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2025-2026学年广东省江门市鹤山一中高一（下）段考数学试卷（4月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.=（　　）
A. B. C. 1 D.
2.在 中，，则=（　　）
A. B. C. D.
3.设非零平面向量、、满足||=||=||，+=，则向量与的夹角为（　　）
A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
4.在△ABC中，若b=3，c=，C=，则角B的大小为（　　）
A. B. C. D. 或
5.在平面内，某质点在三个力F1，F2，F3的作用下恰好处于平衡状态，其中F2=（3，-2），F3=（-1，2），则F3在F1上的投影向量的坐标为（　　）
A. （-2，0） B. （-1，0） C. D.
6.设向量，，若，则tan2α等于（　　）
A. B. C. D.
7.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若A+C=2B，，则b=（　　）
A. B. 3 C. 6 D.
8.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（0°≤θ＜90°）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l=htanθ.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（　　）
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题正确的是（　　）
A. 若，则存在唯一实数λ使得
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
D. 若点G为△ABC的重心，则
10.已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，-sinβ），P3（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），则（　　）
A. B.
C. D.
11.函数的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的有（　　）
A. 是g（x）的一条对称轴 B. g（x）在上单调递增
C. g（x）的一个对称中心为 D. 是偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量=（x,1），=（x-1，2x），若⊥（-），则||= .
13.函数的最小正周期是 .
14.在△ABC中，，且满足，其中是△ABC外接圆的圆心，则= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量与的夹角为60°，且，求：
（1）；
（2）；
（3）设向量与的夹角为θ，求cosθ的值.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）若f()= (<α<)，求cos（α+)的值．
17.(本小题15分)
如图，△ABC中，B=45°，D是边BC上一点，AD=10，AC=14，DC=6.
（1）求∠ADC的值；
（2）求AB的长；
（3）求△ABC的面积.
18.(本小题17分)
设△ABC是边长为4的正三角形，点P1、P2、P3四等分线段BC（如图所示）.
（1）求的值；
（2）Q为线段AP1上一点，若，求实数m的值；
（3）P在边BC的何处时，取得最小值，并求出此最小值.
19.(本小题17分)
如图，在扇形OMN中，半径OM=2，圆心角，矩形ABCD内接于该扇形，其中点A，B分别在半径OM和ON上，点C，D在MN上，AB∥MN，记矩形ABCD的面积为S.
（1）当点A，B分别为半径OM和ON的中点时，求S的值；
（2）设，当θ为何值时，S取得最大值，并求此时S的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】AC
11.【答案】AD
12.【答案】
13.【答案】π
14.【答案】
15.【答案】4；
；
．
16.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，
∴=π，∴ω=2．
再根据图象关于直线x=对称，可得2×+φ=kπ+，k∈Z．
结合-≤φ＜可得φ=-；
（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），
∴sin（α-）=，∴sin（α-）=．
再根据0＜α-＜，
∴cos（α-）==，
∴cos（α+）=sinα=sin[（α-）+]
=sin（α-）cos+cos（α-）sin
=+=．
17.【答案】； ； ．
18.【答案】解：（1）∵△ABC是边长为4的正三角形，点P1、P2、P3四等分线段BC，
∴
=+
=
=32+4×4×（-）+2=26；
（2）设，
又，
由平面向量基本定理解得，解得m=；
（3）设，t∈[0，1]，
∴，
又t∈[0，1]，
∴当时，即P在P3处时，取得最小值-1．
19.【答案】解：（1）如图，连接OC，OD，
则OC=OD=2，所以∠ODC=∠OCD，
又因为矩形ABCD，∠ADC=∠BCD=90°，所以∠ADO=∠BCO，
从而可得△OAD≌△OBC，所以OA=OB，
因为∠MON=，且OA=OB，则△AOB为等边三角形，即，
又因为矩形ABCD，∠BAD=90°，则，
过点D作OM的垂线，垂足为E，设，
则DE=ODsinθ=2sinθ，OE=ODcosθ=2cosθ，
在Rt△ADE中，则，
，
可得，
若点A，B分别为半径OM和ON的中点，
则，
即，，
则，
则，
可得，
所以．
（2）由（1）可得S=AB AD=AD OA=4sinθ（2cosθ-23sinθ）
=，
又因为，
则，
可知当，即时，
矩形ABCD面积S取到最大值为．
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