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第22练　任意角和弧度制、三角函数的概念
1.教室里的钟表慢了30分钟,在同学将它校正的过程中,时针需要旋转的弧度数为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.- B.
C.- D.
2.若角α与角β的终边相同,则α-β的终边在 (　 )
A.x轴的非负半轴上
B.y轴的非负半轴上
C.x轴的非正半轴上
D.y轴的非正半轴上
3.[2025·广东部分学校3月联考] 已知某扇形的圆心角为2 rad,面积为25,则该扇形所对应圆的面积为 (　 )
A.5π B.16π C.25π D.36π
4.角θ为第三象限角的充要条件是 (　 )
A. B.
C. D.
5.已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.若角α终边上一点P的坐标为,则sin αtan α= (　 )
A.- B.- C. D.
6.(多选题)若角α的终边经过点P(t,-2t)(t<0),则下列结论正确的是 (　 )
A.α是钝角
B.α是第二象限角
C.tan α=-2
D.点(cos α,sin α)在第四象限
7.给出下列各三角函数值:①sin(-100°);②cos(-220°);③tan(-10);④cos.其中符号为负的是　　　　(填序号).
8.已知一个扇形的面积和周长均为16,则该扇形的圆心角(正角)大小为　　　　.(用弧度制表示)
9.已知角α的终边上有一点P(3tan θ,-4tan θ),其中θ∈.
(1)判断角α是第几象限角;
(2)求角α的正弦、余弦及正切值.
10.中国扇子历史悠久,源远流长,在长达数千年的发展过程中,被赋予了极其深厚的文化内涵和鲜明的民族特色.自古中国就有“制扇王国”的美誉.如图,现从一圆面中剪下一个扇形(阴影部分)制作一把扇形扇子,为了使扇子形状更为美观,要求剪下的扇形和圆面剩余部分的面积比值为黄金分割比,则剪下的扇形的圆心角应为 (　 )
A.(3-)π B.(3-6)π
C. D.
11.[2025·安徽马鞍山一模] 在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,它们的终边关于直线y=-x对称.若sin α=,则cos β= (　 )
A. B.-
C. D.-
12.(多选题)已知角α是第二象限角,则下列不等式一定成立的是 (　 )
A.sin<0
B.tan>0
C.sin>cos
D.>
13.[2025·河北保定一模] 设α是第二象限角,P(x,1)为其终边上一点,且cos α=x,则tan α=　　　　.
14.有相互啮合的两个齿轮,大轮有36齿,小轮有24齿,当大轮转动2周时小轮转动的角度为　　　　;若小轮的转速为270 r/min,大轮圆周上一点每秒转过的弧长为120π cm,则大轮的半径为　　　　cm.
15.如图,已知圆心在坐标原点O的两个同心圆的半径分别为1和2,点A和点B分别从初始位置(1,0)和(2,0)处按逆时针方向做圆周运动,且相同时间内运动的路程(弧长)相等.
(1)当点A运动的路程为时,求线段AB的长度;
(2)记A(x1,y1),B(x2,y2),求x1+y2的最大值.
16.(多选题)[2025·湖南师大附中模拟] 古希腊数学家托勒密对三角学的发展作出了重要贡献,他研究出角与弦之间的对应关系.托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长,将圆心角α(0°<α≤180°)所对的弦长记为crd α.例如圆心角180°所对弦长等于直径,即120个度量单位,所以crd 180°=120.下列说法正确的是 (　 )
A.crd 60°=60
B.若crd α=90,则α=90°
C.crd α=60
D.若0°<α≤90°,0°<β≤90°,则crd α+crd β17.设圆O的半径为2,点P为圆周上给定一点,如图,放置边长为2的正方形ABCD(实线所示,正方形的顶点A与点P重合,点B在圆周上),现将正方形ABCD沿圆周按顺时针方向连续滚动,当点A首次回到点P的位置时,点A所走过的路径的长度为　　　　.
第22练　任意角和弧度制、三角函数的概念
1.A　[解析] 将钟表校正的过程中,时针顺时针旋转了15°,故时针旋转的弧度数为-,故选A.
2.A　[解析] 由题意得α=β+k·360°,k∈Z,故α-β=k·360°,则α-β的终边在x轴的非负半轴上.故选A.
3.C　[解析] 设该扇形所对应圆的半径为r,因为该扇形的圆心角为2 rad,面积为25,所以25=×2r2,解得r2=25,所以S圆=πr2=25π.故选C.
4.B　[解析] 对于A,由可得θ为第一象限角,所以A不符合题意;对于B,由可得θ为第三象限角,反之也成立,所以B符合题意;对于C,由可得θ为第二象限角,所以C不符合题意;对于D,由可得θ为第四象限角,所以D不符合题意.故选B.
5.D　[解析] 由P,可得P,且P在单位圆上,所以sin α=,tan α==,故sin αtan α=.故选D.
6.BC　[解析] 由点P(t,-2t)(t<0)在第二象限,可得α是第二象限角,但不一定是钝角,故B正确,A错误;tan α==-2,故C正确;由sin α>0,cos α<0,得点(cos α,sin α)在第二象限,故D错误.故选BC.
7.①②③　[解析] 对于①,因为-180°<-100°<-90°,所以-100°是第三象限角,所以sin(-100°)<0;对于②,因为-270°<-220°<-180°,所以-220°是第二象限角,所以cos(-220°)<0;对于③,因为-<-10<-3π,所以-10是第二象限角,所以tan(-10)<0;对于④,因为是第一象限角,所以cos>0.故填①②③.
8.2　[解析] 设该扇形的半径为r,圆心角为θ,则扇形的周长为θr+2r=16,扇形的面积为θr2=16,解得θ=2.
9.解:(1)∵θ∈,∴tan θ<0,∴3tan θ<0,-4tan θ>0,∴点P(3tan θ,-4tan θ)在第二象限,即角α的终边在第二象限,∴角α是第二象限角.
(2)∵角α的终边上有一点P(3tan θ,-4tan θ),∴tan α=-,即=-,又sin2α+cos2α=1,由(1)知,角α是第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,∴sin α=,cos α=-.
10.A　[解析] 设圆的半径为r,剪下的扇形的圆心角为α,则圆面剩余部分的圆心角为2π-α,由题意可得==,解得α=(3-)π.故选A.
11.B　[解析] 若角α的终边在第一象限,设终边上一点P(x,y),则P关于直线y=-x的对称点P'(-y,-x)在β的终边上,此时cos β===-sin α=-;若角α的终边在第二象限,设终边上一点Q(x,y),则Q关于直线y=-x的对称点Q'(-y,-x)在β的终边上,此时cos β===-sin α=-.故选B.
12.BD　[解析] 由题意知2kπ+<α<2kπ+π,k∈Z,故kπ+<0,>,故A,C中不等式不一定成立,B,D中不等式一定成立.故选BD.
13.-　[解析] ∵α是第二象限角,∴x<0,又cos α==x,∴=2,可得x=-,∴tan α===-.
14.6π　20　[解析] 当大轮转动2周时,大轮转过的齿数为36×2=72,则小轮转动的周数为72÷24=3,则小轮转动的角度为2π×3=6π.当小轮的转速为270 r/min时,大轮的转速为270×=180(r/min),则大轮每秒转动的角度为=6π,由大轮圆周上一点每秒转过的弧长为120π cm,可知大轮的半径为=20(cm).
15.解:(1)如图,连接OA,OB,
因为点A运动的路程为,|OA|=1,所以∠AOx=,又|OB|=2,所以∠BOx=,所以∠AOB=.
在△AOB中,由余弦定理得|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|·|OB|·cos∠AOB,可得|AB|=,即线段AB的长度为.
(2)设∠AOx=2α,则∠BOx=α,
所以A(cos 2α,sin 2α),B(2cos α,2sin α),则x1+y2=cos 2α+2sin α=-2sin2α+2sin α
+1=-2+,所以当sin α=时,x1+y2取得最大值.
16.AC　[解析] 设圆的半径为R,因为crd 180°=120,所以2R=120,故R=60.对于A,圆心角60°所对弦长为2Rsin 30°=2R×=R=60,故A正确.对于B,若crd α=90=120sin,则sin=,故α≠90°,故B错误.对于C,圆心角α所对的弦长为2Rsin,故crd α=2sin×60=60=60,故C正确.对于D,由三角形两边之和大于第三边可知,α,β所对的弦长之和大于α+β所对的弦长,所以若0°<α≤90°,0°<β≤90°,则crd α+crd β>crd(α+β),故D错误.故选AC.
17.(2+)π
[解析] 由题设,以正方形的边为弦时所对圆心角为,正方形在圆上滚动时点的顺序依次如图所示,(图中各点字母,从左到右表示第一次、第二次、…到达该点的正方形顶点字母),当A首次回到P的位置时,正方形滚动了11次,设第i次滚动,点A所走过的路径的长度为Ai,则A1=×AB=,A2=×AC=,A3=×DA=,A4=0,所以当点A首次回到点P的位置时,点A所走过的路径的长度为3(A1+A2+A3)+2A4=(2+)π.

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