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2025-2026学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.展开式的常数项为（　　）
A. 20 B. 90 C. 40 D. 120
2.甲乙两人投篮投中的概率分别为，，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（　　）
A. B. C. D.
3.函数y=x+2cosx在区间[0，]上的最大值是（　　）
A. +1 B. + C. D.
4.（x+y+z）5的展开式共（　　）
A. 15项 B. 21项 C. 25项 D. 31项
5.袋中有质地、大小均相同的3个红球，2个白球，现从中任取3个球，其中所含红球的个数为X，则E（X）=（　　）
A. 1.2 B. 1.8 C. 2 D. 3
6.某校A，B，C，D，E这5名同学需要选择甲、乙、丙三个校本课程，每人限报一个课程.若这三个课程都至少有1名同学选择，其中A不能选甲课程，B只能在甲乙课程中选，那么这5名同学不同的选择方法种数共有（　　）
A. 69种 B. 71种 C. 73种 D. 79种
7.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，f′（x）是f（x）的导函数，f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）-2f（x）＞0，则不等式f（x）＜0的解集为（　　）
A. （-∞，-1）∪（0，1） B. （-1，0）∪（0，1）
C. （-∞，-1）∪（1，+∞） D. （-1，0）∪（1，+∞）
8.学校食堂每餐推出A、B两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了A套餐，则第2天选择A套餐的概率为；若他前1天选择了B套餐，则第2天选择了A套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择A套餐的概率为，在该同学第3天选择了A套餐的条件下，他第2天选择A套餐的概率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的有（　　）
A. 若随机变量X N（1，32），则D（X）=3
B. 从10名男生，5名女生中任选4人，选出的女生个数X服从超几何分布
C. 若随机变量X的方差为D（X），则D（3X+2）=3D（X）+2
D. X B（10，0.8），则当X=8时概率最大
10.已知，则（　　）
A.
B.
C.
D.
11.函数f（x）=ex-ax有两零点x1，x2且x1＜x2，记函数的极小值点为x0，则下列说法正确的是（　　）
A. a＞e B. x1+x2＞2 C. x1x2＞1 D. x1+x2＜2x0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X＜5）=0.3，则P（X＞-1）= .
13.设A，B是一个实验的两个事件，，则P（AB）= .
14.若对任意的x∈（0，+∞），都有（ax）2e-x-ex≤axlnax-ax2恒成立，则a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
4名男生和3名女生站成一排.
（1）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
（2）甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？
（3）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
16.(本小题15分)
某工厂生产某种电子产品，需要经过二道检验程序，只有二道检验都合格，才能对外售卖，否则该产品只能报废处理.已知第一道检验程序结果为不合格的概率为，第二道检验程序结果为不合格的概率为，每道检验程序的结果只有合格与不合格，且检验结果相互独立.
（1）求每个电子产品不能对外售卖的概率；
（2）每个电子产品的生产成本为200元，售价为600元，现生产了3个这样的电子产品，求这3个电子产品总收益的均值.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=aex+（a-1）x+e-x（a∈R，e=2.71828 为自然对数的底数）.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有最小值g（a），证明：.
18.(本小题17分)
现有一种不断分裂的M细胞，在每个分裂周期中，一个M细胞以的概率分裂成一个新的M细胞，以的概率分裂成两个新的M细胞，分裂后原来的M细胞消失，新的M细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个M细胞，n个分裂周期后，M细胞的数目为Xn.
（1）求X2的分布列和数学期望；
（2）求概率P（X3=2）；
（3）求概率P（Xn=2）.
19.(本小题17分)
函数f（x）的定义域为D，若对任意正实数t,在定义域内存在实数x1，xn（x1≠x2），使得成立，则称f（x）具有“性质T”.已知函数g（x）=-xlnx+（lna+1）x.
（1）当a=e,
①求曲线y=g（x）在x=1处的切线方程；
②判断函数g（x）是否具有“性质T”，并说明原因；
（2）当时，设 x1，x2∈（0，+∞），且满足g（x1）-g（x2）=1，求证：.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】0.8
13.【答案】
14.【答案】（0，e]
15.【答案】解：（1）（种），
甲、乙两人必须站在两端的站法有240种．
（2）（种），
甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有960种．
（3）（种）．
甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有840种．
16.【答案】 750元
17.【答案】当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f（x）在（-∞，-lna）上单调递减，在（-lna，+∞）上单调递增 证明：由（1）可知，当a≤0时，f（x）在R上单调递减，无最小值，
当a＞0时，f（x）在x=-lna处取得最小值，所以2g（a）=f（-lna）=ae-lna+（a-1）（-lna）+elnα=1-（a-1）lna+a，
对g（a）=1-（a-1）lna+a求导，可得：g（a）=，
对，求导可得，
所以g'（a）在（0，+∞）上单调递减，又因为g（1）=-ln1+1=1＞0，g′（2）=-，
所以存在a0∈（1，2），使得g'（a0）=0，即-lna0+，也就是，
当0＜a＜a0时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；当a＞a0时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，
所以g（a）在a=a0处取得最大值，g（a0）=1-（，
因为a0∈（1，2），根据对勾函数在（1，2）上单调递增，
所以，即g（，
综上，得证
18.【答案】
X2 1 2 3 4
P

19.【答案】①x-y+1=0；②函数g（x）具有“性质T”．理由如下：
假设函数具有“性质T”，
则对任意正实数t，在定义域内存在实数x1，x2（x1≠x2），使得成立，
由g′（x）=-lnx+1，则g′（t）=-lnt+1，
所以，
即，
化简得-x1lnx1+（1+lnt）x1=-x2lnx2+（1+lnt）x2，
令F（x）=-xlnx+（1+lnt）x，
则F′（x）=-lnx-1+1+lnt=-lnx+lnt，
由F′（x）＞0，得0＜x＜t；F′（x）＜0，得x＞t；所以F（x）在（0，t）上单调递增，在（t，+∞）上单调递减，
所以当x=t时F（x）取得极大值，也是最大值，
即F（x）max=F（t）=t＞0，
当x→0时，F（x）→0；当x→+∞时，F（x）→-∞，
所以存在x1，x2（x1≠x2），使得F（x1）=F（x2），
所以函数g（x）具有“性质T” 证明：由g（x）=-xlnx+（lna+1）x，则g′（x）=-lnx+lna，
当x∈（0，a）时，g′（x）＞0，即g（x）在（0，a）为单调递增函数；当x∈（a，+∞）时，g'（x）＜0，即g（x）在（a，+∞）为单调递减函数．
可知g（x）max=g（a）=a≤1，
若x2∈（0，a），则g（x2）=x2（lna+1-lnx2）＞x2＞0，
g（x1）-g（x2）＜g（x1）≤g（a）=-alna+alna+a≤1，不符合题意；所以x2≥a；若0＜x1＜a，则x1＜x2；若x1≥a，x2≥a，
又因为g（x）在（a，+∞）为单调递减函数，
所以g（x1）=g（x2）+1＞g（x2），
所以x1＜x2；综上所述，x1＜x2，
又因为g（x1）-g（x2）=1，
由，
所以，
即，
即g，
设m（x）=g（x）+aex，
则m'（x）=g'（x）+aex=aex-lnx+lna，
方法一：设h（x）=aex-lnx+lna，
则，
因为h'（x）在（0，+∞）为单调递增函数，
当x→0时，h'（x）→-∞，x→+∞，h'（x）→+∞，
所以存在t∈（0，+∞），使得h'（t）=0，
即，
又因为x∈（0，t），h'（x）＜0，
即h（x）在（0，t）为单调递减函数；又因为x∈（t，+∞），h'（x）＞0，
即h（x）在（t，+∞）为单调递增函数；所以h，
又因为，
则有lna+t=-lnt，
又因为，
所以h（x）≥0，
即m（x）在（0，+∞）为单调递增函数，
又因为x2＞x1，
所以m（x2）＞m（x1），
即；方法二：h（x）=aex-lnx+lna=ex+lna+x+lna-（lnx+x），
设F（x）=lnx+x，
因为F（x）在（0，+∞）单调递增，
又因为ex+lna≥ex-1≥x，
所以F（ex+lna）≥F（x），
所以h（x）≥0，
即m（x）在（0，+∞）为单调递增函数，
又因为x2＞x1，
所以m（x2）＞m（x1），
即
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