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第23练　同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1.cos 240°= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.-
C. D.-
2.已知α∈(0,π),cos α=,则tan α= (　 )
A.3 B.
C.- D.-3
3.[2025·福建莆田二检] 已知sin=,则cos= (　 )
A. B.-
C. D.-
4.已知tan α=-2,则= (　 )
A.-3 B.-
C. D.3
5.已知α∈(0,π),sin α+cos α=,则sin α-cos α= (　 )
A. B.-
C. D.-
6.(多选题)在△ABC中,下列结论正确的是 (　 )
A.sin(A+B)=sin C
B.sin=cos
C.tan(A+B)=-tan C
D.cos(A+B)=cos C
7.的值为　　　　.
8.已知sin=,且09.已知<α<π, tan α+=-.
(1)求tan α的值;
(2)求的值;
(3)求2sin2α-sin αcos α-3cos2α的值.
10.[2025·北京西城区一模] 在长方形ABCD中,E为BC的中点,cos∠AEB=,
则cos∠AED= (　 )
A. B.
C.- D.-
11.已知锐角θ满足=,则= (　 )
A. B.13
C.- D.
12.(多选题)[2025·陕西汉中模拟] 已知sin4θ+cos4θ=,θ∈,则下列等式正确的是 (　 )
A.sin θcos θ=-
B.sin θ-cos θ=
C.sin θ+cos θ=
D.sin3θ-cos3θ=
13.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以x轴的非负半轴为始边,它们的终边关于直线y=x对称,若tan α=2,则sin(β+3α)=　　　　.
14.[2025·黑龙江哈尔滨三中一模] 已知α是第一象限角,且cos=,则tan=　　　　.
15.已知f(α)=
.
(1)化简f(α);
(2)若θ是第三象限角,且cos=,求f(θ).
16.(多选题)[2025·长沙一中月考] 如图,点P(a,b)是以(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)为顶点的正方形的边上的动点,角θ以Ox为始边,OP为终边,定义S(θ)=,C(θ)=,则 (　 )
A.S(θ)+C(θ)=1
B.S=C(θ)
C. θ∈(0,π),S(θ)≥sin θ
D. θ∈,2S(θ)>S(2θ)
17.设0<θ<,且cos θ+sin θ+(cos θ-sin θ)2=m(cos θ+sin θ+1)2,则实数m的取值范围是　　　　.
第23练　同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1.B　[解析] cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°=-.故选B.
2.B　[解析] 因为α∈(0,π),cos α=,所以sin α==,所以tan α==,故选B.
3.C　[解析] cos=cos=sin=.故选C.
4.A　[解析] 由tan α=-2得===-3.故选A.
5.A　[解析] 由题意知(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,故2sin αcos α=-<0,
故(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=.∵sin αcos α<0且α∈(0,π),∴sin α>0,cos α<0,
∴sin α-cos α>0,故sin α-cos α=.故选A.
6.ABC　[解析] 在△ABC中,A+B+C=π,则sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,A正确;sin=sin=cos,B正确;tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,C正确;cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,D错误.故选ABC.
7.-1　[解析] 原式=
=
=-·=-1.
8.　[解析] ∵09.解:(1)由tan α+=-,得3tan2α+10tan α+3=0,解得tan α=-3或-.
因为<α<π,所以-1(2)===-.
(3)2sin2α-sin αcos α-3cos2α====-.
10.B　[解析] 设∠AEB=θ,则cos θ=,如图所示.因为AB=DC,BE=CE,∠ABE=∠DCE=90°,所以△ABE≌△DCE,所以∠DEC=∠AEB=θ,故∠AED=π-2θ,
所以cos∠AED=cos(π-2θ)=-cos 2θ=1-2cos2θ=1-2×=.故选B.
11.D　[解析] 因为角θ为锐角,所以tan θ>0.由=,解得tan θ=或tan θ=-4(舍去),故====.故选D.
12.ABD　[解析] 对于A,因为sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=,所以sin2θcos2θ=,因为θ∈,所以sin θ>0,cos θ<0,则sin θcos θ=-,故A正确;对于B,由sin θ>0,cos θ<0,得sin θ-cos θ>0,因为(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1+=,所以
sin θ-cos θ=,故B正确;对于C,由(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=1-=,θ∈,解得
sin θ+cos θ=±,故C错误;对于D,sin3θ-cos3θ=(sin θ-cos θ)(sin2θ+sin θcos θ+cos2θ)=×=,故D正确.故选ABD.
13.-　[解析] 因为角α,β的终边关于直线y=x对称,所以+α=+kπ(k∈Z),即α+β=+2kπ(k∈Z),所以β+3α=2α++2kπ(k∈Z),
所以sin(β+3α)=sin=cos 2α===-.
14.-　[解析] 由题意可得cos=cos=-sin=,故sin=-.因为α是第一象限角,所以2kπ<α<+2kπ,k∈Z,故-+2kπ<α-<+2kπ,k∈Z,所以cos>0,所以cos==,所以tan==-.
15.解:(1)由题意得f(α)===-cos α.
(2)因为cos=cos=-sin θ=,所以sin θ=-.
又θ为第三象限角,所以cos θ=-=-,
所以f(θ)=-cos θ=.
16.BCD　[解析] 对于A,当<θ<π时,易知a<0,b>0,依题意可知S(θ)+C(θ)=+=≠1,故A错误;对于B,因为角θ以Ox为始边,OP为终边,P(a,b),所以cos θ=,sin θ=,故cos=-sin θ=,sin=cos θ=,故角θ+以Ox为始边,OM为终边,其中M(-b,a),所以S==C(θ),故B正确;对于C,由S(θ)≥sin θ可得≥×,当θ∈(0,π)时,可得b>0,则不等式等价于≥(|a|+|b|),可得a2+b2≥(|a|+|b|)2,显然该不等式恒成立,故C正确;对于D,当θ∈时,角θ的终边与正方形在第一象限内的边交于P(a,b),角2θ的终边与正方形在第一象限内的边交于Q(c,d),如图所示,设A(1,0),易知OP平分∠AOQ,由角平分线定理可得=>1,可得2b>d,又2S(θ)==2b,S(2θ)==d,所以2S(θ)>S(2θ),故D正确.故选BCD.
17.　[解析] 由题意得m==
,令x=cos θ+sin θ,则sin θcos θ=,x=sin,因为0<θ<,所以<θ+<,故x∈(1,],所以m====-1,令f(x)=-1,则f(x)在(1,]上单调递减,所以f()≤m

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