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第32练　平面向量基本定理及坐标表示
1.已知点A(0,1),B(2,3),向量=(-3,1),则向量等于 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.(1,-2) B.(-1,2)
C.(1,-3) D.(-1,3)
2.若{e1,e2}是平面α内的一个基底,则下列四组向量能构成平面α的一个基底的是 (　 )
A.e1-e2,e2-e1
B.e1+e2,e1-e2
C.2e2-3e1,-6e1+4e2
D.2e1+e2,e1+e2
3.如图,已知=,用,表示,则等于 (　 )
A.-
B.+
C.-+
D.-
4.知A(0,0),B(λ2,1),C(λ,-2),D(2,-1),若与共线,则λ= (　 )
A.1 B.2
C.-1或2 D.-2或1
5.[2025·吉林长春二模] 在△ABC中,=,点E在BD上,若=x+,则x= (　 )
A.- B.-
C.- D.-
6.(多选题)[2025·湖北华中师大附中月考] 已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的值可以是 (　 )
A.-2 B.
C.1 D.-1
7.[2025·安徽合肥示范中学三模] 已知向量a=(x,1),b=(-2,1),若(a-xb)∥b,则x=　　　　.
8.在△ABC中,点M是AB边的中点,点N在AC边上,且AN∶NC=1∶2,BN与CM相交于点E,设=a,=b,则向量=　　　　.(用a,b表示)
9.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;
(3)如果d=(1,k)且∥d,求k的值.
10.已知A(-1,4),B(2,1),O是坐标原点,点P满足=λ+μ,且λ+μ=2,则点P的轨迹方程为 (　 )
A.x-y=1 B.x-y=2
C.x+y=3 D.x+y=6
11.在△ABC中,点D是线段BC上任意一点,点P在线段AD上,且满足=3,若存在实数m和n,使得=m+n,则m+n= (　 )
A. B.
C.- D.-
12.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),=m+n(m,n∈R),则下列说法正确的是 (　 )
A.若∥,则m+n=0
B.若点P在直线BC上,则m+n=1
C.若++=0,则m-n=0
D.若与共线,则m+n=-1
13.如图所示,在△ABC中,M,N分别在边AB,AC上,且AM∶AB=1∶3,AN∶AC=1∶4,BN与CM交于点E,=a,=b,则=　　　　.(用a,b表示)
14.[2025·柳州三模] 在△ABC中,A=90°,AB=2,AC=3,P为△ABC内(包括边界)一点,且AP=1.若=λ+μ,则2λ+3μ的最大值为　　　　.
15.如图,在△ABC中,P为线段BC上靠近点B的三等分点,O是线段AP(不包括端点)上一点,过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F,设=λ,=μ.
(1)若λ=,μ=,求的值;
(2)若点O为线段AP的中点,求λ+μ的最小值.
16.(多选题)[2025·湖北黄冈二模] 设平面向量,的夹角为,若||=1,||=2且=x+y,则 (　 )
A.当x+y=1时,A,B,C三点共线
B.当x=,y=时,OC平分∠AOB
C.当||=1时,x+y的最大值为2
D.当||=1时,xy的取值范围为
17.已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点,且∠AOB=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是　　　　.
第32练　平面向量基本定理及坐标表示
1.D　[解析] 因为A(0,1),B(2,3),所以=(2,2),所以=+=(2,2)+(-3,1)=(-1,3),故选D.
2.B　[解析] 由{e1,e2}是平面α内的一个基底,可知e1,e2非零不共线.对于A,e1-e2=-(e2-e1),故e1-e2,e2-e1共线,A不满足题意;对于B,e1+e2,e1-e2不共线,B满足题意;对于C,2e2-3e1=(-6e1+4e2),故2e2-3e1,-6e1+4e2共线,C不满足题意;对于D,2e1+e2=2,故2e1+e2,e1+e2共线,D不满足题意.故选B.
3.C　[解析] 因为=,所以=+=+=+(-)=-+.故选C.
4.D　[解析] 因为A(0,0),B(λ2,1),C(λ,-2),D(2,-1),所以=(λ2,1),=(λ-2,-1),又与共线,所以-λ2=λ-2,解得λ=-2或λ=1.故选D.
5.C　[解析] 因为=,所以=,则=x+=x(-)+(-)=-=×-=-,又B,E,D三点共线,所以-=1,解得x=-.故选C.
6.ABD　[解析] 由题意知=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=-=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假设A,B,C三点共线,则1×(m+1)-2m=0,解得m=1,所以只要m≠1,A,B,C三点就能构成三角形.故选ABD.
7.-2　[解析] ∵a-xb=(3x,1-x),(a-xb)∥b,b=(-2,1),∴3x+2(1-x)=0,解得x=-2.
8.a+b　[解析] 由题意得B,E,N三点共线,所以存在λ∈R,使得=λ+(1-λ)=λ+.又C,E,M三点共线,所以存在μ∈R,使得=μ+(1-μ)=μ+.由平面向量基本定理可得解得
所以=+=a+b.
9.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)方法一:∵a=(5,-5),mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),a=mb+nc,
∴解得
方法二:∵a+b+c=0,∴a=-b-c,又a=mb+nc,∴m=-1,n=-1.
(3)∵=3c=(3,24),=-2b=(12,6),∴=-=(12,6)-(3,24) =(9,-18).
∵∥d,∴9k+18=0,解得k=-2.
10.D　[解析] 设P(x,y),则=(x,y),=(-1,4),=(2,1),由题意可知,(x,y)=λ(-1,4)+μ(2,1)=λ(-1,4)+(2-λ)(2,1)=(-λ,4λ)+(4-2λ,2-λ)=(4-3λ,2+3λ),所以消去λ,得点P的轨迹方程为x+y=6.故选D.
11.C　[解析] 方法一:设BD=tBC(0≤t≤1),∵=3,∴-=3-3,∴=+=-+t=+t,∴m+n=--t+t=-.故选C.
方法二(等和线定理):=-=m+n,则=(m+1)+n,由等和线定理得m+1+n==,则m+n=-1=-.故选C.
12.AC　[解析] 由题知,=(1,2),=(1,-1),=(2,1),所以=m+n=(m+2n,2m+n).对于A,若∥,则2m+n+m+2n=0,即m+n=0,故A正确;对于B,=-=(m+2n-2,2m+n-3),若点P在直线BC上,则∥,所以2m+n-3+m+2n-2=0,即m+n=,故B错误;对于C,=(1-m-2n,1-2m-n),=(2-m-2n,3-2m-n),=(3-m-2n,2-2m-n),若++=0,则(6-3m-6n,6-6m-3n)=(0,0),即
解得所以m-n=0,故C正确;对于D,=(m+2n-1,2m+n-1),若与共线,则(m+2n-1)×(-1)-(2m+n-1)=0,即m+n=,故D错误.故选AC.
13.a+b　[解析] ∵M,E,C三点共线,∴设=x+(1-x)=+(1-x)(0≤x≤1).∵B,E,N三点共线,∴设=y+(1-y)=y+(1-y)(0≤y≤1).由平面向量基本定理得解得
∴=+=a+b.
14.　[解析] 如图,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(0,3),设∠PAB=θ,则θ∈,过点P作x轴的垂线,垂足为Q,则AQ=cos θ,PQ=sin θ,所以P(cos θ,sin θ),所以=(cos θ,sin θ),=(2,0),=(0,3).因为=λ+μ,所以(cos θ,sin θ)=(2λ,3μ),所以2λ=cos θ,3μ=sin θ,则2λ+3μ=sin θ+cos θ=sin,又θ∈,所以θ+∈,所以当θ+=,即θ=时,2λ+3μ取得最大值.
15.解:(1)由点E,F,O三点共线,可设=x,即-=x(-),即=(1-x)+x,
∵λ=,μ=,∴=(1-x)+x.
∵P为线段BC上靠近点B的三等分点,∴=+.
由点A,P,O三点共线可设=y,即+=y+y,
故解得故=+=,
故==.
(2)由(1)可知=(1-x)+x,0又=λ,=μ,∴=(1-x)λ+xμ,又O为线段AP的中点,=+,
∴==+,
故得
∴λ+μ=+==×(2-2x+2x)=≥
=,当且仅当=,即x=-1时,等号成立,
故λ+μ的最小值为.
16.ABD　[解析] 对于A,当x+y=1时,=x+y=x+(1-x),可得A,B,C三点共线,故A正确.对于B,当x=,y=时,由=+,可得-=(-),即=,故A,B,C三点共线,且AC=CB.过点C作CD∥OA,交OB于点D,因为||=1,||=2,所以==,==,故CD=OD,则∠DOC=∠DCO,由CD∥OA可得∠AOC=∠DCO,则∠AOC=∠DOC,故OC平分∠AOB,故B正确.对于C,如图,以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),B,即B(-1,),因为||=1,所以不妨设C(cos θ,sin θ),θ∈R,由=x+y可得(cos θ,sin θ)=(x,0)+(-y,y),故解得故x+y=sin θ+cos θ=sin(θ+φ),其中tan φ=,故x+y的最大值为,故C错误.对于D,根据C选项可得则xy=sin θ=sin2θ+sin θcos θ=×+sin 2θ=+sin,因为-1≤sin≤1,所以-≤xy≤,即xy的取值范围为,故D正确.故选ABD.
17.　[解析] 以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,过点O作OB的垂线,以该直线为y轴建立平面直角坐标系,如图.设扇形AOB的半径为1,则A,B(1,0),设C(cos θ,sin θ),其中∠BOC=θ,θ∈.由=λ+μ(λ,μ∈R),得(cos θ,sin θ)=λ+μ(1,0),整理得λ+μ=cos θ,λ=sin θ,解得λ=,μ=cos θ-,则λ+μ=+cos θ-=sin θ+cos θ=sin,因为θ∈,所以θ+∈,所以sin∈,故λ+μ∈.

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