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上海市长宁区2025-2026学年下学期九年级数学期中试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，比3小的无理数是（）
A. B.
C. π D.
2.上海市2025年全年地区生产总值约为万亿元，其中万亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3.已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（ ）
A. 直线l可能经过圆心O B. 直线l可能与相交
C. 直线l可能与相切 D. 直线l可能与相离
4.在2026年春季社会实践活动中，某校九（1）班共分成5个活动小组，小组人数分别为6，6，7，5，6，那么对上述小组人数数据，下列说法中错误的是（）
A. 平均数是6 B. 中位数是6 C. 众数是6 D. 方差是6
5.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，其上有一个四边形（A、B、C、D均为格点），那么下列说法中正确的是（ ）
A. 四边形是菱形 B. 四边形的周长是
C. 四边形的面积是6 D.
6.已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.计算： ．
8.请写出使代数式有意义的a的一个值为： ．
9.方程的解是 ．
10.数据90、91、92、93、94的标准差是 ．
11.方程组的解是 ．
12.已知线段，，从，，，，5这五个数中任意选取一个数作为线段c的长度，那么，，是某直角三角形三边的长度的概率是 ．
13.如果关于x的方程有一根是，那么该方程的另一根是 ．
14.已知点在反比例函数的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而 ．（填“增大”或“减小”）
15.在正方形中，是其对角线，那么的值为 ．
16.已知正八边形的中心是点，连接，，，点是的重心，如果，那么线段的长等于 ．
17.在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点满足，，其中，那么称点为“-优点”．比如当，时，点为“2-优点”（这是因为满足，，）．已知点C在抛物线上，且它还是“2026-优点”，那么点C的坐标是 ．
18.如图，在中，，．将绕着点旋转，点、的对应点分别是点，，如果点恰好在直线上，且，那么的值为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共14分。
19.计算：．
20.解不等式组：．
四、解答题：本题共5小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题10分)
某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）．
(1) 求与的关系式；
(2) 已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围．
22.(本小题12分)
在九年级第一学期时学习了“黄金分割”以及“黄金三角形”知识，我们已经知道：有一个内角为的等腰三角形称为黄金三角形，它具有的美妙性质．请运用上述信息，解决下列问题：
(1) 填空：等腰的顶角，且，那么底边 ．
(2) 如图1，在中，，，且，求的长．
(3) 如图2，已知点P是线段的黄金分割点（），在的延长线上截取，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，请判断是否是黄金三角形？并说明理由．
23.(本小题13分)
如图，正方形中，点E在对角线上，点F在边上（点F与点C不重合），且．
(1) 求证：；
(2) 在图中延长与交于点H，如果，求证：．
24.(本小题14分)
已知抛物线与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点．
(1) 求的面积．
(2) 如图，点是抛物线第四象限上的一点，直线分别交、于点、，如果，求直线的表达式；
(3) 在第（2）小题的基础上，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点（点在点的上方）．如果点恰好是线段的中点．求抛物线的表达式．
25.(本小题15分)
已知线段是的一条弦，点C是上的一点．
(1) 连接、，如图1，如果，，且，求的半径长；
(2) 当圆心在线段上时．
①如图2，已知点D在上，满足，且，如果，求的长．
②如图3，已知点E在线段上，满足，如果沿着弦翻折后的弧线恰好经过点，求的值．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】
8.【答案】2/答案不唯一
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 /
13.【答案】4
14.【答案】增大
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】或
18.【答案】
19.【答案】解：
．

20.【答案】解：，
解得，
解得，
原不等式组的解集为．

21.【答案】【小题1】
解：根据题意可得：，
，，
，
整理可得：；
【小题2】
解：，
，
，
，
解得：．

22.【答案】【小题1】

【小题2】
解：取中点，连接，
∵，，
∴，
∴都是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是黄金三角形，且所对的边为较短边，
∴，即，
∴；
【小题3】
解：是黄金三角形，理由如下：
连接，
由旋转的性质得，，
∴，
∴是黄金三角形，且腰长为较短边，
∴，
设，
∵点P是线段的黄金分割点（），
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴是黄金三角形．

23.【答案】【小题1】
证明：如图，连接，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小题2】
证明：如图，
设，则，
，
四边形是正方形，
、，
在中，由勾股定理得：，
由（1）知，，
，
，
解得，
，
四边形是正方形，
、，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

24.【答案】【小题1】
解：抛物线与轴交于点，，与轴交于点，
时，或，
时，，
，，，
，，
．
【小题2】
解：，由图可知，，
，
．
，
，
．
直线交于点，经过点，设直线解析式为，
，解得，
直线解析式为．
【小题3】
解：抛物线是由抛物线向左平移得到的，
设平移个单位，则的表达式为．
联立直线与的方程为，
整理得，，
直线与抛物线交于、两点，设，，
是方程的两根，
.
点恰好是线段的中点，，
，
．
的表达式为．

25.【答案】【小题1】
解：如图，连接、，
、，
是等腰直角三角形，
在中，，
，
解得或（舍去），
的半径长为4；
【小题2】
①解：如图，连接，
、是的半径，
、，
点是的中点，
是的中位线，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
②解：如图，过点E作交于点，连接、、、，设交于点，
，
，
设、，则，
由翻折的性质得：、、，
是的直径，
，
在中，由勾股定理得：，
、，
，
，
、，
，
，
，
、，
，，
，
，
，
，
在中，．

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