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江苏南京市玄武区部分校2025-2026学年度第二学期八年级数学期中质量检测卷
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.下列说法中, 正确的是( )
A. “打开电视, CCTV1正在播放《新闻联播》”是必然事件
B. “掷一次质地均匀的正方体骰子, 向上一面的数字是2”是随机事件
C. 描述沙市一周内每天的最高气温的变化情况, 适宜采用扇形统计图
D. 调查长江某段水域现有鱼的种类, 适宜采用全面调查
3.已知一条不透明的袋子里装有除了颜色外都一样的白球和黄球共10个.若从中任意摸一个球，要使摸到的黄球的可能性大，则袋子里装有黄球的个数至少（　　）个.
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
4.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，菱形中，对角线相交于点O，，，点P和点E分别为上的动点，求的最小值为（ ）
A. 5 B. C. 6 D. 8
6.如图，在正方形中，对角线与交于点O，点E，F分别为边，的中点，点M，N分别在线段，上移动（不与端点重合），且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 四边形可能为矩形 B. 四边形的面积不变
C. 的度数不变 D. 线段有最大值
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.已知一个样本的容量为100，把样本中的数据分成5个组.若第一、二、三组的频数和为60，第五组的频率为0.25，则第四组的频数为 .
8.因式分解： ．
9.小明有道数学题目不会，想打电话请教老师，可是他只想起了电话号码的前位（共位数的电话）那么，他一次打通电话的概率是 ．
10.为了解学生寒假期间参与社会实践活动时间的情况，某校对九年级部分学生参与社会实践活动时间的情况展开调查，并画出了相应的频数分布直方图（如图）（每组数据含最小值，不含最大值）．若该校九年级共有名学生，则该校九年级学生参与社会实践活动的时间不低于小时的人数是 ．
11.已知，，则= .
12.如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2，则AB的长为 .
13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交BC于点E，且，连接OE，则∠COE= 度.
14.如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点，连接，，．已知，，则的长是 ．
15.如图，在梯形中，，，，点C、M分别是边上的点，连接，若和的面积之和为12，则的长为 ．
16.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，H是CD的中点，连接GH，则GH的最小值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
四、解答题：本题共9小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
移动支付快捷高效，中国移动支付在世界处于领先水平，为了解人们平时最喜欢用哪种，移动支付支付方式，为此在某步行街，使用某ａｐｐ，软件对使用移动支付的行人进行随机抽样调查，设置了四个选项，支付宝，微信，银行卡，其他移动支付（每人只选一项)，以下是根据调查结果分别整理的不完整的条形统计图和扇形统计图.
请你根据下列统计图提供的信息,完成下列问题.
(1) 这次调查的样本容量是_ ;
(2) 请补全条形统计图;
(3) 求在此次调查中表示使用微信支付的扇形所对的圆心角的度数.
(4) 若某天该步行街人流量为10万人，其中40%的人购物并选择移动支付，请你依据此次调查获得的信息，估计一下当天使用银行卡支付的人数.
19.(本小题6分)
在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据：
摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数n 66 128 171 302 481 599 1806
摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602
(1) 若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为 (精确到0.1)
(2) 盒子里约有白球 个
(3) 若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在 ，请你推测x可能是多少
20.(本小题6分)
如图，在 ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，且∠1=∠2.求证：四边形AFCE是平行四边形.
21.(本小题7分)
如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，．
(1) 求证：四边形是菱形．
(2) 若矩形的面积为4，求菱形的面积．
22.(本小题8分)
按要求完成作图
(1) 如图①，平行四边形中，，垂足为，交边于点．仅用无刻度的直尺在图中作线段，垂足为．
(2) 如图②，点，分别在平行四边形的边上，．连接，请过点作的垂线，垂足为（仅用无刻度直尺作图）．
23.(本小题8分)
阅读下列材料：
小明同学遇到了这样一个问题：如图1，是边长为的正方形内一定点，请在图中画出两条直线（要求其中一条直线必须过点），使它们将正方形的面积分割成面积相等的四个部分．
小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，是边长为的正方形的中心，将以点为顶点的直角绕点任意旋转，且直角两边与，相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值，可以类比此问题解决．
(1) 请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；
(2) 请你在图3中，解决原问题（写出必要说明）；
(3) 如图4．在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，（写出必要说明）．
24.(本小题10分)
【实践探究】在学习“因式分解”时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④的四种长方体（含正方体）若干，进行数学实践探究．
(1) 若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式 ；
(2) 【问题解决】若要拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由；
(3) 【拓展应用】如图3，从一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，直接写出因式分解的结果，并解答以下问题：已知和分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等式，若为整数时，求的值．
25.(本小题11分)
如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点关于直的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接．
(1) 在图1中补全图形；
(2) 求的度数，写出求解过程．
(3) 用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
26.(本小题14分)
【实践探究】小佑同学在做八下第八章《四边形》的课后练习时，他将两个正方形纸片按照图所示的方式放置：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转，他发现不仅有课本上的一些结论，还探究得到一些其他的结论．
(1) 【问题发现】①图中线段、之间的数量关系是 ；②图1中连接，则线段、、之间的数量关系是 ．
(2) 【类比迁移】如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转，判断线段、、之间的数量关系为：______，并写出证明过程．
(3) 如图3，在菱形中，对角线、相交于点，点为的中点，直角的两条边、分别与边、交于点、，可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为 ．
(4) 【结论应用】如图4，在直角梯形中，，，点为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点、，矩形可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为 ．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】15
8.【答案】.
9.【答案】
10.【答案】88
11.【答案】6
12.【答案】3
13.【答案】45
14.【答案】2
15.【答案】6
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
；
【小题3】
解：
；
【小题4】
解：
．

18.【答案】【小题1】
200人
【小题2】
因样本容量为200人，结合条形统计图可得：
使用微信支付的人数为：（人）
补全条形统计图如下：
【小题3】
由题（1）、（2）可知，使用微信支付的人数所占比例为：
则使用微信支付的扇形所对的圆心角的度数为：
答：所求的圆心角的度数为；
【小题4】
由题意得，该天购物选择使用移动支付的总人数为：（人）
由题（1）和条形统计图可知，使用银行卡支付的人数所占比例为：
则估计该天使用银行卡支付的人数为：（人）
答：所求的该天使用银行卡支付的人数为4000人.

19.【答案】【小题1】
0.6
【小题2】
24
【小题3】
解：根据题意知， ，
解得 ，
答：推测x可能是12．

20.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，AD=BC，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，
即AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
21.【答案】【小题1】
证明：、，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
平行四边形是菱形；
【小题2】
解：矩形的面积为4，
，
由（1）知，四边形是菱形，
、，
．

22.【答案】【小题1】
解：如图①，点H即为所求；
证明：四边形是平行四边形，
，，即，
，
在和中，
，
，
，
、，
四边形是平行四边形，
，
，
；
【小题2】
解：如图②，即为所求；
证明：四边形是平行四边形，
、，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
、，
四边形是平行四边形，
，
．

23.【答案】【小题1】

【小题2】
解：如图3所示，连接、交于点，作直线，与正方形的边交于点P、H，过点作的垂线，与正方形的边交于点N，F，直线和直线即为所求，

证明：由（1）的结论易证得，
是边长为的正方形的中心，
，
，
同理得：、、，
直线和直线将正方形的面积分割成面积相等的四个部分；
【小题3】
解：如图4所示，连接并延长交的延长线于点F，过点F作的平行线，交的延长线于点E，在上取点Q，使，作直线，交直线于点M，
证明：由作图可知，、、，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
、，
、，
四边形是平行四边形，
点是平行四边形的对角线的交点，
，
，
在和中，
，
，
、，
，
当时，将四边形面积二等分．

24.【答案】【小题1】
【小题2】
解：∵，且，，
∴需要②号长方体12个，③号长方体6个．
【小题3】
解：；
由题意，得，
整理得，
∵，
∴．
即．
∵为整数，
∴为完全平方数，且，即
又，，故
因而存在下面两种情形：
①当时，；
②当时，．
综上所述，的值为或．

25.【答案】【小题1】
解：补全图形如图所示；
【小题2】
解：，证明如下：
∵点D、F关于对称，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
∵，
∴；
【小题3】
解：，证明如下：
如图，过点A作，与射线交于点Q．

∵，
∴，
由对称性可知，
又∵，
∴为等腰直角三角形．
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．

26.【答案】【小题1】
【小题2】
结论：，理由如下：
延长交于点，连接，连接，则过中心，
∵是矩形的中心，
∴是的中点，即，
∵矩形中，，
∴，．
在和中，
，
∴（）．
∴，
∵矩形中，，即，
∴．
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴；
【小题3】

【小题4】
或

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