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山东青岛莱西市（五四制）2025-2026学年七年级下学期期中数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有到的数字．下列事件是必然事件的是（ ）
A. 向上两面的数字和为 B. 向上两面的数字和大于
C. 向上两面的数字和大于 D. 向上两面的数字和为奇数
2.下列命题中，是假命题的是（　　）
A. 同旁内角互补 B. 对顶角相等 C. 等角的补角相等 D. 垂线段最短
3.如图，要得到，则需要的条件是（ ）
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是（）
A. “将油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件
B. “水中捞月”是随机事件
C. “打开电视，正在播放广告”是必然事件
D. 抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为偶数的概率是
5.学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（　　）
A. 0.1 B. 0.17 C. 0.3 D. 0.5
6.哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（）米．
A. 55 B. 45 C. 50 D. 40
7.2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
8.一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数是（ ）
A. B. C. D.
9.《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长？（一尺等于十寸），设木头长x尺，绳子长y尺，根据题意可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
10.已知关于，的方程组，下列四个结论中正确的是（ ）
①当时，该方程组的解也是方程的解；
②存在有理数，使得；
③当时，；
④不论取什么数，的值始终不变．
A. ①② B. ②④ C. ②③④ D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.李明打算购买1张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择1个，则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是 ．
12.近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为 ．
13.如图，一面长方形墙壁因年久失修，墙上只残留5块形状大小一样的长方形瓷砖（空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为 ．
14.有长度分别为，，，的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是 ．
15.如图，直线过，两点，则解为 ．
16.如图，在中，分别是和的角平分线，过点D作于点E．已知的周长为14，则的面积为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程组：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
已知：如图，直线，．求证：．
19.(本小题9分)
在一个不透明的袋子中装有个红球和个白球，每个球除颜色外其余都相同．
(1) 从中任意摸出个球，摸到 球的可能性大；
(2) 摸出红球和白球的概率分别是多少？
(3) 如果另拿红球和白球共个放入袋中并搅匀，使得从中任意摸出个球，摸到红球和白球的可能性大小相等，那么应放入 个红球， 个白球．
20.(本小题9分)
探究与发现：
(1) 在同一平面内，若直线，，则与存在什么位置关系？请说明理由．
(2) 在同一平面内，若直线，，，则直线与的位置关系是 ．
(3) 在同一平面内，现在有条直线，且有，，，，，则与的位置关系是 ．
21.(本小题6分)
如图，，点F在上，点C，G在上，．
(1) 与平行吗？说明理由；
(2) 若，平分，求的度数．
22.(本小题8分)
如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点．
(1) 若，求的度数；
(2) 求证：．
23.(本小题8分)
推进科技文化进社区活动，提升社区居民对科技文化的体验感，某社区计划打造科技文化角，准备购买甲、乙两种具有科技文化展示功能的智能收纳桶．已知甲种智能收纳桶专注于科普知识展示，乙种智能收纳桶侧重文化历史呈现，且购买甲种智能收纳桶的单价比购买乙种智能收纳桶的单价少50元．购买4个甲种智能收纳桶和6个乙种智能收纳桶所需费用为2300元．
(1) 求甲、乙两种智能收纳桶的单价；
(2) 该社区拟计划订购这两种智能收纳桶共30个，用于丰富科技文化角的展示内容，且总费用为7000元，则社区购买了多少个乙种智能收纳桶？
24.(本小题9分)
如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A．
(1) 求该一次函数解析式；
(2) 求的面积．
25.(本小题12分)
定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为．
(1) 方程的“亲密方程”为 ；
(2) 已知关于，的二元一次方程的系数满足，求与它的“亲密方程”组成的方程组的解；
(3) 若（2）中方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】/度
13.【答案】47
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】7
17.【答案】【小题1】
【详解】（1）解：
将①代入②，得：
，
解得：，
将代入①，得：，
所以原方程组的解是
【小题2】
（2）解：，
把代入②，得，解得；
把代入①，得，解得；
∴方程组的解为；
【小题3】
（3）解：原方程组可化为
，得，解得；
把代入①，得；
∴方程组的解为．

18.【答案】【详解】证明：，
．
，
，
，
，
【详解】证明：，
．
，
，
，
，
即．

19.【答案】【小题1】
白
【小题2】
（2）摸到红球的概率，摸到白球的概率，
【小题3】
3

20.【答案】【小题1】
【详解】（1）解：，理由，
∵，，
∴，
∴，
【小题2】
⊥
【小题3】
⊥．

21.【答案】【小题1】
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行）；
【小题2】
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．

22.【答案】【小题1】
解：，
，
，
∴，
∵，是边上的中点，
，
，
．
【小题2】
证明：平分，
，
∵，
，
，
．

23.【答案】【小题1】
【详解】（1）解：设甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元，
由题意得，
解得，
答：甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元；
【小题2】
（2）解：设购买甲种智能收纳桶个，则购买乙种智能收纳桶个，
由题意得，
解得，
答：社区购买了20个乙种智能收纳桶．

24.【答案】【小题1】
【详解】（1）解：把代入得，，
解得，
∴，
把，代入得，
解得，
所以一次函数解析式为；
【小题2】
（2）解：把代入得，
∴点坐标为，
∴的面积．

25.【答案】【小题1】

【小题2】
（2）解：由题意得：，
得，，
即，
，
，
，
将代入得，，解得，
，
，
，
方程组的解为；
【小题3】
（3）解：是方程的一个解，
，
，，
．

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