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2025-2026学年山西省晋中市太谷中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若随机变量，则P（X=3）=（　　）
A. B. C. D.
2.已知n∈N*，若，则n=（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或3
3.已知随机变量X服从正态分布N（4，σ2），且P（X≤a）=P（X≥b），则a+b=（　　）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
4. 如图，一套俄罗斯套娃由8个大小各不相同套娃组成，将这8个套娃放置在一个上下两层的展示架上，上层放置3个，下层放置5个，且要求每层的套娃左边都比右边的大，则不同的放置方法共有（　　）
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
5.有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（　　）
A. 40 B. 48 C. 52 D. 60
6.（x+）（3x-）5的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（　　）
A. 2520 B. 1440 C. -1440 D. -2520
7.某校运动会排球决赛采用5局3胜制，每局必须分出胜负，各局之间互不影响，只要有一队获胜3局就结束比赛.已知甲球队每局获胜的概率均为，设X为决出冠军时比赛的场数，则P（X=4）=（　　）
A. B. C. D.
8.某疾病在人群中的患病率为5%，该疾病患者被检测出（结果为阳性）的概率为95%，阴性人群被检测为阳性的概率为10%，则一个人检测结果为阳性的概率为（　　）
A. 10.25% B. 14.25% C. 48.26% D. 57.35%
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若，则下列说法正确的是（　　）
A. （2-x）20的展开式中奇数项的二项式系数之和为210
B.
C. a19=-40
D. f（-1）除以10的余数为9
10.某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有A，B，C，D，E，F，G共7个节目，则下列结论正确的是（　　）
A. 若节目A与节目B相邻，则共有1440种不同的安排方法
B. 若节目E与节目F不相邻，则共有3000种不同的安排方法
C. 若节目C在节目D之前表演（可以不相邻），则共有2420种不同的安排方法
D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有720种不同的安排方法
11.甲、乙两个盒子中各装有1个单色球和5个双色球，现从甲、乙两个盒子中各取1个球交换放入另一个盒子，重复进行n（n∈N*）次这样的操作，记甲盒子中单色球的个数为An，恰有1个单色球的概率为pn，则（　　）
A. B. 是等比数列
C. D. An的数学期望为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如果随机变量ξ～B（n,p），且E（2ξ）=24，D（ξ）=8，则p= .
13.某校高三学生共1000人，其身高近似服从正态分布N（170，25）（单位：cm），身高大于175cm称为“高个子”，则全校高三学生中“高个子”的学生人数约为 人.（参考数据：P（μ-σ＜X≤μ+σ）≈0.6826，结果保留整数）
14.有5个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数.
（1）可以排出多少个不同的三位数？
（2）各位数字互不相同的三位数有多少个？
（3）恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？
16.(本小题15分)
已知的二项展开式中，前三项的二项式系数和等于46.
（1）求展开式中所有项的系数和；
（2）求展开式中含x11的项.
17.(本小题15分)
在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球，从中不放回地依次摸出3个小球.
（1）求前两次摸出的球均为黑球的概率；
（2）记X表示摸出的小球中红球的数量，求X的分布列及其数学期望.
18.(本小题17分)
某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案.
方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金.
方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第i（i=1，2，3）次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金.
（1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求P（X＞20）；
（2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列；
（3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算.
19.(本小题17分)
学校举行数学知识竞赛，每班派出一个由两名同学组成的参赛队参加比赛，比赛分为初赛和决赛，规则如下：初赛由参赛队中一名同学答题3次，若3次都未答对，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少答对一次，则该队进入决赛.决赛由该队的另一名同学答题3次，每次答对得3分，未答对得0分，该队的比赛成绩为决赛的得分总和.
某班参赛队由甲、乙两名同学组成，设甲每次答题答对的概率为p,乙每次答题答对的概率为q,且每次答题相互独立.
（1）若，甲同学参加初赛，求该班进入决赛的概率；
（2）若，，乙同学参加初赛，记该班的比赛成绩为X，求X的分布列和数学期望E（X）；
（3）设p+q=1，p≠q,为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，应如何安排甲、乙出场比赛的顺序？
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】AD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】159
14.【答案】
15.【答案】216 120 90
16.【答案】-512；
-2268 x11．
17.【答案】；
分布列见解析，E（X）=．
18.【答案】；
答案见解析；
游客选择网上购票更划算．
19.【答案】 X的分布列为：
X 0 3 6 9
P
数学期望为 为使得该班的比赛成绩为9分的概率最大，当q＜p时，应安排乙初赛，甲决赛；当q＞p时，应安排甲初赛，乙决赛
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