资源简介

第25练　简单的三角恒等变换
1.sin 15°+cos 15°= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2.[2025·广东佛山二调] 若tan θ=-2,则cos 2θ= (　 )
A.- B.
C.- D.
3.已知cos α=,sin(β-α)=-,α,β均为锐角,则β= (　 )
A. B.
C. D.
4.[2025·安徽合肥A10联盟预测] 已知sin θ=,则sin= (　 )
A. B.-
C. D.-
5.[2026·湖南衡阳一中月考] 已知cos(α+β)=sin αcos β,tan αtan β=-2,则tan(α+β)= (　 )
A.- B.
C. D.-
6.(多选题)[2025·河北邯郸模拟] 已知tan=,则 (　 )
A.tan=3
B.tan α=
C.sin 2α=
D.1+cos α=2sin α
7.已知平面向量a=(4,sin α),b=(2,cos α),若a∥b,则sin 2α+cos 2α=　　　　.
8.化简:·=　　　　.
9.已知2sin α=2sin2-1.
(1)求sin αcos α+cos 2α的值;
(2)若α∈(0,π),β∈,且tan2β-6tan β=1,求α+2β的值.
10.化简的结果为 (　 )
A. B.1
C.2sin 9° D.2
11.已知α,β,γ均为锐角,且tan α=,tan β=,tan γ=,则α+β+γ= (　 )
A. B.
C. D.或
12.(多选题)[2025·浙江杭州二中模拟] 已知<α<π,π<β<,sin 2α=,cos(α+β)=-,则下列结论正确的是 (　 )
A.cos 2α=
B.sin α-cos α=
C.sin(α+β)=
D.β-α=
13.已知sin(α+β)sin(α-β)=2m(m≠0),则cos2α-cos2β=　　　　.
14.已知α∈,β∈,且tan α=,则α-β=　　　　.
15.已知m=(2cos x,sin x),n=,函数f(x)=m·n.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若锐角α,β满足f=,cos(α+β)=-,求f.
16.(多选题)[2025·丽水模拟] 如图所示,在平面直角坐标系中,以O为顶点,以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A,B两点.若点A的横坐标为,点B的纵坐标为,则下列结论正确的是 (　 )
A.tan β=-4
B.sin(α+β)=
C.tan(β-α)=
D.cos(2α-β)=
17.[2025·河南五市二联] 如图,已知扇形AOB的半径OA=3,∠AOB=,点C在(不含端点)上,点D,E分别在OB,OA上,且CD∥OA,DE⊥OA,则△CDE的面积的最大值为　　　　.
第25练　简单的三角恒等变换
1.A　[解析] sin 15°+cos 15°=sin(15°+45°)=sin 60°=.故选A.
2.A　[解析] cos 2θ=cos2θ-sin2θ====-.故选A.
3.C　[解析] 因为cos α=,sin(β-α)=-<0,α,β均为锐角,所以sin α==,β-α∈,可得cos(β-α)==,故sin β=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cos α+
cos(β-α)sin α=-×+×=,则β=.故选C.
4.A　[解析] sin=sin=sin=cos 2θ=1-2sin2θ=1-2×=.故选A.
5.C　[解析] 由cos(α+β)=sin αcos β,得cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β,
所以1-tan αtan β=tan α,又因为tan αtan β=-2,所以tan α=3,tan β=-,所以tan(α+β)===.故选C.
6.ACD　[解析] ∵tan==3,∴选项A正确;∵tan α==,∴选项B不正确;∵sin 2α=2sin αcos α===,∴选项C正确;∵==tan=,∴1+cos α=2sin α,∴选项D正确.故选ACD.
7.　[解析] 由a=(4,sin α),b=(2,cos α),且a∥b,得4cos α=2sin α,所以tan α=2,
所以sin 2α+cos 2α===.
8.tan x　[解析] ·=·=·
=sin x·=tan x.
9.解:(1)由已知得2sin α=-cos α,所以tan α=-,故sin αcos α+cos 2α==
=.
(2)由tan2β-6tan β=1,可得tan 2β==-,
则tan(α+2β)===-1.
因为β∈,所以2β∈(0,π),又-因为α∈(0,π),-10.B　[解析] 原式===
==1.故选B.
11.A　[解析] 由题可知tan(α+β)===,故tan(α+β+γ)===1.因为α为锐角,且tan α=12.BD　[解析] 由<α<π,得<2α<2π,又sin 2α=,所以<2α<π,故cos 2α=-,故A错误;因为<2α<π,所以<α<,则sin α>>cos α,故sin α-cos α====,故B正确;因为<α<,π<β<,所以<α+β<2π,又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=-=-=-,故C错误;sin(β-α)=sin(α+β-2α)=sin(α+β)cos 2α
-cos(α+β)sin 2α=-×+×=,因为<α<,π<β<,所以<β-α<,则β-α=,故D正确.故选BD.
13.-2m　[解析] 由sin(α+β)sin(α-β)=2m(m≠0),可得2sin(α+β)sin(α-β)=cos[(α+β)-(α-β)]-cos[(α+β)+(α-β)]=cos 2β-cos 2α=4m,则cos2α-cos2β=-==-2m.
14.　[解析] 根据二倍角公式得sin 2β=2sin βcos β,cos 2β=cos2β-sin2β.又因为sin2β+cos2β=1,所以tan α=====,所以tan α(1-tan β)
=1+tan β,整理得tan α-tan β=1+tan αtan β,所以tan(α-β)==1,又因为α∈,β∈,则α-β∈,所以α-β=.
15.解:(1)由题意知f(x)=m·n=2cos xcos-sin2x+sin xcos x
=cos2x+cos xsin x-sin2x+sin xcos x=cos 2x+sin 2x=
2=2=2sin,所以函数f(x)的最小正周期T=π.
(2)由f=2sin α=,得sin α=,又因为α是锐角,所以cos α=.因为α,β均是锐角,所以α+β∈(0,π),又cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=,则cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+
sin(α+β)sin α=-×+×=,故f=2sin=2cos β=2×=.
16.ACD　[解析] 由α为锐角,得0<α<,由β为钝角,得<β<π.因为xA=,所以yA==,所以cos α=,sin α=,tan α=.因为yB=,所以xB=-=-,所以cos β=-,sin β=,tan β=-4,A选项正确.sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=×+×=,B选项错误.tan(β-α)====,C选项正确.cos(2α-β)=cos 2αcos β+sin 2αsin β=(cos2α-sin2α)cos β+2sin αcos αsin β
=×+2×××==,D选项正确.故选ACD.
17.　[解析] 如图,连接OC,过点C作OA的垂线,垂足为C',设∠COA=θ,易知四边形CDEC'为矩形,OC=3,DE=CC'=3sin θ,OC'=3cos θ.因为∠AOB=,DE=3sin θ,所以OE=
sin θ,故CD=EC'=OC'-OE=3cos θ-sin θ,所以S△CDE=×CD×DE=×(3cos θ
-sin θ)×3sin θ=(3sin θcos θ-sin2θ),由二倍角公式可知3sin θcos θ
=sin 2θ,sin2θ=,故S△CDE==-,由辅助角公式可知==sin,又点C在(不含端点)上,所以θ∈,故当θ=时,△CDE的面积取得最大值,最大值为-=.

展开更多......

收起↑