资源简介

南门学校2025-2026学年度下学期期中质量检测试卷
一、选择题（共10小题）
1．在下列四个数：，0，，0.101001中，属于无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．0.101001
2．下列方程中是二元一次方程的是（　　）
A．x2﹣4＝0 B．x﹣y＝5 C．x+1＝0 D．xy＝3
3．在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．生活中下列现象可以看作平移的是（　　）
A．在游乐场荡秋千 B．翻开数学课本时书页的运动
C．水平传送带上的物体的移动 D．将一张A4纸对折
5．如图中与“老鼠在猫的北偏西35°方向50米处”这句话对应的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知点B的坐标为（﹣3，﹣4），直线AB∥y轴，那么点A的坐标可能为（　　）
A．（4，﹣3） B．（3，﹣4） C．（3，4） D．（﹣3，4）
7．对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”能证明它是假命题的反例是（　　）
A．a＝﹣2 B．a＝2 C． D．a＝0
8．如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作CP∥AB，PD∥AB，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　）
A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行
9．我国明代数学著作《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出1间客房．设该店有客房x间、房客y人，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A（﹣1，2），将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，经过2025次翻滚后点A对应点A2025的坐标为（　　）
A．（3035，2） B．（3038，1） C．（3033，2） D．（3041，1）
二、填空题（共6小题）
11．25的算术平方根是　 　 ．
12．如图，将长方形纸条折叠，若∠1＝58°，则∠2＝　 　 °．
13．已知a，b满足方程组，则3a + b的值为
14．将一个正方体木块静止放置在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力f的方向与斜面平行，支持力F的方向与斜面垂直．若斜面的坡角∠1＝25°，则支持力F与重力G方向的夹角∠2的度数为　 　 ．
15．一个长方形在平面直角坐标系中，它的三个顶点的坐标分别为（﹣3，﹣1），（2，﹣1）（2，2），则第四个顶点的坐标为　 　 ．
16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，CE⊥BE，∠DCE的平分线交BE的延长线于点F，下列结论：①AD∥BC；②∠F＝∠1+∠3；③CE平分∠BCD；④∠4＝3∠3．其中正确的结论有　 　 ．
三、解答题（共9小题
17．计算： + 2 + .
18． 解方程组：
19．已知x﹣9的平方根是±3，x+y的立方根是3．求x﹣y的算术平方根．
20．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E，∠CFE＝∠E．
求证：∠B+∠BCD＝180°．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE ＝∠E（理由：　 　 ）．
∵AE平分∠BAD，
∴　 　 ＝　 　 ．
∴∠BAE＝∠E．
∵∠CFE＝∠E，
∴∠CFE＝∠BAE，
∴　 　 ∥　 　 （理由：　 　 ）．
∴∠B+∠BCD＝180°（理由：　 　 ）．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，2），B（2，0），C（3，3），P（a，b）是三角形ABC的边AC上的一点，把三角形ABC经过平移后得到三角形DEF，点P的对应点为P′（a﹣2，b﹣4）．
（1）画出三角形DEF；
（2）求三角形DEF的面积．
22．我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄．
根据以上信息，解答问题：
（1）1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？
（2）该物流公司的租车方案有哪几种？
23．跟华罗庚学猜数：
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：
①∵，，又∵1000＜59319＜1000000，
∴，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又∵93＝729．∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，而＜＜，则，可得，
由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39，
（1）现在换一个数50653，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是 　 　 位数；②它的立方根的个位数字是 　 　 ；③50653的立方根是 　 　 ．
（2）求175616的立方根．（过程可按题目中的步骤写）
24．在平面直角坐标系中，对于点M（x，y），若点N的坐标为（nx﹣y，x+ny），则称点N是点M的“n阶智慧点”（其中n为常数）．例如：点M（2，3）的“1阶智慧点”为点N（1×2﹣3，2﹣1×3），即点N的坐标为（﹣1，5）．
（1）已知点M的坐标为（3，2），求点M的“2阶智慧点”的坐标；
（2）将点M（d﹣1，3d+2）先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点M1，若点M1的“﹣2阶智慧点”M2在坐标轴上，求点M2的坐标；
（3）已知C（1，0），D（0，1），在第一象限内是否存在横坐标为整数的点M（a，2），它的“k阶智慧点（k为正整数）”N，使得四边形CODN的面积为4？如果存在，请你求出k的值；如果不存在，请说明理由．
25．已知直线AB∥CD，在三角板EFG中，∠F＝90°，∠EGF＝30°．
（1）将三角板EFG按图1放置，点E和点G分别在直线AB、CD上，若∠DGF＝25°，则∠AEF＝ 　 　 °，∠BEG＝ 　 　 °；
（2）将三角板EFG按图2放置，点E和点G分别在直线AB、CD上，GF交AB于点H，若∠DGF＝α，∠BEF＝β．试求α、β之间的数量关系；
（3）在图2中，若∠AEF＝20°，∠AEG＝40°，将三角形EFH绕点F以每秒10°的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒．当三角形EFH的两条直角边分别与GE平行时，求出相应t的值（直接写出答案）．
南门学校2025-2026学年度下学期期中质量检测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C C D A C B B
11. 5 12. 64 13. 8 14. 155° 15. （﹣3，2）
16.原式 = 3 + 2 + （-2）
= 3
17. 解得：
18. 解：∵x﹣9的平方根是±3，
∴x﹣9＝9，
解得x＝18，
∵27的立方根是3，
∴x+y＝27，
∴y＝9，
∴x﹣y的平方根是±3．
20．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E，∠CFE＝∠E．
求证：∠B+∠BCD＝180°．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AD∥BC，
∴　∠DAE ＝∠E（理由：　两直线平行，内错角相等　 ）．
∵AE平分∠BAD，
∴　∠DAE ＝　∠BAE ．
∴∠BAE＝∠E．
∵∠CFE＝∠E，
∴∠CFE＝∠BAE，
∴AB ∥CD （理由：　同位角相等，两直线平行　 ）．
∴∠B+∠BCD＝180°（理由：　两直线平行，同旁内角互补　 ）．
21.解：（1）由题意得，三角形ABC向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到三角形DEF，
如图，三角形DEF即为所求．
（2）由图可得，D（﹣4，﹣2），E（0，﹣4），F（1，﹣1）．
（3）三角形DEF的面积为＝7．
22.解：（1）设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨，
由题意列二元一次方程组得：，
解得，
即1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨，
答：1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨；
（2）由题意列二元一次方程得：5m+4n＝46，
∴，
又∵m、n均为正整数，
∴或，
∴该物流公司共有2种租车方案，
方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车；
方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车．
23.解：（1）①∵，，
又∵1000＜50653＜1000000，
∴10＜＜100，
∴能确定50653的立方根是个两位数．
②50653的个位数是3，
又∵73＝343．
∴能确定50653的立方根的个位数是7．
③若划去50653后面的三位563得到数50，而＜＜，则3＜＜4，可得30＜＜40，
由此确定50653的立方根的十位数是3，因此50653的立方根是37，
故答案为：2，7，37；
（2）①∵，，
又∵1000＜175616＜1000000，
∴10＜＜100，
∴能确定50653的立方根是个两位数．
②175616的个位数是6，
又∵63＝216．
∴能确定175616的立方根的个位数是6．
③若划去175616后面的三位616得到数175，而＜＜，则5＜＜6，可得50＜＜60，
由此确定175616的立方根的十位数是5，因此175616的立方根是56．
24.解：（1）由题可知，M的“2阶智慧点”的坐标（2×3﹣2，3+2×2），即（4，7）
故答案为：（4，7）
（2）由题可知M1（d﹣1+3，3d+2﹣2），即M1（d+2，3d），
∴M1的“﹣2阶智慧点”M2[﹣2（d+2）﹣3d，（d+2）+（﹣2）×3d]，
即M2（﹣5d﹣4，﹣5d+2），
∵M2在坐标轴上，
∴﹣5d﹣4＝0或﹣5d+2＝0，
∴或，
∴M2（0，6）或M2（﹣6，0）；
（3）理由；在第一象限内存在横坐标为整数的点M（a，2），它的“k阶智慧点（k为正整数）”N，使得四边形CODN的面积为4；
∵N为M（a，2）的k阶智慧点，
∴N（ka﹣2，a+2k），
连结ON，
∴
∵S四边形CODN＝4，
∴ka﹣2+a+2k＝8，
∴，
∵a为正整数，k是正整数，
当a＝4时，；
当a＝1时，；
当a＝2时，；
当a＝3时，（舍去），
综上所述，k＝1或2或3．
25.解：（1）如图，过点F作FL∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥FL∥CD，
∴∠AEF＝∠EFL，∠BEG＝∠DGE，∠LFG＝∠DGF＝25°，
∴∠EFL＝∠F﹣∠LFG＝90°﹣25°＝65°，
∴∠AEF＝65°，
∴∠BEG＝∠DGE＝∠EGF+∠DGF＝30°+25°＝55°，
故答案为：65；55；
（2）如图，过点F作直线MN∥AB，
则∠NFE+∠BEF＝180°，
又∵∠BEF＝β，
∴∠NFE＝180°﹣∠BEF＝180°﹣β，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠MFG+∠DGF＝180°，
又∵∠DGF＝α，
∴∠MFG＝180°﹣∠DGF＝180°﹣α，
∵∠MFG+∠GFE+∠NFE＝180°+∠GFE＝90°，
∴（180°﹣α）+90°+（180°﹣β）＝180°，
即α+β＝270°．
（3）t的值为3或12或21或30．
∵△EFH的两条直角边分别与GE平行，
∴FH'∥EG，E′F∥EG．
分类讨论如下：
①如图，当FH′∥EG时，延长FH'交AB于点M，
则∠FME＝∠AEG，
又∵∠AEG＝40°，
∴∠FME＝40°，
又∵∠FME+∠MFE+∠AEF＝180°，∠AEF＝20°，
∴∠MFE＝180°﹣∠AEF﹣∠FME＝120°，
又∵∠HFE＝90°，
∴∠BFF＝95°，∠MFH＝∠MFE﹣∠HFE＝30°，
又∵△EFH绕点F以每秒10°的速度顺时针旋转一周，
∴此时t＝30°÷10°＝3；
当△EFH再绕点F顺时针旋转180°时，FH'//EG，
此时t＝3+180°÷10°＝21；
②如图，当E′F∥EG时，设FE'交AB于点N，
同理得∠NFE＝120°，
∴t＝120°÷10°＝12；
当△EFH再绕点F顺时针旋转180°时，FE'//EG，
此时t＝12+180°÷10°＝30；
综上，t的值为3或12或21或30．

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