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第28练　余弦定理、正弦定理
1.在△ABC中,AC=,B=30°,C=45°,则AB= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.1 D.2
2.已知在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=3,b=,c=7,则A+C的值为 (　 )
A. B.
C. D.
3.[2025·内蒙古赤峰三模] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b+c=a,cos B=,则△ABC的形状是 (　 )
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不确定
4.[2025·河南濮阳质检] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,且ac=20,cos B=,则b= (　 )
A.5 B.2
C.4 D.3
5.[2025·福建福州四检] 已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,若=,则C= (　 )
A. B.
C. D.
6.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论中正确的是 (　 )
A.c=a·sin B+b·sin A
B.c=a·cos B+b·cos A
C.若a>b,则sin 2A>sin 2B
D.若a>b,则cos 2A7.[2025·北京东城区二模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=1,b=,B=,则A=　　　　.
8.[2025·广西柳州二模] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=,b=2,a2+c2=3ac,则△ABC的面积为　　　　.
9.[2024·全国新课标Ⅰ卷] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3+,求c.
10.[2025·浙江金华三模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,a=,b=2,则下列结论一定正确的是 (　 )
A.B< B.B>
C.c>2 D.c<3
11.[2025·聊城二模] 在△ABC中,BC=2,A=60°,则·的最大值为 (　 )
A.6 B.3+2
C.12 D.6+4
12.(多选题)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,sin B+sin C=2sin A,则 (　 )
A.△ABC的周长为12
B.角A的最大值为
C.△ABC的面积的最小值为2
D.△ABC的面积的最大值为4
13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,且a2=b2+bc,则=　　　　.
14.[2025·福州一中模拟] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4a2+b2=
4bcsin A,b=4,则△ABC的面积为　　　　.
15.[2025·湖北武昌实验中学适应性考试] 已知a,b,c分别为锐角三角形ABC的三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若a=3,求△ABC周长的取值范围.
16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,=sin A-sin(B-C).
(1)求角B的大小;
(2)设b=2,求c+a的最大值及c+a取得最大值时△ABC的面积.
第28练　余弦定理、正弦定理
1.D　[解析] 因为AC=,B=30°,C=45°,所以由正弦定理得=,即=,解得AB=2.故选D.
2.C　[解析] 在△ABC中,由余弦定理得cos B===,又03.A　[解析] 由余弦定理可得cos B===,则a+c=b.又因为b+c=a,所以a=b=3c,所以△ABC是等腰三角形.故选A.
4.B　[解析] 由题意可知ac=20,2b=a+c,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B,即b2=4b2-40-2×20×=4b2-72,可得b=2.故选B.
5.C　[解析] 由=及正弦定理,得=,即a2+b2-c2=ab,由余弦定理得
cos C===,又06.BD　[解析] 取a=b=c=1,则A=B=,可得a·sin B+b·sin A=≠c=1,A选项不正确;因为
sin A·cos B+sin B·cos A=sin(A+B)=sin C,所以由正弦定理得c=a·cos B+b·cos A,B选项正确;若a>b,则可取A=,B=,则sin 2A=sin 2B,C选项不正确;若a>b,则sin A>sin B>0,
又因为cos 2A=1-2sin2A,cos 2B=1-2sin2B,所以cos 2A7.　[解析] 由正弦定理得=,则sin A==,由a8.　[解析] 由余弦定理得cos B===,解得ac=2,
所以S△ABC=acsin B=×2×=.
9.解:(1)由余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,又a2+b2-c2=ab,故cos C===,因为C∈(0,π),所以sin C>0,故sin C===,又sin C=cos B,所以cos B=,
又B∈(0,π),所以B=.
(2)由(1)可得B=,因为cos C=,C∈(0,π),所以C=,故A=π--=,故sin A=sin=sin=×+×=.由正弦定理得==,故a=×c=c,b=×c=c.
由三角形的面积公式可知△ABC的面积为absin C=×c·c·=c2,又△ABC的面积为3+,所以c2=3+,所以c=2.
10.D　[解析] 由正弦定理可得=,可得sin B===,又B∈,故B=或B=,故A,B不满足题意.若B=,则C=π-A-B=π--=,此时c===2=2×=+1<3;若B=,则C=π-A-B=π--=,此时C为三角形中最小的内角,故c11.D　[解析] 由正弦定理可得==4=2R,其中R为△ABC的外接圆的半径,设△ABC的外接圆圆心为O,连接OA,OB,如图,则·=·(+).由向量数量积的几何意义及垂径定理可知·=+·≤6+(·)max,当与同向时,·取到最大值,最大值为2×2=4,所以·的最大值为6+4.故选D.
12.ABD　[解析] 对于A,由a=4,sin B+sin C=2sin A及正弦定理得b+c=2a=8,故△ABC的周长为a+b+c=12,选项A正确;对于B,因为bc≤=16,当且仅当b=c时等号成立,所以由余弦定理得cos A==-1=-1≥,当且仅当b=c时等号成立,因为A∈(0,π),cos A≥,所以A∈,选项B正确;对于C,S△ABC=bcsin A,当角A接近0时,△ABC的面积也接近0,所以选项C错误;对于D,S△ABC=bcsin A,由A∈,得sin A∈,且当A=时,sin A取得最大值,又bc≤16,当且仅当b=c时等号成立,所以当b=c=4,A=时,△ABC的面积取得最大值4,选项D正确.故选ABD.
13.　[解析] 由a2=b2+c2-2bccos A及a2=b2+bc,得b2+bc=b2+c2-2bccos A,整理可得c=b(1+2cos A),因为A=,所以c=b(1+2cos A)=b=2b,代入a2=b2+bc中,得a2=b2+2b2=3b2,所以=.
14.4　[解析] 因为4a2+b2=4bcsin A,b=4,所以4a2+16=16csin A,化简得a2+4=4csin A,由正弦定理可知csin A=asin C,可得a2+4=4asin C.由基本不等式可知a2+4≥2=4a,当且仅当a=2时等号成立,所以4asin C≥4a,解得sin C≥1,根据正弦函数的值域可知sin C=1,则C=,sin C=1,可得a2+4=4a·1,解得a=2,所以△ABC的面积为×2×4=4.
15.解:(1)∵acos C+asin C-b-c=0,∴由正弦定理得sin Acos C+sin Asin C-sin B-
sin C=0,在△ABC中,∵A+B+C=π,
∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,代入上式化简得sin Asin C-cos Asin C-sin C=0,∵sin C≠0,∴sin A-cos A=1,即2sin=1.
∵A为锐角,∴A=.
(2)由正弦定理得====2,
又B+C=,∴b+c=2sin B+2sin C=2(sin B+sin C)=2=
2=6sin.∵△ABC是锐角三角形,∴0故316.解:(1)因为A+B+C=π,
所以sin A=sin(B+C),
由正弦定理及=sin A-sin(B-C),可得=sin A-sin(B-C)=sin(B+C)-sin(B-C)=2cos Bsin C,因为C∈(0,π),所以sin C>0,故=2cos B,
即sin 2B=1,又2B∈(0,2π),所以2B=,解得B=.
(2)由题意及(1)知,b=2,B=,
由正弦定理可得====2,
则a=2sin A,c=2sin C,
故c+a=2sin C+4sin A=2sin C+4sin=
2(sin C+sin C+cos C)=
2(2sin C+cos C)=2sin(C+φ),其中cos φ=,sin φ=,且φ∈.
因为C∈,所以C+φ∈,又+φ∈,
所以当C+φ=,即C=-φ时,sin(C+φ)取得最大值1,故c+a的最大值为2,
此时sin C=sin=cos φ=,cos C=cos=sin φ=,所以c=2sin C=2×=,
又sin A=sin=(sin C+cos C)=×=,
故S△ABC=bcsin A=×2××=.

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