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第30练　余弦定理、正弦定理应用举例
1.两座灯塔A和B与海岸观察站C间的距离相等,灯塔A在观察站的北偏东40°方向上,灯塔B在观察站的南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.北偏东10°方向上
B.北偏西10°方向上
C.南偏东10°方向上
D.南偏西10°方向上
2.如图,A,B两点在河的两岸,在B同侧的河岸边选取点C,测得BC=20 m,∠ABC=75°,∠ACB=60°,则A,B两点间的距离为 (　 )
A.10 m B.10 m
C.10 m D.10 m
3.[2025·湖北(恩施高中、夷陵中学、郧阳中学)仿真] 如图,某学生准备测量建筑物AB的高度,在高为50 m的大楼CD的顶部D处测得该建筑物的顶部B的仰角为,底部A的俯角为(A与C在同一水平面内),则该建筑物的高度为 (　 )
A.50(-1)m B.50(+1)m
C.50(+1)m D.50(+2)m
4.如图所示,从热气球A上测得地面上点B的俯角为60°,点C的俯角为45°,A,B,C在同一铅垂平面内,已知B,C两点间的距离为100 m,则热气球距地面的高度AO为 (　 )
A.(100+50)m B.200 m
C.(150+50)m D.(150-50)m
5.[2025·云南昆明一中一模] 如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=75°,∠BDC=45°,CD=30米,在点C处测得塔顶A的仰角∠ACB=60°,则塔高AB约为(≈1.414) (　 )
A.30.42米 B.42.42米
C.50.42米 D.60.42米
6.(多选题)一艘客船上午9:30在A处,此时测得灯塔S在它的北偏东30°方向,之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时测得客船与灯塔S相距8 n mile,则灯塔S可能在B处的 (　 )
A.北偏东75°方向
B.南偏东15°方向
C.东北方向
D.东南方向
7.[2025·陕西名校教育联盟检测] 已知甲船位于灯塔A的北偏东70°方向,且与A相距3 km的B处,乙船位于灯塔A的北偏西50°方向上的C处.若两船相距 km,则乙船与灯塔A之间的距离为　　　　km.
8.[2025·河北衡水中学三模] 如图,A,B,C为某山脚两侧共线的三点,在山顶P处测得三点的俯角分别为α=60°,β=45°,γ=30°,现需要沿直线AC开通穿山隧道DE,已知BC=150 m,AD=30 m,EB=20 m,则隧道DE的长度为 (　 )
A.(100+100)m
B.(150+100)m
C.(150+150)m
D.(100+100)m
9.[2025·江苏南通高品质高中模拟] 如图①是某长方体建筑,图②中的长方体ABCD-A1B1C1D1是该建筑的直观图,点N在AB的延长线上,MN是垂直于地面的测量标杆,其高为h m.现测得BC的长为a m,在M处测得B1点的仰角为α,C1点的仰角为β,则该建筑的高BB1为 (　 )
A.m
B.m
C.m
D.m
10.(多选题)在一次海上训练中,雷达兵在P处发现在北偏东50°方向,相距30公里的水面Q处有一艘A舰艇发出液货补给需求,它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进,这个雷达兵立马协调在P处的B舰艇以每小时70公里的速度,沿北偏东50°+θ方向与A舰艇对接并进行横向液货补给.若B舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给,则 (　 )
A.B舰艇所需的时间为2小时
B.B舰艇与A舰艇对接时距离雷达兵(P处)70公里
C.sin θ=
D.A舰艇与B舰艇对接时距离Q处50公里
11.某数学兴趣小组成员为测量A,B两地(视为质点)之间的距离,在A的正北方向和西偏北15°方向上分别选取点C,D,已知A,C两地相距5千米,B,D两地相距10千米,且D在C的西南方向上,B在A的西南方向上,则A,B两地之间的距离是　　　　千米.
12.如图,我校数学兴趣小组为了测量建筑物AB的高度,在地面上共线的三点C,D,E处分别测得建筑物的顶点A的仰角为30°,45°,60°,且CD=DE=22 m,则该建筑物的高度AB为　　　　.
13.[2025·湖南长沙一中一模] 如图,海岸上建有相距40海里的雷达站C,D,某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后,调配附近的A船紧急前往救援,雷达站测得的角度数据为∠BCA=45°,∠ACD=30°,∠BDC=45°,∠ADB=75°.
(1)救援出发时,A船与雷达站C的距离为多少
(2)求A,B之间的距离,并判断若A船以30海里/时的速度前往B处,能否在3小时内赶到救援(说明理由)
第30练　余弦定理、正弦定理应用举例
1.B　[解析] 如图,依题意知AC=BC,因为灯塔A在观察站的北偏东40°方向上,灯塔B在观察站的南偏东60°方向上,所以∠ACB=80°,所以∠ABC=50°,所以灯塔A在灯塔B的北偏西10°方向上,故选B.
2.D　[解析] 由题知∠BAC=180°-75°-60°=45°,在△ABC中,由正弦定理得=,∴AB====10(m).故选D.
3.B　[解析] 过点D作AB的垂线,垂足为H,则DH=CA=CD=50 m,所以BH=DH=50m,则该建筑物的高度为AH+BH=50(+1)m.故选B.
4.C　[解析] 在Rt△AOB中,∠OAB=30°,所以OB=OAtan∠OAB=OA.在Rt△OAC中,
∠OAC=45°,所以OC=OA.因为B,C两点间的距离为100 m,所以OC-OB=OA-OA=100,解得OA=150+50.故选C.
5.B　[解析] 由题意,在△BCD中,∠CBD=180°-75°-45°=60°,由正弦定理得=,即=,可得BC=10.在△ABC中,易知AB⊥BC,因为∠ACB=60°,
所以AB=BCtan 60°=10×=30≈42.42.故选B.
6.AB　[解析] 由题意得AB=32×=16,BS=8,∠BAS=30°,所以=,
解得sin∠ASB=,所以∠ASB=45°或∠ASB=135°.如图所示,当灯塔在S'处时,∠AS'B=45°,所以∠ABS'=105°;当灯塔在S″处时,∠AS″B=135°,所以∠ABS″=15°.综上,灯塔S在B处的北偏东75°方向或南偏东15°方向.故选AB.
7.2　[解析] 如图,由题可得AB=3,BC=,∠CAB=120°,则由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠CAB,即19=AC2+9+3AC,即(AC+5)(AC-2)=0,所以AC=2.
8.A　[解析] 过P向AC作垂线,垂足为H,设PH=h,则在直角三角形PHB中可知BH=h,在直角三角形PHC中可知CH=h,在直角三角形PHA中可知AH=h,因为HC-HB=BC,所以h-h=150,解得h==75(+1)m,因此DE=DH+EH=AH-AD+BH-BE=-30+h-20=(100+100)m.故选A.
9.B　[解析] 设该建筑的高为H m,如图,在BB1上取点S,使BS=MN,连接MS,则四边形BSMN为矩形,在CC1上取点T,使CT=MN,连接MT,TS,则四边形TCNM为矩形且四边形SBCT为矩形.在直角三角形C1TM中,C1T=H-h,∠C1MT=β,故TM=.同理得SM=.在直角三角形TSM中,ST=BC=a,故a2+SM2=MT2,即a2+=,得H=+h=+h=m,故选B.
10.BCD
[解析] 如图所示,设B舰艇经过x小时后在M处与A舰艇对接,则MQ=50x,MP=70x,
∠PQM=120°,由余弦定理得(70x)2=302+(50x)2-3000xcos 120°,整理得8x2-5x-3=0,解得x=1或x=-(舍去),所以MQ=50,MP=70.由正弦定理得=,所以sin θ==.故选BCD.
11.20　[解析] 如图,在△ACD中,∠ACD=45°,∠CAD=90°-15°=75°,则∠ADC=60°,由正弦定理得=,解得AD==10.在△ABD中,∠DAB=15°+45°=60°,设AB=x,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos∠DAB,即(10)2=100+x2-2×10xcos 60°,解得x=20(负值舍去).
12.11 m　[解析] 由题意,设AB=x m,则BC==x m,BD==x m,BE==x m.因为CD=DE=22 m,所以在△BEC中,cos∠BEC=
=①,在△BDE中,cos∠BED=
=②,由①②可得x=11,即AB=11 m.
13.解:(1)在△ADC中,因为∠ACD=30°,∠BDC=45°,∠ADB=75°,所以∠DAC=180°-∠ACD-∠BDC-∠ADB=30°,∠ADC=∠BDC+∠ADB=120°,又DC=40,所以由正弦定理可得=,即=,解得AC=120,所以救援出发时,A船与雷达站C的距离为120海里.
(2)在△BDC中,根据正弦定理可得=,
即=,解得BC=40.
在△ABC中,由余弦定理可得+(40)2-2×120×40cos 45°=8000,
所以AB=40,即A,B之间的距离为40海里.
因为A船以30海里/时的速度前往B处,而=<3,所以能在3小时内赶到救援.

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