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2025-2026学年上海市普陀区曹杨第二中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.设m,n∈N，1≤m≤n,下列有关排列组合的计算公式，错误的是（　　）
A. B.
C. D.
2.已知AB为圆O：x2+y2=4的一条弦，弦AB绕点O旋转一周扫过的区域为Ω.若点（1，1）∈Ω，则|AB|的取值范围为（　　）
A. [1，2] B. C. [2，4] D.
3.设a∈R，曲线C1：x|x|-y|y|=1，曲线C2：|x|+|y|=a,则曲线C1与C2的公共点个数至多为（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.设m,n∈R，m＜n,若函数y=f（x）的定义域内存在区间[m,n]，满足{y|y=f（x），x∈[m,n]}=[m2，n2]，则称函数y=f（x）具有“性质M”.下列说法正确的是（　　）
A. 具有“性质M”的一次函数存在且仅有有限个
B. 具有“性质M”的二次函数存在且仅有有限个
C. 设a∈（1，e），f（x）=ax，存在无数个a,使函数y=f（x）具有“性质M”
D. 设a∈（1，e），f（x）=logax,对任意a,函数y=f（x）都具有“性质M”
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.设，则m= .
6.抛物线y=2x2的焦点到准线的距离是 ．
7.已知事件A与事件B相互独立，若，，则P（A）= .
8.圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是______．
9.曲线y=cosx+ex在点（0，f（0））处的切线方程为______．
10.三批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%；第三批占45%，次品率为4%.将三批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为 .
11.在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=4，点A在以B、C为焦点的椭圆上，则该椭圆的短轴长为 .
12.已知，则a0+a1+a2+ +a7= .
13.数字1，2，3，4，5，6按如图形式排列，设第二行中的最大数为M，若M=5，则符合要求的排列数为 .（结果用数值表示）
14.已知，数列{an}满足an+1=f（an）（n≥1，n∈N），若对任意正整数n,不等式|an+2-an+1|≤λ|an+1-an|恒成立，则λ的取值范围是 .
15.已知，对任意x1，x2∈[a,+∞），都有成立，则a的最小值为 .
16.设集合，从A中随机选取一个元素，记为X，则X的期望为 .（结果用数值表示）
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
（1）在的二项展开式中，求x的幂指数是负数的项的个数；
（2）设a∈R，a≠0，若（x+a）8的展开式中第4项、第5项、第6项的系数成等差数列，求a的值.
18.(本小题15分)
如图，已知在四棱柱ABCD-EFGH中，EA⊥平面ABCD，N、M分别是EF、HD的中点.
（1）求证：HN∥平面AFM；
（2）若底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=AE=2，AD=CD=1，求直线AN与平面AFM所成角的正弦值.
19.(本小题15分)
甲、乙两队进行乒乓球双打比赛，规定每局比赛必须决出胜负，采用五局三胜制，即先赢得三局比赛的队伍获胜.已知每局比赛甲队获胜的概率为p,且每局比赛的结果相互独立.
（1）设，记比赛结束时的场数为X，求X的分布、期望和方差；
（2）已知甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为，求p的值.
20.(本小题17分)
已知m∈R，椭圆的焦距为，离心率为.过点M（0，m）的直线l交椭圆C于点A、B（A在第一象限）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设，点D（0，2），直线DA、DB的斜率分别为k1、k2，求k1+k2的值；
（3）直线l交x轴于点N，过点A作x轴的垂线交椭圆C于另一点P，延长PM交椭圆C于点Q，若M为AN中点，且，求直线BQ的斜率.
21.(本小题18分)
对于一个函数y=f（x）和一个点M（a,b），定义.
（1）设，求函数y=sf-M（x），x∈（0，+∞）的最小值；
（2）设f（x）=x3-2x,M（0，0），若集合A={x|sf-M（x）=d,x∈R}是双元素集，求d的取值范围；
（3）已知y=f（x）及其导函数y=f′（x）的定义域均为R，函数y=g（x）恒大于0，对于点M1（t-1，f（t）-g（t）），点M2（t+1，f（t）+g（t）），记集合，对任意x∈R}，集合，对任意x∈R}.若对任意t∈R，集合B、C非空，且B=C，试判断y=f（x）的单调性.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】7
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】15π
9.【答案】x-y+2=0
10.【答案】4.8%
11.【答案】
12.【答案】-128
13.【答案】192
14.【答案】[3，+∞）
15.【答案】e
16.【答案】306.9
17.【答案】9 a=2或
18.【答案】证明：取AE的中点，记为S，连接SN，则SN∥AF，
因为SN 平面AFM，AF 平面AFM，
所以SN∥平面AFM；连接SH，由SA=HM，SA∥HM，得四边形ASHM是平行四边形，
所以SH∥AM．
因为SH 平面AFM，AM 平面AFM，
所以SH∥平面AFM；因为SN∩SH=S，SN，SH 平面SNH，
所以平面SNH∥平面AFM；因为HN 平面SNH，
所以HN∥平面AFM
19.【答案】X的分布列为：
X 3 4 5
P
根据期望公式可得：，
根据方差公式可得： 或
20.【答案】 0 1
21.【答案】2 f（x）在上单调递减
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