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上杭县2025～2026学年第二学期农村片区校半期联考
八年级数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（共10题，每题4分，共40分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若二次根式有意义，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组数据不是勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为，则的长为（ ）
A． B．4 C．7 D．14
7．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（ ）
A．35 B．40 C．45 D．50
8．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，中，，，分别是，，的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．四边形是平行四边形
10．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．24
二、填空题（共6题，每题4分，共24分）
11.能说明命题“”是假命题的一个反例可以是 ．
12．化简： ．
13．如图，在菱形中，，，则的长为 ．
14．如图，四边形是正方形，O是其中心，以为边作一个正六边形，则的度数是 °．
15．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的面积为 ．
16.如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．点E是上一点，且，将沿折叠，点A的对应点F恰好落在上．若，则的长是 ．
三、解答题（共9题，共86分）
17．（8分）计算：
(1) (2)
18．（8分）已知，求 的值．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
20.（8分）如图，在中，是它的一条对角线，点，在上，且，连接，，求证：.
21．（8分）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．
(1)BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ；
(2)求四边形ABCD的面积．
22．（10分）如图，学校要对教学楼上的校训宣传牌进行清洁维护，一辆高的工程车在教学楼前点M处，从点D处伸长的云梯刚好接触到的底部点A（即），若，，云梯的长度不变，当工程车向前平移一段距离，云梯刚好接触到的顶部点C时，四边形为矩形．求工程车向教学楼方向行驶的距离．
23．（10分）如图，在△ABC中，内角，，所对应的边分别为，，．
(1)若=5，=13，=12.，求△ABC的面积；
(2)若，，（其中，都是正整数，且），求证：△ABC是直角三角形．
24．（12分）某校有一块草坪，其四角上各有一棵树（如图1），现校方想让这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，使扩大后的草坪为平行四边形，校总务处让八年级某班的数学兴趣小组出一套设计方案，该数学兴趣小组回忆了八年级的相关知识：①三角形中线平分面积，②两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．
(1)现将相关知识①②转化成图形语言，请用尺规在图中作出中线，在图中过点作，交于点；
(2)根据相关知识，数学兴趣小组给出以下设计方案：如图2，连接，过点作，过点作，分别交于点，延长线于点，并截取，连接，则四边形即为所求．请证明该方案的可行性；
(3)该校还有一块三角形花坛（如图3），现规划要将三角形花坛从点处画一条线段将其均分为两块面积相等的区域，种上不同的花，请画出图形（无需尺规作图，最终的分割线用实线，其他用虚线），给出设计方案，并证明．
25．（14分）已知正方形的边长为8，点E是对角线上的一点．
(1)如图1，若点E到的距离为6，则点E到的距离为 ；
(2)连接，过点E作，交于点F．
①如图2，以，为邻边作矩形．求证：矩形是正方形；
②如图3，在①的条件下，连接，求的值．

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