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2025-2026学年天津市第二十中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共9小题，共45分。
1.已知平面内三点A（1，0），B（0，1），C（2，5），则向量在上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
2.已知向量，，满足，，，则向量与的夹角为（　　）
A. B. C. D.
3.如图，在△ABC中，为CD上一点，且满足，若AC=4，AB=6，则的值为（　　）
A. 8
B.
C. 4
D.
4.如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形A′B′C′D′，若A′B′=6，C′D′=4，则下列说法正确的是（　　）
A. A′D′=2
B. AB=3
C. 四边形ABCD的周长为
D. 四边形ABCD的面积为
5.一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为（　　）
A. B. C. D.
6.在△ABC中，若=，则△ABC的形状是（　　）
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形
7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知a=4，c=，B=30°，若D为边BC上一点，且cos∠ADC=-，则BD的长为（　　）
A. B. C. D.
8.图1是某古代建筑的剖面图.现使用图2简单模拟该建筑的屋顶结构，其中四边形ABCD为矩形，AB=20m,弧AE、DE、BF、CF为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为6m,圆心角为.已知区域ABFE和DCFE是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（　　）
A. 40πm2 B. 80πm2 C. D.
9.在△ABC中，S△ABC=，sinB=cosAsinC，P为线段AB上的动点，且，则的最小值为（　　）.
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若复数z满足，则z= .
11.已知向量，，且，则的坐标是______．
12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,，且，则△ABC外接圆的面积为 .
13.在△ABC中，∠BAC=60°，BC=1，点D为AB的中点，点E为CD上一点，且满足，则的最大值为 .
14.如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为 .
15.已知平行四边形ABCD的面积为4，E为线段BC的中点，F为线段DE上一点且，则||的最小值为 .
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知向量，满足，，与的夹角为.
（1）求|2+|的值；
（2）若（2+）⊥（k-），求实数k的值；
（3）若（2+）∥（k-），求实数k的值.
17.(本小题15分)
如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，求证：
（1）MN∥B1D1；
（2）AC1∥平面EB1D1.
18.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点.
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）在DN上取一点G（不与D，N重合），设过点G和PA的平面交平面BDN于GH，求证：PA∥GH.
19.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角B；
（2）若.
（i）求cosC的值；
（ii）若，求△ABC的面积.
20.(本小题15分)
已知ABC是锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足=，在ABC所在平面内以AC为边向外作ACD如图所示，AD=3，，.
（1）求B；
（2）求ACD的内切圆半径r；
（3）求ABC的面积的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】3-4i
11.【答案】或
12.【答案】7π
13.【答案】
14.【答案】243π
15.【答案】
16.【答案】 -2
17.【答案】因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1，BB1=DD1，
所以四边形BDD1B1为平行四边形，
所以BD∥B1D1，
又M，N分别为CB，CD的中点，所以MN∥BD，
所以MN∥B1D1；
连结A1C1，设与连结B1D1交于点O，连接OE，
因为四边形A1B1C1D1为平行四边形，
所以点O是A1C1的中点，
又因为E是AA1的中点，
因为EO是△AA1C1的中位线，所以EO∥AC1
又因为AC 平面EB1D1，EO 平面EB1D1，
平面AC1∥平面EB1D1
18.【答案】取PD的中点E，连接AE，NE，如图所示．
∵M，N分别是AB，PC的中点，
∴△PCD中，EN∥CD，且．
∵P-ABCD为四棱锥，∴CD∥AB，且CD=AB．
∴EN∥AM且EN=AM，
∴四边形ENMA为平行四边形，∴MN∥AE，
又AE在平面PAD内，MN在平面PAD外，
∴MN∥平面PAD．
连接AC交BD于点O，连接NO，如图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．
又∵N是PC的中点，在△PAC中，根据三角形中位线定理可得NO∥PA．
∵NO 平面PDN，PA在平面BDN外，
根据线面平行的判定定理，得知PA∥平面BDN．
∵过点G和PA的平面交平面BDN于GH，且PA∥平面BDN，
根据线面平行的性质定理可得，PA∥GH
19.【答案】；
（i）；（ii）3．
20.【答案】解：（1）由=2，利用正弦定理得a2+c2-b2=2acsinB，
由余弦定理a2+c2-b2=2accosB，得sinB=cosB，得tanB=．
因为B∈（0，π），所以B=；
（2）在ACD中， ==3||cosD=-3，得||cosD=-1，①
又=|| ||sinD=||sinD=，得||sinD=，②
联立①②得tanD=-，因为D∈（0，π），所以D=，DC=2．
由余弦定理得AC2=32+22-2×3×2×cos=19，解得AC=．
又==×（3+2+）r=，解得r=
即ACD的内切圆半径r为；
（3）由（2）知AC=，所以ABC的外接圆半径为R==，
所以a=2Rsin∠BAC=2sin∠BAC，
=，
所以ABC的面积
=
=
=，
因为ABC是锐角三角形，所以得，
所以，所以，
所以，
所以ABC面积的取值范围是．
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