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2025-2026学年下学期期中学业质量检测八年级数学
（考试时间：120分钟 总分：120分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。
1.下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.有一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边的长为( )
A. B. C. D. 或
3.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.在中，若，，的对边分别是，，，则下列条件中，不能判定是直角三角形的是( )
A. B.
C. ，， D.
5.等式成立的的取值范围在数轴上可表示为( )
A. B. C. D.
6.如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.已知实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果是( )
A. B. C. D.
8.如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是( )
A. B. C. D.
9.一个直角三角形，若三边的平方和为，则斜边长为．
A. B. C. D.
10.已知，则化简二次根式的正确结果是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
12.能使得成立，则的取值范围是 ．
13.一个多边形的内角和是它的外角和的倍，则这个多边形的边数是 ．
14.已知的整数部分为，小数部分为，则的值为 ．
15.如图，将矩形纸片沿折叠，使点在边的中点处若，， ． 第15题图
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(8分)计算：
17.分若，满足，求以，为边长的等腰三角形的周长．
18.分定义：已知，都是实数，若，则称与是关于的“实验数”．
与 是关于的“实验数”，与 是关于的“实验数”；
若，判断与是否是关于的“实验数”，并说明理由．
19.分已知：，，求下列各式的值．
； ．
20.分如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉的距离为现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离为，的长为．
求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长；
直接写出喷泉到小路的距离．
21.分如图，在中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．
求证：四边形是矩形；
若，，求四边形的面积．
22.分如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁处沿着最短路径到达内壁处．
图是杯子的侧面展开图，请在杯沿上确定一点，使蚂蚁沿路线爬行，距离最短．
结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长．
23.分如图，菱形的对角线与交于点，为的中点，延长到点，使，连接，．
求证：四边形是平行四边形
若，，求平行四边形的面积．
24.分如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒．
若，分别是，的中点，且，求证：以，，，为顶点的四边形始终是平行四边形．
在的条件下，当为何值时，以，，，为顶点的四边形为矩形？
若，分别是折线，上的动点，分别从点，开始，与点，相同的速度同时出发，当为何值时，以，，，为顶点的四边形为菱形？请直接写出的值．【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10.
11. 2
12. 1 ≤ ≤ 3
13. 8
14. 7
15. 78
16. 【小题 1】
原式= 2 9 9 + 1 = 3 + 1 = 4．
【小题 2】
原式= 7 + 1 + 2 7 (9 5) = 8 + 2 7 4 = 4 + 2 7．
17.解：∵ 3 ≥ 0， 6 ≥ 0，且 3 + 6 = 0，∴ 3 = 0， 6 = 0，∴ = 3， = 6，
∵ 3 + 3 = 6，不能构成三角形，∴第三边长只能为 6，∴周长为 3 + 6 + 6 = 15．
18. 【小题 1】
1
3 2
【小题 2】
与 4 3是关于 3 的“实验数”，理由略
19. 【小题 1】
解：∵ = 3 + 5， = 3 5，∴ + = 3 + 5 + 3 5 = 6， = (3 + 5) × (3 5) = 4， =
3 + 5 (3 5) = 2 5．
2 2 = ( + )( ) = 6 × 2 5 = 12 5．
【小题 2】
+
2+ 2 ( + )2 2 62= 2×4 36 8 = = 4 = 4 = 7．
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20. 【小题 1】
解：在 △ 中， = 2 2 = 1502 1202 = 90 ，
∴ = = 250 90 = 160( )，
在 △ 中， = 2 + 2 = 1602 + 1202 = 200 ，
∴供水点 到喷泉 ， 需要铺设的管道总长= 200 + 150 = 350 ．
【小题 2】
解：∵ = 250 ， = 200 ， = 150 ，
∴ 2 = 2 + 2，
∴△ 是直角三角形，
∴ ⊥ ，
∴喷泉 到小路 的距离是 = 150 ．
21. 【小题 1】
∵四边形 是平行四边形，∴ // ， = . ∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ . ∵ 为线段 的中
点，∴ = . ∴△ ≌△ . ∴ = . ∴四边形 是平行四边形．∵ ∠ = 90°，∴四边形
是矩形
【小题 2】
∵ 1四边形 是矩形，∴ = = 5， = ，∠ = 90°， = . ∴ = 2 ， =
2 2 = 132 52 = 12. ∴ = 12. ∵ = = 5，∴ = 10. ∴ 四边形 = △ △ =
1 = 1 × 10 × 12 1 1 2 2 2 × 2 × 5 × 12 = 45
22. 【小题 1】
解：如图所示，点 即为所求：
【小题 2】
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解：过点 作 垂直 于 ．
∵点 1， 关于 对称，
∴ 1 = = 2 ，
1 = ，
∴ + = 1 + = 1 ，
2
在直角△ 1 中，，由勾股定理得 2 21 = 1 + = (18 4 + 2)2 +
24
2 = 20( )
．
答：蚂蚁爬行的最短距离是 20 ．
23. 【小题 1】
证明：∵四边形 是菱形，且对角线 与 交于点 ，
∴ = ， = ， // ．
∵ 为 的中点，
∴ 为△ 的中位线，
∴ // 1， = 2 ，
∴ // ， = 12 ．
1
又∵ = 2 ，
//
∴ = ，
∴四边形 是平行四边形．
【小题 2】
如图，过点 作 ⊥ 于点 ．
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∵四边形 是菱形， = 12， = 10，
∴ ⊥ ， = = 12 = 6， = = 10，
∴ ∠ = 90 ．
由(1)知 = 12 ，
∴ = 5．
∵在 △ 中， = 10， = 6，
∴由勾股定理得 = 2 2 = 8．
∵ 1 1△ = 2 = 2 ，
∴ 1 × 8 × 6 = 12 2 × 10 × ，解得 = 4.8，
∴ 平行四边形 = × = 5 × 4.8 = 24．
24. 【小题 1】
证明：∵四边形 是矩形，∴ = ， // ， // ，∠ = 90°，∴ ∠ = ∠ ，∵ = 6 ，
= 8 ，在 △ 中， = 2 + 2 = 62 + 82 = 10( )，∵ ， 分别是 ， 的中点，∴ =
1
2 ， =
1
2 ，∴ = ，∵ ， 是对角线 上的两个动点，分别从点 ， 同时出发，相向而行，速
度均为 2 / ，∴ = ，∴ = ，∴△ ≌△ ( )，∴ = ，∠ = ∠ ，∴ // ，
∴以 ， ， ， 为顶点的四边形始终是平行四边形；
【小题 2】
解：如图 1，连接 ，由(1)可知四边形 是平行四边形，
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∵ ， 分别是 ， 的中点，∴ = = 8 ，∴当 = = 8 时，四边形 是矩形，分两种
情况：
①若 = = 2 ， 则 = 10 4 = 8，解得 = 0.5，
②若 = = 2 ，则 = 2 + 2 10 = 8， 解得 = 4.5， 即当 为 4.5 秒或 0.5 秒时，四边形
是矩形；
【小题 3】
解：如图 2，连接 ， ，
∵四边形 是菱形，∴ ⊥ ， = ， = ，∵ = ，∴ = ，∴四边形 是菱形，
∴ = ，设 = = ，则 = 8 ，由勾股定理，得 2 + 2 = 2，即62 + (8 )2 = 2，解
= 25 ∴ = 8 25 = 7 ∴ + = 6 + 7 = 31 = 31 ÷ 2 = 31 31得 4， 4 4， 4 4， 4 8， 即 为 8秒时，四边形 是
菱形．
【解析】
1. 【分析】
此题主要考查了最简二次根式，正确掌握相关定义是解题关键．
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】
解： 、 12 = 2 3，故 A 不是最简二次根式，不合题意；
B、 7是最简二次根式，符合题意；
C、 0.3 = 3010 ，故 C 不是最简二次根式，不合题意；
D 2 = 6、 3 3 ，故 D 不是最简二次根式，不合题意；
故选： ．
2. 【分析】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键，注意分清斜边和直角边长．
分两种情况：①当 3 和 4 为两条直角边长时；②当 4 为斜边长时；由勾股定理求出第三边的长即可．
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【解答】
解：分两种情况：
①当 3 和 4 为两条直角边长时，
由勾股定理，得第三边的长为： 32 + 42 = 5；
②当 4 为斜边长时，，第三边的长为： 42 32 = 7，
综上所述：第三边的长为 5 或 7，
故选 D．
3. 解：分析各选项：
选项 3与 2不是同类二次根式，不能合并，错误；
选项 ( 3)2 = 3，错误；
选项 18 ÷ 2 = 3，正确；
选项 2 2 2 = 2，错误，
故答案为 。
4. 【分析】
本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定
最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．本题由三角形内角和
定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】
解： 、∵ ∠ + ∠ = 90°，∠ + ∠ + ∠ = 180°，∴ ∠ = 90°，能判定△ 为直角三角形，不符合题意；
B、∵ ∠ + ∠ = ∠ ，∠ + ∠ + ∠ = 180°，∴ ∠ = 90°，能判定△ 为直角三角形，不符合题意；
C、∵ = 1， = 3， = 10，∴ 2 + 2 = 2，符合勾股定理的逆定理，能判定△ 为直角三角形，不
符合题意；
D、 2 + (2 )2 ≠ (2 )2，不能判定△ 为直角三角形，符合题意．
故选： ．
5. 【解答】
3 ≥ 0
解：由题意可知： + 1 > 0 ,
解得： ≥ 3，
故选： ．
【分析】
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根据二次根式有意义的条件即可求出 的范围．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数非负，本题属于基础题型．
6. 解：根据已知可得： = = 10， = 8．
在 △ 中， = 2 2 = 6．
∴ (0,6)．
故选： ．
根据已知可得 = = 10， = 8.利用勾股定理即可求解．
本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．
7. 略
8. 【分析】
本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
根据勾股定理求得 = 10，然后根据矩形的性质得出 = = 10．
【解答】
解：∵四边形 是矩形，
∴ = ，
∵点 的坐标是(1,3)，
∴ = 12 + 32 = 10，
∴ = 10，
故选： ．
9. 设直角三角形的三边长分别为 ， ， ，其中 为斜边，则由勾股定理，得 2 + 2 = 2．
∵一个直角三角形的三边长的平方和为 200，
∴ 2 + 2 + 2 = 200，∴ 2 2 = 200，
∴ 2 = 100，∴ = 10(负值舍去)，即斜边长为 10.故选 C．
10. 【分析】
本题考查二次根式的化简，根据二次根式的非负性进行化简即可．
【解答】
解：∵ < ， 3 > 0，
∴ < 0， > 0，
∴ 3 = ．
故选 A．
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11. 【分析】
本题考查的是同类二次根式有关知识，属于基础题．
利用同类二次根式的定义进行解答即可．
【解答】
解：∵ 12与最简二次根式 5 + 1是同类二次根式，
∴ + 1 = 3，
∴ = 2．
故答案为 2．
(3 )( + 1) ≥ 0
12. 解：由题意可知： (3 ) ≥ 0
+ 1 ≥ 0
解得： 1 ≤ ≤ 3
故答案为 1 ≤ ≤ 3．
13. 略
14. 【分析】
此题主要考查了二次根式的运算，估计无理数，得出 11的取值范围是解题关键．
首先求出 11的取值范围，进而求出 ， 的值，再利用平方差公式求出即可．
【解答】
解：∵ 3 < 11 < 4，
∴ 2 < 11 1 < 3
∵ 11 1 的整数部分为 ，小数部分为 ，
∴ = 2， = ( 11 1) 2 = 11 3，
∴ ( 11 + )( + 1) = ( 11 + 2)( 11 3 + 1) = 11 4 = 7．
故答案为 7．
15. 略
16. 1.略
2.略
17. 略
18. 1.略
2.略
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19. 1.略
2.略
20. 1.本题主要考查的是勾股定理的应用的有关知识，先利用勾股定理求出 ，进而求出 ，再利用勾股
定理求出 即可求出此题
2.本题主要考查的是勾股定理的逆定理，垂线段最短的有关知识，先判定△ 是直角三角形，进而求出
此题．
21. 1.见答案
2.见答案
22. 1.详细解答和解析过程见【答案】
2.详细解答和解析过程见【答案】
23. 1.略
2.略
24. 1.略
2.略
3.略
第 9页，共 9页

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