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九年级模拟考试数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分）
1 2 3 4 5 6
D C D B A B
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分）
7.2.1×10-5
8. x 3
9.7
10.6070
11. ＝
3
1， ， 3，1 ， 3 2,1
12. 3 （3个答案内，对一个得 1分，多于三个答案，对一
个得 1分，错一个扣 1分）
三、解答题（本大题共 5小题，每小题 6分，共 30分）
13.（1）解原式=1+1+（-2）=0 ……………………………………………（3分）
(2)证明：∵∠CBE＝∠CDF，
∴180°﹣∠CBE＝180°﹣∠CDF，
∴∠ABC＝∠ADC， …………………………………………………（4分）
又∵AC平分∠BAD
∴∠BAC=∠DAC
在△ABC和△ADC中，
∠ABC=∠ADC
∠BAC=∠DAC，
AC=AC
∴△ABC≌△ADC（AAS），
∴AB＝AD． …………………………………………………………（6分）
a+2 a a2 4 2 (a+2)(a 2)
14.解：原式＝（ ） = ＝a 2， …………（4分）
a+2 a+2 2 a+2 2
由题意得：a≠±2，
当 a＝3时，原式＝3 2＝1
（或当 a＝4时，原式＝4 2＝2） ……………………………………（6分）
15.（1）四张除印制的文字外完全一样的卡片，分别印有兴国烈士陵园，长冈乡调查纪念馆，
苏区干部好作风陈列馆，将军园.
1
∴小明抽取一张卡片，抽到印有“长冈乡调查纪念馆”的卡片的概率为 ；……（2分）
4
（2）方法一：所有可能结果如下
小明
小红
…………………………………………………（4分）
由图可知，共有 12种等可能的结果，其中这次宣讲景点为兴国烈士陵园和长冈乡调
查纪念馆(记为事件 E)，含 2种结果， …………………………（5分）
∴P E 2 1（ ）= 12= 6． ………………………………………（6分）
方法二：所有可能结果如下
A B C D
A (B,A) (C,A) (D,A)
B (A,B) (C,B) (D,B)
C (A,C) (B,C) (D,C)
D (A,D) (B,D) (C,D)
………（4分）
由图可知，共有 12种等可能的结果，其中这次宣讲景点为兴国烈士陵园和长冈乡调查
纪念馆(记为事件 E)，含 2种结果， …………………………（5分）
∴P（E）= 2 = 1． ……………………………………………（6分）
12 6
16.
…………（5分）
(1)如图，GH 即为所求(点拨：正六边形的轴对称性).(作法不唯一)
(2)如图(2),点O及△DEH 即为所求(点拨:正六边形的中心对称性).(作法不唯一) …（6分）
17.解：（1）由条件可知 k＝1×6＝6，
∴反比例函数的解析式为 y= 6x； …………………………………（2分）
（2）设直线 AC的解析式为 y＝ax+b（a≠0）由条件可得：
2a+b=0
a+b=6 ，
a=2
解得 b=4，
即直线 AC的解析式为 y＝2x+4； …………………………（3分）
上式中，令 x＝0，则 y＝4，
∴点 B的坐标为（0，4），
由条件可知 2= 6x，
解得：x＝3，则点 D（3，2）， …………………………（4分）
由题意知，OA＝2，OB＝4，
S 四边形 AODB＝S△AOB+S△BOD
= 12OA
1
OB+ 2OB xD
= 12 ×2×4+
1
2 ×4×3
＝10，
答：四边形 ABDO的面积为 10． …………………………（6分）
18.【解答】（1）方法一：证明：连接 OC，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵OD⊥BC，
∴ ，
∴∠BOE＝∠COE，
在△OBD和△OCD中，
，
∴△OBD≌△OCD（SAS），
∴∠OBD＝∠OCD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线； ………………………………（3分）
方法二：证明：连接 OC，如图所示：
∵OC=OB,OD⊥BC
∴OD平分∠COB
即∠BOE＝∠COE
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
在△OBD和△OCD中，
，
∴△OBD≌△OCD（SAS），
∴∠OBD＝∠OCD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线； ………………………………（3分）
（2）解：∵AC＝AO＝3＝OC，
∴△AOC是等边三角形， ………………………………（4分）
∴∠AOC＝60°，
∴∠BOE＝∠COE＝60°，
∵∠OBD＝90°，OB＝AO＝3，
∴∠BDO＝30°，
∴OD=2OB=6
BD＝ OB＝3 ，
∴DE=OD-OE=6-3=3 ……………………………（6分）
∴BE的 l= nπr = 60 3π=π …………………………（7分）
180 180
∴阴影部分的周长＝ l+DE+BD=π+3+3 3 …………（8分）
19.(1)如图(1),当点 P 从点 F 处旋转落在墙 MN上的点 E 处时，房门 OP 的转角最大.
在 Rt ON 12△ENO中, cos∠EON= = =0.15,
OE 80
∴∠EON≈81.4°,
∴∠EOF=180 81.4 =98.6 .
答：房门 OP 最大转角的度数约为 98.6° …………（3分）
(2)如图(2),易知点 P在EF上运动，当点 B 在EF上时 d最小，
过点 B作 BH⊥NF于点 H,连接 OB,
在 R t △ O B H 中 , OH= OB2 BH2= 802 260 200 2=
20 7≈52.9,
此时 d=MA=NH=NO+OH=12+52.9≈65. ………………（6分）
当床与书桌的距离为 50cm时,d最大，
d=350-60-50-150=90.
故 d的取值范围为 65≤d≤90. ……………………………（8分）
20.解：(1)Δ=( 2c)2 4ab=2c2 4ab，
∵a2+b2=c2，
∴2c2 4ab=2(a2+b2) 4ab=2(a b)2≥0，
∴关于 x的“勾系一元二次方程”ax2+ 2cx+b=0必有实数根； …………（3分）
(2)当 x= 1时，有 a 2c+b=0，即 a+b= 2c，
∵四边形 ACDE的周长是 12，
∴2a+2b+ 2c=12，即 2(a+b)+ 2c=12，
∴c=2 2， ………………………………………………（5分）
∴a2+b2=c2=8，
又∵a+b=4，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2，即 16=8+2ab，
∴ab=4， ……………………………………………………（7分）
1
∴S△ABC= 2 ab=2． ………………………………………（8分）
21.【解答】解：（1）根据众数定义可知 m＝9； ……（1分）
∵乙款 AI软件信息处理速度得分由小到大排序后中间的两个数分别为 7，8，
∴n= 7+82 =7.5． ……………………………………（2分）
800 2（2） 80人，
20
答：根据信息识别准确度得分统计图估计 800位用户更喜爱乙软件的人数为 80人 ……（4分）
（3）甲．理由如下： ………………………………（5分）
甲的平均得分为 7.3×20%+5.6×80%=1.46+4.48=5.94，
乙的平均得分为 7.65×20%+4.9×80%=1.53+3.92=5.45，
∵5.94＞5.45，
∴甲款软件胜出． ……………………………………（7分）
（4）增大；减小 ……………………………………（9分）
22.【解答】解：（1）BE＝DF，BE⊥DF，理由如下： ……（2分）
延长 BE交 DF于 M，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠DCF＝∠C＝90°，BC＝CD，
在△BCE和△DCF中，
BC=DC
∠BCE=∠DCF，
CE=CF
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠F＝90°，
∴∠CBE+∠F＝90°，
∴∠BMF＝90°，
∴BE⊥DF； ………………………………………（4分）
（2）∵BH⊥DF,∴∠CBH+∠DFC=90 .
在矩形 ABCD 中,∠DCF=∠BCD=90°,AB=CD,
∴∠CBE+∠BEC=90 ,∴∠BEC=∠DFC,
BC BE
∴△BCE∽△DCF,∴ = .
DC DF
AB = 3∵ ,AB=CD, BE = BC = 4∴ . ………………………（6分）
BC 4 DF AB 3
（3）由平移的性质可得 MN∥DF，MN＝DF，
BE 4
∵ = ，MN=3 5，
DF 3
∴BE=4 5，
∵点 H为 BE的中点，
∴MN垂直平分 BE，
∴BN＝NE，
∵sin∠ENC=CE 4NE = 5，
∴设 BN＝EN＝5x，CE＝4x，
∴CN= NE2 CE2=3x，
∴BC＝BN+CN＝8x，
在 Rt△EBC中，BE2＝BC2+CE2，
∴(4 5)2=(4x)2+(8x)2，
解得 x＝1或 x＝﹣1（舍去），
∴BC＝8x＝8．…………………………………………（9分）
23.(1)②③ ……………………………………………（2分）
解法提示：∵纵坐标是横坐标的 2倍的点是二倍点，
∴二倍点在直线 y=2x上.
①把 y=2x代入 y=2x+5,得 2x=2x+5,无解,
∴直线 y=2x+5 上不存在二倍点.
2 2
②把 y=2x代入 y= ,得 2x= ,
x x
整理，得x2=1,x=±1
当 x=1时，y=2,x=-1 时，y=-2.
∴双曲线 y= 2上存在二倍点（1,2），（-1，-2）故②正确.
x
③把 y=2x代入 y=x2+x 1得
2x=x2+1整理得 x2 2x+1=0
解得 x1=x2=1，x=1时 y=2
∴抛物线 y=x2+x 1上存在二倍点(1,2)
故答案为②③
y x2 x 6
（2 2）①解：由 得 x 2x 6 2x
y 2x
2
整理得 x x 6 0
解得 x 3或x 2
当 x 3时，y 6
当 x 2时，y 4
∴该函数的二倍点为（3,6），（-2，-4） ……………（4分）
② x＜ 2或x＞3 ………………………………（5分）
(3)该抛物线上存在二倍点. …………………………（6分）
∵无人机在距地面 20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为 5米，
∴抛物线 y= 0.1x2+bx x≥0 过点(5,20).
将(5,20)代入 y= 0.1x2+bx,得 20= 0.1×52+5b,
∴b=4.5,
∴y= 0.1x2+4.5x x≥0 .
令 0.1x2+4.5x=2x,
解得 x=25或 x=0(舍去),
此时 y=2x=50,
∴该抛物线上存在二倍点，为(25，50)， …………（8分）
其实际意义为无人机在距地面 50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距
离为 25米. ………………………………………………（9分）
(4)方法一：易知二倍点在直线 y=2x上.
将 y=2x代入 y= a 1 x2+bx+2 a≠1 ,
得 a 1 x2+bx+2=2x,
整理，得 a 1 x2+ b 2 x+2=0. ……………………（10分）
∵抛物线 y= a 1 x2+bx+2 a≠1 对于任意的常数 b恒有两个二倍点，
∴Δ= b 2 2 4× a 1 ×2>0,对任意的常数 b恒成立
即 △=b2 4b+12 8a>0.对任意的常数 b恒成立
∵对于任意的常数 b恒有两个二倍点，
∴可设关于 b的方程 b2 4b+12 8a=0无解，
∴Δ= 4 2 4×1× 12 8a <0,
解得 a<1，即 a的取值范围为 a<1. ……………（12分）
方法二：易知二倍点在直线 y=2x上.
将 y=2x代入 y= a 1 x2+bx+2 a≠1 ,
得 a 1 x2+bx+2=2x,
整理，得 a 1 x2+ b 2 x+2=0
∵抛物线 y= a 1 x2+bx+2 a≠1 对于任意的常数 b恒有两个二倍点，
∴Δ= b 2 2 4× a 1 ×2>0,对任意的常数 b恒成立
即△=b2 4b+12 8a>0.对任意的常数 b恒成立
即 8a＜b2 4b+12，对任意的常数 b恒成立
∴8a＜（b2 4b+12）min
令 w=b2 4b+12,知 w是关于 b的二次函数
且开口向上，知当 b=2时，w有最小值且 wmin=8，
∴8a＜8
∴a＜1

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