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2025-2026学年广东省广州市越秀区培正中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个选项中，为无理数的是（　　）
A. 0 B. C. -1 D. 3.14
2.将方程2x+y=4写成用含x的代数式表示y的形式为（　　）
A. y=-2x+4 B. y=2x+4 C. D.
3.在平面直角坐标系中，点P（m,4）在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A. m＞0 B. m＜0 C. m≤0 D. m≥0
4.的平方根是（　　）
A. - B. 3 C. ±3 D. ±
5.将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，则∠1与∠2的数量关系一定正确的是（　　）
A. ∠2=2∠1
B. ∠2-∠1=30°
C. ∠1=∠2
D. ∠1+∠2=90°
6.如图，∠1=∠2，下列说法正确的是（　　）
A. ∠3=∠4
B. AD∥BC
C. AB∥DC
D. BD平分∠ADC
7.我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
8.如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即a∥b），根据光的反射可知∠1=∠3，∠2=∠4，其原理如图2所示，若∠1=46°，则∠2的度数为（　　）
A. 44°
B. 46°
C. 54°
D. 56°
9.下列命题中，是真命题的是（　　）
A. 有理数和数轴上的点是一一对应的
B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
10.如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形，AD与AB的差为2，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（　　）
A. 26
B. 25
C. 24
D. 23
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知m是的整数部分，n是的小数部分，则（m-n）= .
12.如图，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，PB⊥l,垂足为B，PA=4，PB=3，PC=5，则点P到直线l的距离是 .
13.比较大小： 4．
14.如图是中国象棋的一方棋盘，如果“帅”的坐标是（0，1），“卒”的坐标是（2，2），那么“马”的坐标是______.
15.现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共7元.1角、5角、1元硬币的取法共有 种.
16.甲和乙同时从A地出发，匀速行走到B地．甲走完一半路程时，乙才走了4千米，乙走完一半路程时，甲已走了9千米．当甲走完全程时，乙未走完的路程还有 千米．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程组．
四、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：.
19.(本小题8分)
如图，在平面内有A，B，C三点.请按照要求画图.
（1）分别画出直线AC，线段BC，射线AB；
（2）过点A画AD⊥BC，垂足为点D；
（3）尺规作图：在射线AB上作出点E，使AE=2BC（要求保留作图痕迹）.
20.(本小题8分)
如图，△ABC的三个顶点坐标分别为：A（4，4），B（3，2），C（1，3）.将△ABC向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1，并求△A1AB的面积.
21.(本小题8分)
完成下面的证明并填上推理根据.
如图所示，点C，F分别为三角形ABE的边BE，AE上的一点，点D在线段CF的延长线上，且AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AD∥BC.
证明：∵AB∥CD（______），
∴∠4=∠BAF（______）.
∵∠3=∠4（已知），
∴∠3=∠BAF（______）.
∵∠1=∠2（已知），
∴∠1+______=∠2+∠CAF（______），
即______=∠CAD，
∴∠CAD= ______（等式的基本事实），
∴AD∥BC（______）.
22.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，5），（3，0）.将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD.
（1）直接写出点C、D的坐标；
（2）若点M、N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.若两点同时出发，则几秒后MN∥x轴？
23.(本小题12分)
随着交通安全意识的增强，某区居民开始积极购买头盔保障骑行安全.某商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元.
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），求该商店有哪几种购买方案？
（3）销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，在（2）问的购买方案中，若将所购头盔全部售出，可获得的最大利润是多少元？
24.(本小题14分)
如图，已知直线BC平分∠ABD交AD于点E，且∠2=∠3.
（1）判断直线AB与CD是否平行？并说明你的理由；
（2）若AD⊥BD于D，∠CDA=α，求∠2的度数（用含α的代数式表示）.
（3）连接AC，以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B、C的坐标分别为、（2，0），且△ABD的面积等于△BDC的面积与△ADC的面积之和，求点A的坐标.
25.(本小题14分)
我们知道：关于x,y的二元一次方程ax+by=c有无数个解，每个解记为点P（x,y），称点P（x,y）为“中国结”，这些“中国结”在同一条直线上，称这条直线是所有“中国结”的“复兴线”，记作“复兴线ax+by=c”.特别的，我们把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”.回答下列问题：
（1）已知A（2，-1），B（-5，1），C（-1，3），则是“复兴线”x+6y=-4的“中国结”的是______；
（2）“复兴线”2mx-y+n-3=0（m,n是常数且m≠0）是否存在“超级中国结”？若存在，请求出“超级中国结”的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平面直角坐标系中，D（-6，-1），E（8，-1），若“复兴线”ax-3x+5y=2a-4与线段DE的交点为“奇妙中国结”，求整数a的值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】6-
12.【答案】3
13.【答案】＞
14.【答案】（-2，2）
15.【答案】1
16.【答案】4
17.【答案】解：，
①+②得，4x=8，
解得x=2，
把x=2代入①得，2+2y=9，
解得y=，
所以，方程组的解是．
18.【答案】．
19.【答案】解：（1）如图：直线AC，线段BC，射线AB即为所求；
（2）如图，AD即为所求；
（3）如图：点E即为所求作的点．

20.【答案】解：如图，△A1B1C1即为所求．
△A1AB的面积为=3．
21.【答案】已知 两直线平行，同位角相等 等量代换 ∠ CAF 等式的性质 ∠ BAF ∠3 内错角相等，两直线平行
22.【答案】C（-1，3），D（-1，-2） 点M，N同时出发，秒后MN∥x轴
23.【答案】A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，
②购进A种头盔4个，B种头盔5个 购买2个A种头盔，10个B种头盔获得利润最大．最大利润是220元
24.【答案】解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵AB∥CD；
（2）由（1）可知：AB∥CD，
∴∠A=∠CDA=α，
∵AD⊥BD，
∴∠ABD=90°-∠A=90°-α，
∵BC平分∠ABD，
∴∠2=∠ABD=（90°-α）=45°-α；
（3）依题意建立直角坐标，过点B作BF⊥x轴于F，设AB交y轴于H，如图所示：

∵点B、C的坐标分别为（-1，）、（2，0），
∴DF=，BH=1，DC=2，
∴S△BDC=CD BF=×2×=，
由（1）可知：AB∥CD，
∴S△ADC=CD BF=×2×=，
∴S△ADC+S△BDC=，
∵△ABD的面积等于△BDC的面积与△ADC的面积之和，
∴S△ABD=，
∴AB BF=，
即×AB×=，
∴AB=4，
∴AH=AB-BH=3，
∴点A的坐标为．
25.【答案】解：（1）A；
（2）由题意，当m≠0时，由，消去y,
所以（2m-1）x=3-n,显然，此方程的解的情况决定“超级中国结”的存在情况．
①当2m-1=0，3-n≠0，即，n≠3时，方程无解，不存在“超级中国结”；
②当2m-1=0，3-n=0，即，n=3时，方程有无数个解，此时存在无数个“超级中国结”，“超级中国结”的坐标可表示为（h,h）（h为任意实数）；
③当2m-1≠0，即时，得即这种情况下存在唯一“超级中国结”的坐标为；
（3）由题意知，DE∥x轴，“奇妙中国结”的纵坐标为-1，代入ax-3x+5y=2a-4，
所以（a-3）x=2a+1．
所以①当a-3=0，即a=3时，等式不成立，舍去；
②当a-3≠0，即a≠3时，．
因为x,y,a均为整数，
所以a-3=±1，±7．
所以a=4，2，10，-4．
当a=4时，x=9，此时“奇妙中国结”没有在线段DE上，应舍去，
所以a的值为2，10，-4．

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