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2025-2026学年内蒙古包头六中高二（下）月考数学试卷（4月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数f（x）=ex-f′（1）x,则f′（1）=（　　）
A. 0 B. 1 C. D.
2.设函数的导函数为，且，则（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.函数f（x）=（x-3）ex的单调增区间是（　　）
A. （-∞，2） B. （2，+∞） C. （1，4） D. （0，3）
5.已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf'（x）＜0的解集为（　　）
A. B.
C. D. （-1，0）∪（1，3）
6.若函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax的极小值点为1，则（　　）
A. a＞1 B. a＜1 C. a≥1 D. a≤1
7.若函数f（x）=ex-lnx-mx在区间（1，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围（　　）
A. （-∞，e-1） B. （-∞，e-1] C. （-∞，e+1） D. （-∞，e+1]
8.已知函数f（x）满足f（x）=f（-x），且当x∈（-∞，0]时，f（x）+xf'（x）＜0成立，若a=（20.6） f（20.6），b=（ln2） f（ln2），c=（） f（），则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若函数f（x）=ax3-3x2+x+1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（　　）
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
10.如图是函数f（x）的导函数f'（x）的图象，则下列结论正确的是（　　）
A. f（0）＞f（1）
B. x=1是f（x）的极小值点
C. x=-1是f（x）的极小值点
D. x=-3是f（x）的极大值点
11.已知函数，下列判断正确的是（　　）
A. f（x）的单调减区间是（0，1），（1，e）
B. f（x）的定义域是（0，1）∪（1，+∞）
C. f（x）的值域是
D. y=m与y=f（x）有一个公共点，则m=e或m＜0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f（4）+f′（4）的值等于 .
13.函数f（x）=x3-6x2+9x-10的零点个数为______个．
14.在平面直角坐标系 中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求下列函数的导数：
（1）f（x）=x4-3x2-5x+6；
（2）f（x）=x2cosx；
（3）；
（4）f（x）=5ln（2x+1）.
16.(本小题15分)
已知函数y=x2lnx．
（1）求这个函数的图象在x=1处的切线方程；
（2）若过点（0，0）的直线l与这个函数图象相切，求l的方程．
17.(本小题15分)
已知x=-1是函数f（x）=-x3+3x2+ax的一个极值点．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[-4，4]上的最大值．
18.(本小题17分)
某知名保健品企业最近新研发了一种面向学生的健康饮品.已知每天生产该种饮品最多不超过40千瓶，最少1千瓶，经检测知生产过程中该饮品的正品率P与日产量x（x∈N*，单位：千瓶）间的关系为，每生产1千瓶正品盈利4000元，每生产1千瓶次品亏损2000元.（注：正品率=饮品的正品瓶数÷饮品总瓶数×100%）
（1）将日利润y（元）表示成日产量x的函数；
（2）求该种饮品的最大日利润.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对 x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】CD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】1
14.【答案】4
15.【答案】4x3-6x-5 2 xcosx-x2sinx
16.【答案】解：（1）函数y=x2lnx的导数为y′=2xlnx+x，
函数的图象在x=1处的切线斜率为2ln1+1=1，
切点为（1，0），
可得切线的方程为y-0=x-1，
即为y=x-1；
（2）设切点为（m，m2lnm），
可得切线的斜率为2mlnm+m，
即有切线的方程为y-m2lnm=（2mlnm+m）（x-m），
由于直线l过（0，0），可得-m2lnm=（2mlnm+m）（-m），
由m＞0，可得-lnm=-2lnm-1，
即为lnm=-1，解得m=，
可得切线的斜率为-，
则切线l的方程为y=-x．
17.【答案】解：（1）f′（x）=-3x2+6x+a,∵x=-1是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（-1）=-9+a=0，∴a=9，
∴f′（x）=-3x2+6x+9，
令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3；令f′（x）＞0，解得-1＜x＜3，
所以函数f（x）的减区间为（-∞，-1），（3，+∞），增区间为（-1，3）．
（2）由（1）f（x）=-x3+3x2+9x,又∵f（x）在[-4，-1]上单调递减，
在[-1，3]上单调递增，在[3，4]上单调递减，
∴函数f（x）在的极大值为f（3）=27，又f（-4）=76，
∴函数f（x）在区间[-4，4]上的最大值为f（-4）=76．
18.【答案】 该种饮品的最大日利润为72000元
19.【答案】解：（Ⅰ）在区间（0，+∞）上，．
①若a≤0，则f′（x）＜0，f（x）是区间（0，+∞）上的减函数；
②若a＞0，令f′（x）=0得x=．
在区间（0，）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；
在区间上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；
综上所述，①当a≤0时，f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间；
②当a＞0时，f（x）的递增区间是，递减区间是．
（II）因为函数f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=0
解得a=1，经检验满足题意．
由已知f（x）≥bx-2，则
令g（x）==1+，则
易得g（x）在（0，e2]上递减，在[e2，+∞）上递增，
所以g（x）min=，即．
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