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2025-2026学年四川省德阳市广汉中学基地班高一（下）月考数学试卷（4月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z满足z（1+i）=1+2i,则z的虚部为（　　）
A. B. C. 1 D. i
2.对于数据1，2，3，6，6，12，下列说法错误的是（　　）
A. 平均数为5 B. 众数为6 C. 极差为11 D. 中位数为6
3.已知m为实数，直线l1：（m+2）x+y-2=0，l2：5x+（m-2）y+1=0，则“l1∥l2”是“m=-3”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若a,b为空间中两条不同的直线，α，β，γ为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A. 若a⊥α，α∥β，则a⊥β B. 若a∥b,b α，则a∥α
C. 若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ D. 若a∥α，b∥α，则a∥b
5.已知直线l：kx-y-2k+2=0（k∈R），若P为圆C：（x-5）2+（y-6）2=4上任意一点，则P到l的距离最大值为（　　）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
6.三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长都相等，∠BAC=∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）
A. B. C. D.
7.已知平面向量满足，且，则的最大值为（　　）
A. B. C. D.
8.数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点F1发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点F2，且在P点处的切线垂直于法线（即∠F1PF2的平分线）.已知椭圆，坐标原点O到点P处切线l的距离为，且|PF1| |PF2|=ab,则椭圆C的离心率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（　　）
A. 双曲线C的实轴长为6 B. 双曲线C的渐近线方程为
C. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为4 D. 双曲线C上的点到焦点距离的最小值为8
10.已知实数x,y满足方程，则下列错误的有（　　）
A. x+y的最小值为 B. 的范围是
C. x2+y2-6x-8y+1的最小值为-20 D. |x+2y-1|的最大值为
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，下列结论正确的是（　　）

A. 点B到平面B1CD1的距离为
B. 在上的投影向量是
C. 点B关于平面B1CD1的对称点坐标为
D. 点P在△B1CD1内部，，则点P的轨迹长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则= .
13.A={1，2，3}，B={x∈R|x2-ax+b=0，a∈A，b∈A}，则A∩B=B的概率是 ．
14.已知F1，F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，P是它们的一个公共点，且PF1⊥PF2，若C1和C2的离心率分别为e1，e2，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆与圆.
（1）若圆C1与圆C2相外切，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，若直线被圆C1所截得的弦长为2，求实数n的值.
16.(本小题15分)
已知双曲线的焦点F（c,0）（c＞0）到一条渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若a=2，直线l交双曲线C于A，B两点，O是坐标原点，若M（4，2）是弦AB的中点，求弦AB的长.
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求角A；
（2）若，求△ABC周长的取值范围．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点和上顶点构成边长为2的等边三角形.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l交椭圆C于不同的两点M和N，若直线l的斜率为1，且=0，求直线l的方程；
（3）关于圆的切线有这样的结论：“圆x2+y2=r2上点P（x0，y0）处的切线方程为x0x+y0y=r2”.类比到椭圆也有这样的结论：“椭圆=1（a＞b＞0）上点P（x0，y0）处的切线方程为=1”.已知点Q在直线x=4上，过Q作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点.
19.(本小题17分)
在平面四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，∠ADC=30°，∠DAB=120°，将△ACD沿AC翻折至△ACP，其中P为动点.
（1）设PC⊥AB，三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上.
（i）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（ⅱ）求球O的半径；
（2）求二面角A-CP-B的余弦值的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】BC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】（，2）
15.【答案】解：（1）∵圆C1的方程可整理为：（x-4）2+y2=16-m,∴圆心C1（4，0），半径；其中m＜16，
由圆C2方程知：圆心C2（-1，0），半径r2=3；∵圆C1与圆C2相外切，∴，
解得：m=12．
（2）由（1）知：圆心C1（4，0），半径r1=2，
∴圆心C1到直线的距离，∴，
解得：n=-1或n=-7．
16.【答案】（1） （2）
17.【答案】解：（1）∵，
∴．
即，
∴，
整理得
∵0＜A＜π，
∴．
（2）∵a2=b2+c2-2bccosA，
∵，∴，
即，
∴
∴
所以△ABC周长的范围为．
18.【答案】 y=x-2或 证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（4，m），
则切线AQ的方程为3x1x+4y1y-12=0，
切线BQ的方程为3x2x+4y2y-12=0，
因为Q∈AQ，Q∈BQ，
因此，即A，B都在直线3x+my-3=0上，
因此直线AB的方程为3x+my-3=0，
即my=-3（x-1），所以直线AB过定点
19.【答案】解：（1）（i）证明：∵AC=CD=1，∠CAD=∠ADC=30°，∠BAD=120°，
∴∠BAC=90°，AB⊥AC，翻折后同样有AB⊥AC，
又AB⊥PC，PC∩AC=C，PC、AC 平面PCA，
∴AB⊥平面PCA，又AB 平面ABC，
∴平面PAC⊥平面ABC；
（ⅱ）如图，∵△ABC的外接圆圆心O1位于BC中点，作C关于AP的对称点O2，
则O2C=O2A=O2P=1，O2为△ACP的外接圆圆心，
作O1H⊥AC于H，则H为AC中点，
则O1H⊥平面ACP，O1H⊥O2H，
又△O2AC为等边三角形，∴O2H⊥AC，
而外接球球心O，满足OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面ACP，
∴OO1=O2H=，BO1=，
∴球O的半径为R===；
（2）以A为原点，AC所在直线为x轴，过A且垂直底面ACP的直线为z轴，建系如图：
则根据题意可得C（1，0，0），P（，，0），又AB=1，
∴设B（0，cosθ，sinθ），
∴，，
易知平面ACP的一个法向量为，
设平面BCP的法向量为，
则，取，
设二面角A-CP-B的平面角为φ，易知φ为锐角，
∴cosφ=|cos＜，＞|==，
令t=cosθ+，则t∈[，]，
∴cosφ==，
∴当，即cosθ=时，cosφ取得最小值，
∴二面角A-CP-B的余弦值的最小值为．
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