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2025-2026学年吉林省长春市第八中学高二（下）月考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.函数f（x）=（x-2）ex的单调递增区间是（　　）
A. （-∞，1） B. （ 0，2 ） C. （1，+∞） D. （2，+∞）
2.已知甲、乙、丙、丁、戊五位司机中，甲、乙既能开大客车也能开小客车，丙、丁、戊只能开小客车.现从这五位司机中选两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，则不同的安排方案有（　　）
A. 20种 B. 6种 C. 8种 D. 5种
3.定义在R上的函数f（x），若，则=（　　）
A. -1 B. C. 2 D. 4
4.计算的值为（　　）
A. B. C. D.
5.的展开式中的常数项为（　　）
A. 61 B. 29 C. 309 D. 308
6.已知函数f（x）=x3-mx+6lnx在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为（　　）
A. （-∞，9] B. [9，+∞） C. （-∞，9） D. （9，+∞）
7.已知，记a0=P，a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=Q，则P，Q分别为（　　）
A. 1，729 B. 1，1 C. -1，729 D. -1，1
8.当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术.在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率.假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”.已知P（A）=0.3，P（B）=0.4，，则P（A|B）=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数f（x）与其导函数f′（x）的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数g（x）的结论正确的是（　　）
A. 在区间（3，6）上单调递减 B. 在区间（-3，1）上单调递减
C. 当x=1时，函数g（x）有极小值 D. 当x=-3时，函数g（x）有极小值
10.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（　　）
A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45
B. 若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
11.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件A，B存在如下关系：.张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为.如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为.则张同学（　　）
A. 第二天去室内健身的概率为
B. 第二天去户外运动的概率为
C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为
D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的极大值为
13.的展开式中所有有理项的系数之和为 .
14.某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有 种.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：
（1）求n的值.
（2）求展开式中的系数.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=2x3-ax2+4，x=1是函数f（x）的一个极值点.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[-1，2]时，求函数f（x）的最小值.
17.(本小题15分)
将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排.
（1）求2个白球均不排在两端的所有排法种数；
（2）记X为2个白球之间红球的个数，求X的分布列；
（3）求X的期望和方差.
18.(本小题17分)
某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品.根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品.
（1）求自动检测判断零件为次品的概率.
（2）求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率.
（3）假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰.求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx-ax+1（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；
（2）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2x成立，求a的取值范围；
（3）设h（x）=f（x）+ax，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，证明：＞恒成立．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】BC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】29
14.【答案】432
15.【答案】6 1
16.【答案】函数f（x）的增区间为（1，+∞）和（-∞，0），减区间为（0，1） -1
17.【答案】36 X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
期望E（X）=1，方差D（X）=1
18.【答案】0.1 0.9
19.【答案】（1）解：a=1时，f（x）=lnx-x+1，（x＞0），，
∴0＜x＜1时，函数f（x）单调递增；1＜x时，函数f（x）单调递减．
因此x=1时函数f（x）取得极大值，f（1）=0．
（2）解：f（x）≤2x化为：a≥-2=g（x），
，可知：x∈（0，1）时，，函数g（x）单调递增；
x∈（1，+∞）时，，函数g（x）单调递减．
∴x=1时函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）=1-2=-1．
∴a≥-1，∴a的取值范围是[-1，+∞）．
（3）证明：h（x）=f（x）+ax=lnx+1，
对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，＞恒成立 ＞ln．
令=t＞1，上式等价于：＞lnt．
令=m＞1，则上式等价于：u（m）=-2lnm＞0．
=＞0，
因此函数u（m）在m∈（1，+∞）上单调递增，
∴u（m）＞u（1）=0，
∴＞恒成立．
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