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第33练　平面向量的数量积
1.已知向量a=(4,3),b=(1,0),则a在b上的投影向量为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.(1,0) B.(3,0)
C.(4,0) D.(5,0)
2.[2026·广东惠州第一次调研] 已知向量a,b满足|a|=4,|b|=2,a与b的夹角为,则|a-b|= (　 )
A.2 B.4
C.2 D.2
3.[2025·河南郑州一模] 设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是 (　 )
A.|a|=|b| B.a·b=1
C.(a-b)⊥b D.a∥b
4.[2025·广东汕头二模] 在△ABC中,AD为BC边上的中线,AB=3,AC=2,则·的值为 (　 )
A. B.-
C. D.-
5.[2026·山东青岛入学适应性考] 两个单位向量e1与e2满足e1·e2=0,则向量e1-e2与e2的夹角为 (　 )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
6.(多选题)[2025·安徽皖南八校三联] 已知向量a,b满足|a-2b|=,|a|=|b|=1,则 (　 )
A.a与b的夹角为
B.a与b的夹角为
C.|2a-3b|=
D.a⊥(a+2b)
7.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=　　　　.
8.[2025·北京东城区一模] 已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则cos=　　　　,(a-b)·c=　　　　.
9.已知向量a=(-4,8),b=(x,-4).
(1)若a∥(a+b),求实数x的值及|a+b|;
(2)若a⊥,求向量a与b的夹角的余弦值.
10.[2025·安徽皖江名校联盟联考] 已知平面向量a,b满足a=(1,),|a-b|=4,则|b|的取值范围是 (　 )
A.[2,6] B.[2,2]
C.[2,6] D.[1,2]
11.设圆O的半径为2,A,B,D为圆O上的动点,且圆心O到弦AB的距离为,则·的最大值为 (　 )
A.3 B.5
C.6 D.9
12.(多选题)[2025·福建南平三检] 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则 (　 )
A.当a·b=-1时,a与b的夹角为
B.当|a-b|=2时,a在b上的投影向量为b
C.|a+b|+|a-b|的最大值为2
D.|a+b|+|a-b|的最小值为4
13.[2026·大同一调] 已知a,b是单位向量,且a·b=.若平面向量p满足p·a=p·b=2,则|p|的值为　　　　.
14.在Rt△ABC中,AC=BC=4,D为AB的中点,P为线段CD上的一个动点,则(+)·的最小值为　　　　.
15.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2AD=2DC=4,点F是BC边的中点.
(1)若点E满足=2,且=λ+μ,求λ+μ的值;
(2)若点P是线段AF(含端点)上的动点,求·的取值范围.
16.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内(不包括边界)的一点,则·的取值范围是 (　 )
A.(-2,6) B.(-6,2)
C.(-2,4) D.(-4,6)
17.(多选题)已知向量a,b,c满足|a|=2|b-a|=2|b-c|=2|c|=2,则下列结论可能成立的有 (　 )
A.|b|= B.|b|=
C.b·c= D.b·c=
第33练　平面向量的数量积
1.C　[解析] a在b上的投影向量为·=·=4(1,0)=(4,0).故选C.
2.C　[解析] 方法一:|a-b|2=a2+b2-2a·b=16+4-2×4×2×=12,则|a-b|=2.
方法二:如图,设a=,b=,则AC=4,AB=2,∠CAB=,a-b=,故|a-b|=||=BC=2.故选C.
3.C　[解析] 对于A,∵a=(2,0),b=(1,1),∴|a|=2,|b|=,故A错误;对于B,a·b=2,故B错误;对于C,∵a=(2,0),b=(1,1),∴(a-b)·b=a·b-b2=2-2=0,∴(a-b)⊥b,故C正确;对于D,∵a=(2,0),b=(1,1),∴2×1≠0×1,a∥b不成立,故D错误.故选C.
4.D　[解析] 如图,因为AD为BC边上的中线,所以=(+),又=-,所以·=(+)·(-)=(||2-||2)=-.故选D.
5.D　[解析] 由题意可得|e1|=1,|e2|=1,因为e1·e2=0,所以|e1-e2|===2.设e1-e2与e2的夹角为θ,0°≤θ≤180°,则cos θ===-,所以θ=150°.故选D.
6.ACD　[解析] 对于A,B,设a与b的夹角为θ(0≤θ≤π),因为|a-2b|=,所以(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=5-4a·b=7,得a·b=-,所以cos θ==-,所以θ=,故A正确,B错误;对于C,|2a-3b|====,故C正确;对于D,a·(a+2b)=a2+2a·b=1-1=0,故a⊥(a+2b),故D正确.故选ACD.
7.-2　[解析] 由已知条件,得a·b=0,即m+2=0,即m=-2.
8.　0　[解析] 平移向量c与b共起点,易看出b,c的夹角为45°,所以cos=cos 45°=.由图可得|a|=,|b|=,|c|=1,cos==,所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos-|b||c|cos=×1×-×1×=0.
9.解:(1)向量a=(-4,8),b=(x,-4),则a+b=(x-4,4),
由a∥(a+b),得8(x-4)=-4×4,解得x=2,所以a+b=(-2,4),故|a+b|=2.
(2)a-b=(-2-x,8),由a⊥,得a·=-4(-2-x)+8×8=0,解得x=-18,则b=(-18,-4),所以cos< a,b>===
,即向量a与b的夹角的余弦值为.
10.A　[解析] 设b=(x,y),因为a=(1,),所以a-b=(1-x,-y),又|a-b|=4,所以(x-1)2+(y-)2=42,所以点(x,y)在以C(1,)为圆心,4为半径的圆上,又|OC|=2(其中O为坐标原点),所以|b|=∈[4-2,4+2],即|b|∈[2,6].故选A.
11.C　[解析] 如图,令直径EF∥AB,过F作FC垂直于AB的延长线,垂足为C,连接OA,OB,易知△AOB是等边三角形.因为·=||||cos∠BAD,所以·可看作在上的投影向量的模与||的乘积.由图可知当D与F重合时,在上的投影向量的模最大,所以·的最大值为||·||.设M为AB的中点,则AM=AB=1,MC=OF=2,所以AC=3,故·的最大值为||·||=3×2=6.故选C.
12.BCD　[解析] 当a·b=-1时,可得cos===-,又0≤≤π,所以=,故A错误;由|a-b|=2,可得a2-2a·b+b2=4,又|a|=1,|b|=2,所以12-2a·b+22=4,所以a·b=,所以a在b上的投影向量为b=b=b,故B正确;设a,b的夹角为θ,则|a+b|==,|a-b|==
,所以|a+b|+|a-b|=+,设y=+,则y2=5+4cos θ+2+5-4cos θ=10+2,因为0≤θ≤π,所以-1≤cos θ≤1,所以0≤cos2θ≤1,所以当cos2θ=0时,ymax=10+10=20,所以=2,故C正确;由C选项的分析知,当cos2θ=1时,=10+6=16,所以ymin=4,故D正确.故选BCD.
13.　[解析] 由题意,得|a|=|b|=1,设向量a,b的夹角为θ,因为a·b=,所以cos θ=,故θ=.以O为原点,a的方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系,使b的起点与O重合,终点在第一象限,则a=(1,0),b=.设p=(x,y),则故
所以p=,故|p|==.
14.-4　[解析] 在Rt△ABC中,AC=BC=4,所以AB=4,因为D为AB的中点,所以CD=AB=2,又因为P为线段CD上的一个动点,所以+=2,所以(+)·=2·=-2||||≥-=-=-4,当且仅当||=||,即P为线段CD的中点时取等号,所以(+)·的最小值为-4.
15.解:(1)如图所示,由=2可得=,所以=+=+=+=-,
又=λ+μ,所以λ=,μ=-,所以λ+μ=-.
(2)方法一:以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),D(0,2),B(4,0),C(2,2),F(3,1).由点P是线段AF(含端点)上的动点,可令=t,t∈[0,1],所以=t=(3t,t),又=(0,2),所以=-=(3t,t-2),所以·=10t2-2t,t∈[0,1].由二次函数的性质可得,当t=时,·取得最小值-;当t=1时,·取得最大值8.综上可得,·的取值范围是.
方法二:取AD的中点M,作MG⊥AF,垂足为G,如图所示,连接PM,则·=·=(+)·(+)=+·(+)+·=-=-1,显然当点P与点F重合时,PM取得最大值3,当点P与点G重合时,PM取得最小值,所以·的取值范围是.
16.A　[解析] 方法一:以A为原点,的方向为x轴的正方向,建立如图①所示的平面直角坐标系,设P(x,y),则=(2,0),=(x,y),∵-1方法二:如图②,以{,}为基底,则<,>=,且||=2,||=2.∵P为正六边形内(不包括边界)的一点,∴=x+y,-方法三:作出正六边形ABCDEF,如图③所示,·=||||cos<,>,||=2.由图可得,当P位于C处时,||cos<,>最大,又AC=2,∠CAB=,故此时||cos<,>=2×=3,则·=||||cos<,>=2×3=6;当P位于F处时,||cos<,>最小,又AF=2,∠FAB=,故此时||cos<,>=2×=-1,则·=||||cos<,>=2×(-1)=-2.∵P是正六边形内(不包括边界)的一点,∴·的取值范围为(-2,6).故选A.
17.BCD
[解析] 由题意知|a|=2,|c|=1,|a-b|=|b-c|=1,设=a,=b,=c,不妨设C(1,0),如图,动点A在以O为圆心,2为半径的圆上,动点B在以C为圆心,1为半径的圆上,且满足||=1,圆C的方程是(x-1)2+y2=1.当点B在圆C上运动时,由|AB|+|OB|≥|OA|,得|OB|≥1,当且仅当O,A,B三点共线且B在O,A之间时取等号.由图易知|OB|≤2,即1≤|b|≤2,故选项A不可能成立,选项B可能成立.设B(x,y),则b·c=(x,y)·(1,0)=x,由解得∴x≥,又x≤2,∴≤x≤2,∴b·c∈,故选项C,D均可能成立.故选BCD.

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