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第35练　复数
1.[2026·惠州一调] 已知复数z满足iz=3+i(其中i为虚数单位),则= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.1-3i B.1+3i
C.3-i D.3+i
2.[2026·湖南常德起点考] 若复数z=(1-i)(1+2i)(其中i为虚数单位),则|z|= (　 )
A.2 B.
C. D.10
3.复数z=在复平面内对应的点位于 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知复数z=(x+i)(1+2i)(x∈R),则“|z|>2”是“x>2”的 (　 )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知m,n为实数,1-i(i为虚数单位)是关于x的方程x2-mx+n=0的一个根,则m+n= (　 )
A.0 B.1
C.2 D.4
6.(多选题)[2025·贵州贵阳七校联考(四)] 已知复数z=m2-4+(m-2)i(m∈R),则 (　 )
A.若复数z为实数,则z=0
B.若复数z为纯虚数,则m=±2
C.当m=1时,|z|=
D.复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限
7.[2025·湖北十堰五月适应性考] 若复数z满足z(1-2i)=i,则z在复平面内对应的点位于第　　　　象限.
8.[2025·北京东城区一模] 若复数z满足(1+i)z=i,则|z|=　　　　.
9.[2025·广东深圳深圳外国语学校第七次月考] 已知i为虚数单位,复数z=i-2i2+3i3-4i4+…+2025i2025,则z的实部与虚部之和为　　　　.
10.[2025·湖南长郡二十校二联] 已知i为虚数单位,复数z=,则下列说法正确的是 (　 )
A.z的共轭复数为-
B.z的虚部为-
C.|z|=3
D.z在复平面内对应的点在第一象限
11.已知复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,y1,x2,y2∈R),若|z1|=,z2=iz1,那么x1+x2-y1+y2的取值范围是 (　 )
A.[-4,4] B.[-2,2]
C.[-2,2] D.[-,]
12.(多选题)[2025·江西萍乡一模] 已知复数z1,z2(z1z2≠0)在复平面内对应的向量分别为,(其中O为原点),则下列说法正确的是 (　 )
A.若⊥,则|z1+z2|=|z1-z2|
B.若||=5,则|z1-2|的最小值为3
C.若(+)⊥(-),则z1=z2
D.若||>||,则z1>z2
13.在复平面内,关于x的方程(x2-2x+5)(x2-a)=0(a>0)的四个复数根对应的四个点在同一个圆上,则该圆的半径为　　　　.
14.已知z∈C,且|z-i|=1,i为虚数单位,则|z+3-5i|的最大值是　　　　.
15.(多选题)[2025·河南郑州二模] 已知复数z满足|z+1|+|z-1|=4,则下列说法正确的是 (　 )
A.|z|≤2
B.|z-1|≥1
C.若z∈R,则|z|=2
D.若z2∈R,则|z|=2
16.意大利数学家卡尔达诺发明了三次方程的代数解法,17世纪人们把卡尔达诺的解法推广,并整理为四个步骤:
第一步,把方程x3+a2x2+a1x+a0=0中的x用x-来替换,得到方程x3+px+q=0;
第二步,利用公式x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x+ωy+ω2z)(x+ω2y+ωz)将x3+px+q因式分解;
第三步,求得y,z的一组值,得到方程x3+px+q=0的三个根:-y-z,-ωy-ω2z,-ω2y-ωz;
第四步,写出方程x3+a2x2+a1x+a0=0的根:x1=--y-z,x2=--ωy-ω2z,x3=--ω2y-ωz.
某同学利用上述方法解方程8x3-12x2-42x+55=0时,得到y的一个值为-1+i,则下列说法正确的是　　　　.(填序号)
①a2=-;②yz=2;③x2=-+;④x3=-1-.
第35练　复数
1.B　[解析] 因为iz=3+i,所以z====1-3i,故=1+3i.故选B.
2.C　[解析] 方法一:因为z=(1-i)(1+2i)=3+i,所以|z|==.
方法二:因为z=(1-i)(1+2i),所以|z|=|1-i|×|1+2i|=×=.故选C.
3.B　[解析] z==
=,则z在复平面内对应的点为,位于第二象限.故选B.
4.C　[解析] ∵z=(x+i)(1+2i)=x-2+(1+2x)i,∴|z|=
=·.若|z|=·>2,则x2>3,∴x<-或x>,∴“|z|>2”是“x>2”的必要不充分条件.故选C.
5.D　[解析] ∵1-i是关于x的方程x2-mx+n=0的一个根,∴1+i也是关于x的方程x2-mx+n=0的一个根,则m=1-i+1+i=2,n=(1-i)×(1+i)=2,∴m+n=4.故选D.
6.ACD　[解析] 对于A,依题意可得m-2=0,即m=2,则z=0,故A正确;对于B,依题意可得可得m=-2,故B错误;对于C,依题意可得z=-3-i,所以|z|==,故C正确;对于D,若复数z在复平面内对应的点在第二象限,则无解,故D正确.故选ACD.
7.二　[解析] 由z(1-2i)=i,得z===i+i2=-+i,则z在复平面内对应的点为,位于第二象限.
8.　[解析] 由题得z=,则|z|===.
9.1　[解析] z=i-2i2+3i3-4i4+…+2025i2025=i+2-3i-4+5i+…+2025i,所以z的实部与虚部之和为(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+…+(2021+2022-2023-2024)+2025=-4×+2025=1.
10.D　[解析] z==
=+i,所以=-i,A选项错误;z的虚部是,B选项错误;|z|==
,C选项错误,z在复平面内对应的点为,该点在第一象限,D选项正确.故选D.
11.A　[解析] 由题得
则所以x1+x2-y1+y2=2(x1-y1).因为≤+=2,当且仅当x1=-y1时取等号,所以-2≤x1-y1≤2,所以x1+x2-y1+y2=2(x1-y1)∈[-4,4].故选A.
12.AB　[解析] 对于A,若⊥,则复平面内以OZ1和OZ2为邻边的平行四边形是矩形,根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知A正确;对于B,若||=5,则点Z1的轨迹是以O为圆心,5为半径的圆,设z1=5cos θ+5isin θ,θ∈[0,2π),则|z1-2|==
,因为-1≤cos θ≤1,所以|z1-2|min==3,故B正确;对于C,由(+)⊥(-)得(+)·(-)=0,所以-=0,所以|z1|=|z2|,取z1=1,z2=i,显然|z1|=|z2|,但z1≠z2,故C错误;对于D,两个复数当且仅当它们同为实数时,才能比较大小,故D错误.故选AB.
13.　[解析] 关于x的方程(x2-2x+5)(x2-a)=0的复数根可分为两部分.第一部分:解x2-2x+5=0,得x=1±2i,对应的点分别为A(1,2)和B(1,-2);第二部分:解x2-a=0,得x=±,对应的点分别为C(,0)和D(-,0).因为A,B,C,D四点共圆,设该圆的圆心为E,所以E既在线段AB的垂直平分线y=0上,也在线段CD的垂直平分线x=0上,所以圆心E的坐标为(0,0),所以圆的半径r=|EA|==.
14.6　[解析] 设z=x+yi(x,y∈R),由|z-i|=|x+(y-1)i|=1,得=1,所以x2+(y-1)2=1,则复数z在复平面内对应的点的轨迹是圆心为(0,1),半径为1的圆,而|z+3-5i|=|(x+3)+(y-5)i|=表示圆上任意一点到点(-3,5)的距离,如图所示,显然|z+3-5i|的最大值为+1=5+1=6.
15.ABC　[解析] 设z=m+ni(m,n∈R),则复数z在复平面内对应的点为P(m,n),设F1(-1,0),F2(1,0),则|z+1|=|m+1+ni|==|PF1|,同理|z-1|=|PF2|,∴|z+1|+|z-1|=|PF1|+|PF2|=4,则点P的轨迹为椭圆,且a=2,c=1,∴b==,∴点P的轨迹方程为+=1.对于A选项,|z|=|OP|≤a=2,A选项正确;对于B选项,|z-1|=|PF2|≥a-c=1,B选项正确;对于C选项,若z∈R,则n=0,∴m=±2,∴|z|=2,C选项正确;对于D选项,z2=m2-n2+2mni,若z2∈R,则m=0或n=0,当m=0时,n=±,此时|z|=,当n=0时,m=±2,此时|z|=2,D选项错误.故选ABC.
16.①②③　[解析] 由8x3-12x2-42x+55=0得x3-x2-x+=0,依题意可知a2是x2的系数,所以a2=-,故①正确.把方程x3-x2-x+=0中的x用x+来替换,得--+=x3-6x+4=0;对比x3-6x+4=0与x3+y3+z3-3xyz=0,由
解得yz=2,z=-1-i,故②正确.x2=--ωy-ω2z=-(-1+i)+(1+i)=-+,故③正确.x3=--ω2y-ωz=-(-1+i)+(1+i)=--,故④错误.故填①②③.

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