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同心县第四中学2025-2026学年度第一学期期末试卷
九年级数学
满分：120分 时间：120分钟
一.选择题（每题3分，共24分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．最高点的纵坐标是2
3．方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
4.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
5．下列事件是不可能事件的是（　　 ）
A．守株待兔 B．水中捞月 C．百步穿杨 D．瓮中捉鳖
6．三角形内切圆的圆心为（　　 ）
A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
7．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则△AOC扫过的面积为( )
A．π+ B．π + C．3π D．π
（第7题） （第8题）
8．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题（每题3分，共24分）
9．从－，0，，π，3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是____ 10.一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根是2，则另一个根是 .
11．已知点，在二次函数的图象上，则 ．
（填“”，“”或“”）
12．如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，则地基的面积为 m2 ．
13．有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为 ．
（第12题） （第14题） （第15题）
14．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是 ．
15．如图，二次函数与一次函数的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是　 　．
16．已知及外一点P，求作直线,PE，使,PE与相切于点D,E
【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）：
①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C；
②作直线，交于点B；
③以点B为圆心，长为半径画弧， 交于点D，E；
④作直线，，则直线,PE
即为所求．请给出PD，PE为切线的理论依据： （请写出定理的内容）
三．解答题（共72分）
17.（8分，每小题4分）解方程
(1) (2)7x(5x-2)=3(5x-2)
18．（6分） 二次函数是常数中，自变量与函数的对应值如下表：
1 2 3
1 1
（1）写出二次函数图象的顶点坐标 ．开口方向
（2）一元二次方程是常数的两个根的取值范围是下列选项中的哪一个 ．
① ②
③ ④
19. （6分）如图所示，△ABC与点O在10×10的网格
中的位置如图所示，设每个小正方形的边长为1．
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC的外接圆，圆心为点M.（3）若∠ACB=22.5°，求长度
20.(6分）由于我校学生较多，为了便于学生尽快就餐，学校规定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放(发放的食品价格一样)，食堂在某天早餐提供了牛肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．
(1)按规定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件(填“可能”“必然”或“不可能”)；
(2)请用列表或画树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到牛肉包和油饼的概率．
21.（6分）如图，已知圆锥的底面半径2cm，母线长6cm
（1）圆锥的高OM= cm.侧面展开扇形BOC的圆心角= °
（2）求圆锥的全面积。
22．（6分）在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
23.（6分）如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，
△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE．
（1）求证：△ABC≌△ABE；（2）连接AD，求AD的长．
24.（8分）如图，在△ABC中，，以为直径作，交于点D，
交于点F，连接，过点D作，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为2，，求阴影部分的面积．（结果保留π）
25. （10分）甘肃临夏回族自治州，旧称河州，位于黄河中上游，它不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图①所示的投石机是古代战争中的攻城武器．已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，石块从距离地面5的点A处投出，其运动过程中的最高点距离地面30，此时到点A的水平距离为50．
（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式；
（2）若高为4的城墙离的水平距离为100，请判断（1）中的石块能否越过城墙，若能越过请说明理由，若不能越过，问为了抵御外敌，城墙应至少加高几米？
26．(10分)如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝x2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－3，0)．
(1)求点B的坐标；
(2)若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；
（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物
线于点D，求线段QD长度的最大值．

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