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广东茂名市第一中学等九校2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.（ ）
A. B. 2 C. D. 2026
2.曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.设是的导函数，已知，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
4.甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍8个文化地标的文章,若第一个介绍的是地标A,且地标B,C,D的介绍顺序必须相邻(中间不能插入其他地标,内部顺序可自由调整),则该文章关于这8个文化地标的介绍顺序共有（）
A. 360种 B. 720种 C. 1440种 D. 2160种
5.某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的．A学生对12个选择题中每个题的四个选项都没有把握，最后选择题的得分为X分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断出其中有一个选项是错误的，对其他三个选项都没有把握，最后选择题的得分为Y分，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
6.函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
7.设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，则下列说法不正确的是（ ）
A.
B.
C. 若A，B是相互独立事件，则
D. 若A，B是互斥事件，则
8.设，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知均为正整数，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10.关于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 展开式共有8项 B. 展开式的二项式系数之和为256
C. 展开式中没有常数项 D. 展开式的第5项的二项式系数最大
11.已知函数，则（ ）
A. 为奇函数 B.
C. D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数，则 .
13.若，则 .
14.某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区.现有5种霓虹灯光色可供选择,要求每个灯区只使用一种颜色,且相邻灯区颜色不相同,则该舞台灯区共有 种不同的颜色搭配方案.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记等差数列的前项和为，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
16.(本小题15分)
已知函数.
(1)判断的单调性；
(2)若关于的方程只有1个实数解，求实数的取值范围.
17.(本小题15分)
某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写这4个当下热门的新媒体展开学习调研，要求每个模型至少有一人负责，且每人只能选择一个.
(1)若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？
(2)若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一个模型，共有多少种不同的安排方案？
18.(本小题17分)
已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若对恒成立，求的取值范围；
(3)若，证明：当时，．
19.(本小题17分)
甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：
若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分；
若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分．
(1)求甲获得3分的概率；
(2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；
(3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为．
①求的表达式，并比较和的大小关系；
②求在上的最大值及取得最大值时的值．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】BCD
11.【答案】AD
12.【答案】2
13.【答案】240
14.【答案】260
15.【答案】解：（1）解：设等差数列的公差为，因为
可得，解得，
所以，即数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知：，可得，可得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
因为，所以.

16.【答案】解：（1）解：由函数，其定义域为，
且，
则当或时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：因为方程只有1个实数解，即函数和的图象只有一个公共点，
由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；
当时，；当时，，
又，作出的大致图象，如图所示，
结合图象，可得，所以实数的取值范围为.

17.【答案】解：（1）解：先从7位同学中选出4人，有种选法；
再将选出的4人分配到4个，要求每个至少1人，则有种分配方法，
由分步计数原理得，共有种不同的调研安排方案.
（2）解：将甲、乙、丙3位同学视为一个整体（一个元素），此时相当于5个元素分配到4种模型，每种模型至少1个元素，
则5个元素需分为“2，1，1，1”四组，有种分法；
再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法，
所以甲、乙、丙3位同学调研同一模型，共有种不同的安排方案.

18.【答案】解：（1）当时，，
则，
令，得或；
令，得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，极小值为．
（2）由，得，
化简得，
设，
则，
当，即时，单调递增，
，符合题意；
当，即时，当时，，
不满足对恒成立，不符合题意，
综上，的取值范围为．
（3）若，则由（2）得当时，，
要证，可证，
令，
则
，
令，得，则，
设，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
，
，则，
，则，即，
，得证，
当时，．

19.【答案】解：（1）根据题意，每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，
各局结果相互独立．
所以甲以 获胜的概率为 ，
甲以 获胜的概率为 ，
所以甲获得3分的概率为 ；
（2）由题意可知，随机变量 为甲的总得分，
其所有可能取值为 、 、 、 ，
若 ，即甲、乙获胜的概率都是 ，
所以 ，
，
，
，
所以随机变量 的分布列为：
所以 ；
（3）①由题意， ， ，
所以
，
则 ，
所以 ；
②由①可得， ，
令 ， ，
因为 ，可得 恒成立，所以 单调递增，
又当 时， 取得最大值，即 ，
所以 ，
即当 时， 取得最大值 .

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