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第27练　函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用
1.函数f(x)=2sin在下列区间上单调递减的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2.[2025·广东汕头一模] 要得到函数y=sin 2x的图象,只需将函数y=sin的图象 (　 )
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
3.若将函数y=cos(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到一个奇函数的图象,则ω的最小值为 (　 )
A. B.1
C. D.3
4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(x)的表达式可以为 (　 )
A.f(x)=2cos
B.f(x)=2cos
C.f(x)=sin
D.f(x)=2sin
5.(多选题)[2025·河南新乡二模] 将函数g(x)=2sin图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数f(x)的图象,则 (　 )
A.f=1
B.f(x)的最小正周期为
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)的图象关于直线x=-对称
6.(多选题)[2025·重庆一中一诊] 声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动.为了有效地消除噪声,人类研发了主动降噪的技术,该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率、振幅完全相同,但相位差为π的奇数倍的声音,理论上就可以和噪声完全抵消.某一目标噪声的数学函数模型是f(x)=sin,则可以作为降噪模拟声的数学函数模型的函数解析式可以为(　 )
A.g(x)=-sin
B.g(x)=cos
C.g(x)=cosx
D.g(x)=cos
7.函数y=2sin的最小正周期为　　　　,振幅为　　　　,初相为　　　　.
8.将函数f(x)=tan的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则g(x)的图象的对称中心为　　　　　　.
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的零点;
(3)将f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求g(x)在上的取值范围.
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中M,N为函数图象上相邻的最高点和最低点,且|MN|=4,将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)在下列区间上单调递增的是 (　 )
A. B.
C. D.
11.[2025·浙江精诚联盟适应性联考] 若函数f(x)=2cos(ωx+φ)的最小正周期为π,其图象的一条对称轴的方程为x=,则函数f(x)在[-π,π]上的零点个数为 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
12.(多选题)[2025·河南开封等三地二模] 如图,弹簧挂着的小球做上下运动,它在时间t(单位:s)时相对于平衡位置的高度h(单位:cm)由关系式h(t)=2sin确定,则下列说法正确的是 (　 )
A.小球在开始振动(即t=0)时在平衡位置上方 cm处
B.每秒钟小球能往复振动2π次
C.函数h(t)的图象关于直线t=对称
D.小球从t= 到t=时运动的路程是5 cm
13.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π)的部分图象如图所示,A,B是该函数图象上的两点,则f的值为　　　　.
14.将函数f(x)=sin x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,再将g(x)的图象上各点的横坐标变为原来的(ω>0),纵坐标不变,得到函数h(x)的图象,若h(x)在区间(0,π)上恰有两个极值点和两个零点,则ω的取值范围为　　　　.
15.[2025·湖北黄冈调研] 已知函数f(x)=sin ωx·cos ωx+cos2ωx,ω>0的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间以及其图象的对称中心;
(2)将函数f(x)的图象先向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,在函数g(x)的图象上从左到右依次取点A1,A2,…,A2027,该点列的横坐标依次为x1,x2,…,x2027,其中x1=,xn+1-xn=(n∈N*),求g(x1)+g(x2)+…+g(x2027)的值.
16.已知函数f(sin x)的定义域为,且f(sin x)=cos x,直线l:y=x+b与曲线|y|=f(x)交于M,N两点,则 (　 )
A.f(x)为奇函数
B.f(x)的定义域和值域相同
C.b∈(-1,1)
D.|MN|的最大值为2
17.[2025·北京海淀区一模] 如图所示,某游乐场有一款游乐设施,该设施由转轮A和转轮B组成,B的圆心固定在转轮A上的点Q处,某个座椅固定在转轮B上的点M处.A的半径为10米,B的半径为5米,A的圆心P距离地面的竖直高度为20米.游乐设施运行过程中,A与B分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转,A旋转一周用时π分钟,B旋转一周用时分钟.当Q在P正下方且M在Q正下方时,开始计时,设在第t分钟M距离地面的竖直高度为h(t)米.给出下列四个结论:
①h=25;
②h(t)的最大值是35;
③M在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟;
④存在t0∈(0,π),使得t=t0时M到P的距离等于15米.
其中所有正确结论的序号为　　　　.
第27练　函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用
1.C　[解析] 由+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.当k=-1时,f(x)在区间上单调递减;当k=0时,f(x)在区间上单调递减;当k=1时,f(x)在区间上单调递减.故f(x)在,,上均不单调递减,在上单调递减,故选C.
2.C　[解析] 将函数y=sin的图象向右平移个单位长度得到y=sin=sin 2x的图象,故选C.
3.A　[解析] 将函数y=cos(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到f(x)=cos=cos的图象,因为f(x)为奇函数,所以ω+=kπ+,k∈Z,则ω=+,k∈Z,又ω>0,所以ω的最小值为,故选A.
4.A　[解析] 设f(x)的最小正周期为T,由题图可知A=2,T=-,解得T=π,故ω==2.因为f(x)的图象经过点,所以2×+φ=+2kπ,k∈Z,故φ=-++2kπ,k∈Z,所以f(x)=2sin=2sin=2cos,k∈Z.故选A.
5.ACD　[解析] 依题意可得f(x)=2sin,故f=2sin=1,故A正确;f(x)的最小正周期T==π,故B错误;由f=0,可知f(x)的图象关于点对称,故C正确;由f=-2,可知f(x)的图象关于直线x=-对称,故D正确.故选ACD.
6.AB　[解析] 由题意可知,可以作为降噪模拟声的数学函数模型为g(x)=sin=-sin,k∈Z,又g(x)=sin=sin=sin=cos,k∈Z,故A,B选项满足题意,C,D选项不满足题意.故选AB.
7.4π　2　-　[解析] 由题意,函数的最小正周期为=4π,振幅为2,初相为-.
8.,k∈Z　[解析] 由题意可知,函数g(x)=f=tan=tan 2x,令2x=,k∈Z,解得x=,k∈Z,所以函数g(x)的图象的对称中心为,k∈Z.
9.解:(1)由题可知解得设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可知-=T=,可得T==π,解得ω=2.
由f=2sin+1=3,可得+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,故f(x)的解析式为f(x)=2sin+1.
(2)令f(x)=0,可得sin=-,所以2x+=-+2kπ,k∈Z或2x+=+2kπ,k∈Z,解得x=-+kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z,所以f(x)的零点为x=-+kπ,k∈Z和x=+kπ,k∈Z.
(3)由题意可得g(x)=2sin+1=2sin+1.
因为x∈,所以2x+∈.当2x+=,即x=时,g(x)取得最大值g=3;
当2x+=,即x=时,g(x)取得最小值g=1-.故g(x)在上的取值范围为[1-,3].
10.D　[解析] 由题图知A=,设f(x)的最小正周期为T,因为|MN|=4,所以=4,所以T=4,故ω==,所以f(x)=sin.由f(2)=0,得sin(π+φ)=-sin φ=0,又|φ|<,所以φ=0,故f(x)=sinx.将f(x)的图象向右平移个单位长度,可得函数g(x)=sin的图象,令-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得x∈,k∈Z,当k=0时,x∈;当k=1时,x∈.故选D.
11.D　[解析] 由题意知=π,解得ω=2.因为f(x)的图象的一条对称轴的方程为x=,所以2×+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-,k∈Z,因为0<φ<,所以φ=,故f(x)=2cos.令f(x)=0,得2x+=kπ+,k∈Z,解得x=+,k∈Z,当k=-2,-1,0,1时,x=-,-,,,可得f(x)在[-π,π]上有4个零点.故选D.
12.ACD　[解析] 当t=0时,h(0)=2sin=,故A正确;小球往复振动的周期T==2π,所以每秒钟小球能往复振动次,故B错误;因为h=2sin=2sin=-2,所以函数h(t)的图象关于直线t=对称,故C正确;因为-==,<13.　[解析] 函数f(x)的最小正周期T=,由题意知<<·,解得<ω<.因为且-,分别在函数f(x)的单调递减区间和单调递增区间内,所以k∈Z,故ω=,解得ω=2,符合题意,故φ=-+2kπ,k∈Z,又-π<φ<π,所以φ=-,故f(x)=sin,所以f=sin=cos=.
14.　[解析] 由题意得g(x)=sin=sin=cos,所以h(x)=cos(ω>0).令t=ωx+,x∈(0,π),则t∈.设m(t)=cos t,则m(t)在上恰有两个极值点和两个零点,作出y=m(t)的图象,如图所示,由图可知2π<ωπ+≤,解得<ω≤.
15.解:(1)由题意知f(x)=sin 2ωx+=+sin,因为f(x)的最小正周期为π,所以=π,解得ω=1,所以f(x)=+sin.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
令2x+=lπ,l∈Z,则x=-,l∈Z,故f(x)的图象的对称中心为,l∈Z.
(2)由题意得g(x)=-+sin=sin 2x,
则g(x)的最小正周期为π,又xn+3-xn=×3=π,故g(xn+3)=g(xn),又g(x1)=,g(x2)=g=sin=-,g(x3)=g=sin=-,
故g(x1)+g(x2)+…+g(x2027)=g(x1)+g(x2)+675[g(x1)+g(x2)+g(x3)]=-+675×=.
16.D　[解析] 对于A,因为x∈,所以sin x∈(-1,1),cos x∈(0,1],所以f(sin x)=cos x=,令t=sin x∈(-1,1),则f(t)=,t∈(-1,1),即f(x)=,x∈(-1,1),所以f(-x)==f(x),所以f(x)为偶函数,故A错误.对于B,函数f(x)的定义域为(-1,1),值域为(0,1],故B错误.对于C,由|y|=f(x),得|y|=,即x2+y2=1,x∈(-1,1),故曲线|y|=f(x)为单位圆除去点(-1,0)和点(1,0),如图.若直线l:y=x+b与单位圆有两个交点,则圆心到直线l的距离d==<1,解得b∈.当直线l:y=x+b过点(-1,0)时,b=;当直线l:y=x+b过点(1,0)时,b=-.所以若直线l与曲线|y|=f(x)交于M,N两点,则b∈∪∪,故C错误.对于D,由弦长公式可得|MN|=2,又0≤d<1且d≠,所以当d=0,即直线l过原点时,|MN|取得最大值2,故D正确.故选D.
17.①③　[解析] 转轮A与转轮B分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转,A旋转一周用时π分钟,B旋转一周用时分钟,可得最小正周期TA=π,TB=,所以角速度ωA==2,ωB==4,又A的半径为10米,A的圆心P距离地面的竖直高度为20米,所以第t分钟,Q点距离地面的高度(单位:米)为f(t)=20-10cos 2t,第t分钟,M距离地面的竖直高度(单位:米)为h(t)=f(t)-5cos 4t=20-10cos 2t-5cos 4t,化简得h(t)=-10cos22t-10cos 2t+25=-10+,所以h=-10+=25,故①正确.当cos 2t+=0,即cos 2t=-时,h(t)取得最大值,最大值为,故②错误.因为A旋转一周用时π分钟,B旋转一周用时分钟,所以点Q在圆周上旋转的速度大小为=20(米/分钟),同理可得点M在圆周上旋转的速度大小为=20(米/分钟),所以点M在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟,故③正确.若M到P的距离等于15米,则点Q在线段PM上,则需4t=2t+2kπ,k∈N,得t=kπ,k∈N,所以不存在t0∈(0,π),使得t=t0时M到P的距离等于15米,故④错误.故填①③.

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