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2025-2026学年天津市和平区耀华中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共12小题，共48分。
1.复数的虚部是（　　）
A. B. C. D.
2.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为π且半径为2的扇形，则该圆锥的体积为（　　）
A. B. C. D.
3.已知非零向量，，则“与共线”是“|-|≤||-||”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列命题中正确的个数是（　　）
①如果a,b是两条直线，a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；
③如果直线a,b和平面α满足a∥α，b∥α，那么直线a∥b；
④如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α，b α，那么b∥α；
⑤如果直线a与平面α内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α；
⑥如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么直线AB∥α.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若sinBsinC=sin2A，（b+c+a）（b+c-a）=3bc,则△ABC的形状为（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形
6.已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
7.△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a,b,c,若，则c=（　　）
A. B.
C. 或 D. 无解
8.平安夜苹果创意礼品盒，如图1，它的形状可视为一个十面体，其中上下底面为全等的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形.如图2，底面正方形ABCD的边长为2，上底面EFGH与下底面ABCD之间的距离为，则该几何体的侧面积为（　　）
A. B. C. D.
9.在△ABC中，，，AM与CN交于点P，且，则x+y=（　　）
A. B. C. D. 1
10.已知非零向量与满足，且，点D是△ABC的边AB上的动点，则的最小值为（　　）
A. -1 B. C. D.
11.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC=90°，AB=6，BC=8，AA1=13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为（　　）
A. ，4
B. ，3
C. 6π，4
D. ，3
12.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M为BB1的中点，点N在棱B1C1上，且B1N=2NC1，点A，M，N所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分，则较小部分的体积与较大部分的体积之比为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.已知复数z满足，则|z|= .
14.已知复数z=i+i2+i3+ +i2025，则= .
15.已知平面向量，与垂直的单位向量的坐标为 .
16.三棱锥D-ABC中，DA⊥平面，则该三棱锥的外接球表面积等于 .
17.欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德 欧拉在1765年提出的一个几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且OP∥BC，动点M在直线OP上，且，则xy的最大值 .
18.已知梯形ABCD面积为，，，E为DC上靠近点C的四等分点，G为线段BE上一点，且满足，则λ= .|AG|的最小值为 .
三、解答题：本题共3小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
已知.求：
（1）与的夹角；
（2）；
（3）若与夹角为钝角，求λ的取值范围.
20.(本小题10分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求角A；
（2）若△ABC的面积为，且sinB=2sinC.
①求△ABC的周长；
②求sin（2B+A）.
21.(本小题14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,△ABC的面积为S，且.已知向量，函数.
（1）求角A的大小；
（2）在△ABC中，，求2b+c的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】D
12.【答案】A
13.【答案】1
14.【答案】-i
15.【答案】或）
16.【答案】8π
17.【答案】
18.【答案】

19.【答案】解：（1）∵，
∴，
即，解得，
又的取值范围为[0，π]，则；
（2）∵，且，
∴，
∴；
（3）若与夹角为钝角，
∴（） （）=0，即，
∴16λ-6（1-λ）-9＜0，解得，
令，则，解得λ=-1，
综上所述，且λ≠-1，故λ的取值范围为．
20.【答案】 ①；②
21.【答案】； ．
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