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第34练　平面向量的综合问题
1.设e是单位向量,若=3e,=-3e,||=3,则四边形ABCD一定是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
2.已知点P是△ABC的重心,则 (　 )
A.=+
B.=+
C.=+
D.=-
3.在△ABC中,AB=2,AC=1,且(2+)·=6,则A= (　 )
A. B.
C. D.
4.马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱,当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时,每只胳膊的拉力大小为50 N,此时两只胳膊的夹角为60°,则估算小猴子的体重(单位:kg)约为(参考数据:取重力加速度大小为10 m/s2,≈1.732) (　 )
A.9.2 B.7.5
C.8.7 D.6.5
5.[2025·长沙一中一模] 已知菱形ABCD的边长为1,∠DAB=60°,E是BC的中点,AE与BD相交于点F,则·= (　 )
A. B. C.1 D.
6.(多选题)无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹.无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量,实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量,其为空速向量与风速向量之和.无人机搭载的设备可监测线路缺陷,当无人机相对线路的横向偏移量(垂直线路方向的向量分量)超过2 m/s或纵向偏移量(沿线路方向的向量分量,其标准值为4 m/s)超过标准值1 m/s时,需调整飞行姿态.已知某区域风速稳定,某次无人机计划以x轴正方向为线路巡检时,空速向量为(3,4)(单位:m/s),风速向量为(1,-1)(单位:m/s),则 (　 )
A.地速大小为5 m/s
B.地速向量的方向与空速向量的方向相同
C.纵向偏移量与标准值无偏差
D.该无人机需要调整飞行姿态
7.[2025·湖北孝感八校三模] 在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边上的中线AD=,那么BC=　　　　.
8.[2025·河南濮阳一模] 向量a,b在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,则以向量a,b为邻边的平行四边形的面积是　　　　.
9.若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态,已知|F1|=1 N,|F2|= N,F1与F2的夹角为45°,求:
(1)F3的大小;
(2)F3与F1夹角的大小.
10.已知在平面四边形ABCD中,AD=2,∠ADB=,BD是四边形ABCD外接圆的直径,·=2,则∠ADC= (　 )
A. B.
C. D.
11.[2025·金华十校一模] 设θ为两个非零向量a,b的夹角,已知对任意t∈R,|a-tb|的最小值为|a|,则θ= (　 )
A. B.
C.或 D.或
12.如图所示,一条河两岸平行,河的宽度为400 m,一艘船从河岸的A地出发,向河对岸航行.已知船的速度v1的大小为|v1|=8 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=2 km/h,船的速度与水流速度的合速度为v,那么当航程最短时,下列说法正确的是 (　 )
A.船头方向与水流方向垂直
B.cos=-
C.|v|=2 km/h
D.该船到达对岸所需时间为3 min
13.[2025·辽宁大连育明中学最后一模] 如图,一滑轮组中有两个定滑轮A,B,在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物,它们所受的重力分别为4 N,4 N,7 N,此时整个系统处于平衡状态,则cos∠AOB=　　　　.
14.如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AC上的点,且满足=,=,则直线AD一定经过△ABC的　　　　(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”);若线段BE和AD相交于点N,则的值为　　　　.
15.在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=,D,E是边BC上的点,且=.
(1)若=,M是边AB的中点,N是边AC上靠近A的四等分点,用向量,表示,;
(2)求·的取值范围.
16.已知在△ABC中,BC=6,G,O分别为△ABC的重心和外心,且·=6,则△ABC的形状是 (　 )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.上述三种情况都有可能
17.若H是△ABC的垂心,且2+2+3=0,则tan C的值为　　　　.
第34练　 平面向量的综合问题
1.B　[解析] 由=3e,=-3e,得AB∥CD,||=||=3=||,所以四边形ABCD一定是菱形.故选B.
2.D　[解析] 设BC的中点为D,连接AD,因为点P是△ABC的重心,所以P在线段AD上,且==×(+)=(2+)=+=(+)+=-,故选D.
3.C　[解析] 由题知(2+)·=(2+)·(-)=2-·-=2×4-2cos A-1=6,解得cos A=,又A∈(0,π),所以A=.故选C.
4.C　[解析] 设小猴子两只胳膊的拉力分别为F1,F2,则|F1|=|F2|=50,=60°,∴|F1+F2|=
==
=
=
50≈86.6.设小猴子的体重(单位:kg)为m,则10m≈86.6,解得m≈8.66≈8.7.故选C.
5.B　[解析] 因为AD∥BE,所以∠DAF=∠BEF,∠ADF=∠EBF,所以△FEB∽△FAD,所以==2,所以===+,故·=·=+·=×12+×1×1×=.故选B.
6.ACD　[解析] 设空速向量为a,风速向量为b,地速向量为c,则a=(3,4),b=(1,-1),所以c=a+b=(3,4)+(1,-1)=(4,3),所以|c|==5,所以地速大小为5 m/s,故A正确;由a=(3,4),c=(4,3)可知地速向量的方向与空速向量的方向不相同,故B错误;纵向偏移量为4 m/s,与标准值无偏差,故C正确;因为横向偏移量为3 m/s,所以需要调整飞行姿态,故D正确.故选ACD.
7.9　[解析] 由=(+),得=(+)2=(++2·),所以||2=(||2+||2+2||||cos ∠BAC),即=(42+72+2×4×7×cos∠BAC),
解得cos ∠BAC=-,
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos ∠BAC=42+72-2×4×7×=81,所以BC=9.
8.3　[解析] 根据题意,将向量a,b平移至同一起点,以起点为原点建立平面直角坐标系,以a,b为邻边作平行四边形,如图所示,则a=(2,1),b=(1,2),故cos===,又向量a,b的夹角为锐角,所以sin=,则该平行四边形的面积S=|a||b|sin=××=3.
9.解:(1)如图,设F1,F2的合力为F,F与F1的夹角为θ,记,,分别为F1,F2,F.过点C作OA延长线的垂线,与OA的延长线相交于点G.
在Rt△ACG中,∠CAG=∠AOB=45°,AC=|F2|,所以AG=GC= N.在Rt△OCG中,OG=|F1|+AG= N,
所以tan θ==,从而得θ=30°,
所以|F|=2CG=(+1)N,
于是|F3|=(+1)N.
(2)因为θ=30°,所以F3与F1的夹角为150°.
10.C　[解析] 因为·=2,所以(+)·=·+·=2,由题易知BD=2,所以·=2×2×=4,·=-||2,则4-||2=2,可得||=.在直角三角形BCD中可得∠BDC=,故∠ADC=+=.故选C.
11.C　[解析] 如图,令a=,b=,tb=,则|a-tb|即为线段AC的长度.由题知对任意t∈R,|a-tb|的最小值为|a|,即ACmin=|a|,显然当AC⊥OB时,线段AC最短,此时AC=||sin θ=|a|sin θ=|a|,所以sin θ=,又θ∈[0,π],所以θ=或.故选C.
12.B　[解析] 由题意可知,v=v1+v2,当船的航程最短时,v⊥v2,而船头的方向与v1的方向相同,A选项错误;由v·v2=(v1+v2)·v2=v1·v2+=0,可得v1·v2=-=-4,所以cos==-,B选项正确;|v|=|v1+v2|====2(km/h),C选项错误;该船到达对岸所需时间为60×=(min),D选项错误.故选B.
13.　[解析] 依题意,||=||=4,|+|=7,则+2·+=49,即16+2·+16=49,解得·=,所以cos∠AOB==.
14.重心　4　[解析] 由=,可得D为BC的中点,所以直线AD一定经过△ABC的重心.由A,N,D三点共线,可设=x,故=x(+),又=-+=+x,=-+,且,共线,所以=,解得x=,故=,所以=,故=4.
15.解:(1)=-=+=-+=-+(-)=--.=-=--=--(-)=-.
(2)由题易知BC=2,设=λ,0≤λ≤,则=,所以·=(+)·(+)=+(+)·+·=2+·+λ=2+×2××cos+λ×4=4+,因为0≤λ≤,所以·的取值范围是.
16.C　[解析] 如图,取BC边的中点D,连接AD,OD,因为O为△ABC的外心,所以OD⊥BC.因为G为△ABC的重心,所以DG=DA.过点G作GE⊥BC于点E,过点A作AH⊥BC于点H,因为·=6,BC=6,为在上的投影向量,所以由数量积的几何意义得DE=1.由GE∥AH及DG=DA,得DH=3,又DC=3,所以点H,C重合,故AC⊥BC.故选C.
17.　[解析] 方法一:设AB边的中点为D,连接CD,设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,由2+2+3=0,得2(+)+2(+)+3=0,所以7=2(+)=4,故垂心H在中线CD上,故a=b.由2+2(+)+3(+)=0,得7=2+3,因为·=0,=-,所以(2+3)·(-)=0,所以2·-2+3-3·=0,即-2+3-·=0,所以2c2-3b2+bccos A=0,由余弦定理得cos A==,又a=b,所以5c2=6b2,所以cos C===,所以sin C==,可得tan C=.
方法二:根据奔驰定理得tan A·+tan B·+tan C·=0,又2+2+3=0,所以tan A∶tan B∶tan C=2∶2∶3,所以tan A=tan C,tan B=tan C.
因为tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C,所以tan C+tan C+tan C=tan C·tan C·tan C,可得tan C=.

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