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江苏苏州市相城区2025-2026学年第二学期八年级数学期中试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列是一元二次方程的是（）
A. B. C. D.
2.如图，在中，点O是对角线，的交点，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（ ）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 12
4.若是方程的一个根，则b的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
5.如果关于x的方程（x－9）2＝m＋3可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ）
A. m＞0 B. m≥0 C. m＞－3 D. m≥－3
6.在下图中,平行线之间的三个图形的面积相比,正确的是( )
A. 平行四边形的面积最大 B. 三角形的面积最大
C. 梯形的面积最大 D. 三个图形的面积都相等
7.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在边长为8的正方形中，E，F分别是边、的中点：连接，，G，H分别是、的中点，连接，则的长度为（ ）
A. 4 B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.当 时，关于的方程是一元二次方程．
10.如图，在平行四边形中，，则的度数是 ．
11.如图，在□ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ ．
12.将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形中，对角线，，则纸条重叠部分的面积为 ．
13.在一元二次方程+bx+c=0(a0)中,实数a、b、c满足4a-2b+c=0,则此方程必有一根为 .
14.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 ．
15.如图，四边形ABCD中，AB= BC，∠ABC=∠CDA= 90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE= ．
16.如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：
(1) ；
(2)
四、解答题：本题共10小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
在 中，点，分别在边和上，且．求证：．
19.(本小题6分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图；
(1) 在图①中以已知线段为对角线画一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，该矩形的面积为______．
(2) 在图②中以已知线段为对角线画一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上，该菱形的周长为_____．
(3) 在图③中画一个周长为的菱形（非正方形）．
(4) 在图④中画一个面积为8的正方形．
20.(本小题6分)
阅读与思考
小明同学解一元二次方程的过程如下：
解：移项，得 ① 两边同除以2，得 ② 配方，得 ③ 即 ④ ∴或 ⑤ ∴， ⑥
(1) 小明解方程的方法是 （填字母）A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法．
(2) 他的求解过程从步骤_________（填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程．
21.(本小题6分)
已知关于的方程．
(1) 求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程有一根为5，求的值．
22.(本小题6分)
如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接．
(1) 求证：；
(2) 若点为中点，当 时，四边形是正方形．
23.(本小题6分)
如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 求椅子最高点到地面的距离．
24.(本小题8分)
如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作于点E，延长BC至点F，使，连接
(1) 求证：四边形AEFD是矩形；
(2) 若，，求CD的长.
25.(本小题8分)
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：．
解：设，则原方程可化为：．
解得：，．
当时，，∴；
当时，，∴．
∴原方程的解是：，，，．
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
(1) 解方程：；
(2) 解方程：．
26.(本小题10分)
已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题：
(1) 如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分；
(2) 如图2，若四边形是菱形，求t的值；
(3) 如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由．
27.(本小题12分)
【链接教材】
(1) 如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动．
则下列结论正确的是 （填序号即可）：
①；
②；
③四边形的面积总等于；
④连接，总有．
(2) 【类比迁移】如图2，矩形的对角线的交点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
(3) 【拓展应用】
①将n个边长都为的正方形按如图3所示的方法摆放，点分别是正方形的对角线的交点，则2026个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ．
②如图4，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，则的长度为 ．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】或
10.【答案】 /100度
11.【答案】5
12.【答案】24
13.【答案】x=-2
14.【答案】6
15.【答案】
16.【答案】（，-）
17.【答案】【小题1】
解：
解得，；
【小题2】
解：
∴或
解得，．

18.【答案】解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∴．

19.【答案】【小题1】
解：如图①，矩形即为所求．
∴该矩形的面积为；
【小题2】
解：如图②，菱形即为所求．
∴
∴该菱形的周长为；
【小题3】
解：∵菱形的周长为，
∴菱形的边长为，
∵，
∴如图③，菱形即为所求．
【小题4】
解：∵正方形的面积为8
∴正方形的边长为，
∵
∴如图④，正方形即为所求．

20.【答案】【小题1】
B
【小题2】
正确的解析过程如下，：
，
移项得，，
等式两边同时除以2得，，
配方得，，
即，
∴或，
∴．

21.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，
∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根．
【小题2】
解：把代入得：
，
即，
解得：或．

22.【答案】【小题1】
证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
【小题2】
45

23.【答案】【小题1】
证明：∵，，
∴，，
则，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小题2】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
延长交于，
由（1）可知，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
则，
∵，
∴，
即：椅子最高点到地面的距离为．

24.【答案】【小题1】
解：在菱形ABCD中，，，
，
，
，
，
，
四边形AEFD是平行四边形，
，
平行四边形AEFD是矩形；
【小题2】
解：在菱形ABCD中，，
，
，
在矩形AEFD中，，
，
在中，，
解得：

25.【答案】【小题1】
解：设，则原方程可化为，
∴，
解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
∴原方程的解为；
【小题2】
解：设，则原方程可化为，
∴，
∴，
解得，
经检验，都是方程的解，
当时，则，
∴，
此时，方程无实数根；
当时，则，
∴，
∴，
解得或，
经检验，和都是原方程的解；
综上所述，原方程的解为．

26.【答案】【小题1】
解：如图，连接，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，总是互相平分．
【小题2】
解：若四边形是菱形，则，
∴在中，由勾股定理，得，
∴，
解得，
∴t的值为3．
【小题3】
解：存在．
如图，连接交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
∴，
解得，
∴当秒时，四边形是菱形．

27.【答案】【小题1】
①②③④
【小题2】
解：连接，延长交于点G，
∵矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，
∴；，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
由勾股定理，得，
故．
【小题3】
2025
或

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