）由题意，令，
或
二次函数的图象开口向下，
∴时，，
∵该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，，
∴，
对应售价为：元至元，即这个蔬菜应参考的售价范围是3元至8元．
21．（1）如图，秋千侧视图可看成以点为圆心的一段圆弧，
设该圆弧所在圆的半径为，
依题意，得，在中，
，
垂直平分．
．
在中，，
即，
解得或（负值舍去）．
即秋千的长度为．
（2）设挡光板沿方向平移后最多应到如图的位置，作且与切相切于点，挡光则板与秋千运动弧线的最近点为点．
射线与，分别相交于点，，则．
又，
与均为等腰直角三角形．
，．
当时，，
连接，又，，
又，，
．
．
而，
．
从而应向右平移的最大值．
应将挡光板沿方向向右最多平移约．
22．（1）证明：∵四边形、为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点，
，
∵四边形和四边形都是矩形，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
又∵是直角三角形，，
∴或
当时，如图，过点作的垂线交于点，则，
，
∴，
设，则，
∴，
设，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，四边形和四边形都是矩形，
此时，
过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点，
∵四边形和四边形都是矩形，，，设，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积，
∴，
∴，
解得，
∴，即点Q与点O重叠，
此时；
综上所述，当与重叠部分的面积是的面积的时，的长为或．
23．（1）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
在中，，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
∴是“卓越三角形”（答案不唯一，，，也满足）；
（2）解：过点C作于点D，如图，
∵，
∴在中，，
∴；
设，
∵是卓越三角形，是卓越角，是卓越边，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∵，即
解得：，
∵，
∴
∴，
在等腰直角三角形中，；
（3）解：在卓越中，为卓越边，为卓越角，
∵是直角三角形，
∴不可能为斜边，即，
∴或，
①当时，如图3，
过点B作轴于点E，过点C作交延长线于点F，过点C作轴于点G，则．
∴，
∴，
∴，
∴
设，则，
∵，
∴
∵，，
∴，，
∵点B，C在函数的图象上，
∴，
解得：（舍去）．
∴，
∴反比例函数解析式为；
②当时，如图4，过点C作轴于点M，过点B作轴于点N．
则．
∴．
∴．
∴，
∵为卓越边，为卓越角，
∴，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，．
∵点B，C在函数的图象上，
∴，
解得：，
∴，
∴；
综上所述，反比例函数解析式为：或．

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