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第24练　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
1.已知角α的终边不在坐标轴上,且3sin 2α=sin α,则cos α= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.-
C. D.-
2.sin 47°sin 103°+sin 43°cos 77°= (　 )
A.- B.
C.- D.1
3.[2025·浙江温州三模] 已知tan=2,则tan θ= (　 )
A.3 B.2
C. D.
4.已知角α的终边经过点P,则cos= (　 )
A. B.-
C. D.-
5.已知0<α<π,cos=,则sin= (　 )
A. B.
C. D.
6.(多选题)下列等式正确的是 (　 )
A.cos 82°sin 52°-sin 82°cos 52°=-
B.sin 15°sin 30°sin 75°=
C.=tan
D.tan 48°+tan 72°-tan 48°tan 72°=-
7.[2025·浙南名校联盟联考] 已知sin α-·cos α=,则cos=　　　　.
8.[2026·山东青岛适应性考试] 若sin α-cos β=,cos α+sin β=,则sin(α-β)=　　　　.
9.已知sin(α-β)=,sin(α+β)=.
(1)证明:tan α+5tan β=0;
(2)求的值.
10.[2025·广东肇庆三模] 已知α为锐角,且cos=,则cos 2α= (　 )
A. B.
C.- D.-
11.[2026·湖南常德模拟] 已知sin(α+β)=,tan α=,则sin(α-β)= (　 )
A.- B.-
C. D.
12.(多选题)已知α,β均为锐角,cos(α+β)=,tan αtan β=,则 (　 )
A.cos αcos β=
B.cos(α-β)=1
C.tan α+tan β=
D.cos αsin β=
13.[2026·汉中联考] 已知2sin=sin,则cos 2α的值为　　　　.
14.[2025·湖南长沙长郡中学月考] 已知A+B=,cos A+cos B=,则cos(A-B)的值为　　　　.
15.如图,已知点A(1,0),P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P(cos(α+β),sin(α+β)).
(1)证明:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;
(2)利用(1)中的结果证明cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],并计算cos 37.5°cos 37.5°的值.
16.[2025·广西南宁三模] 如图,正方形ABCD的边长为1,P,Q分别是边AB,DA上的点,那么当△APQ的周长为2时,∠PCQ= (　 )
A. B.
C. D.
17.(多选题)对于任意角α,β,下列结论正确的是 (　 )
A.(cos α+cos β)2+(sin α+sin β)2=2-2cos(α-β)
B.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β
C.sin α-sin β=2cossin
D.sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]
第24练　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
1.A　[解析] 因为角α的终边不在坐标轴上,所以sin α≠0,cos α≠0,
由sin α=3sin 2α=6sin αcos α,可得cos α=.故选A.
2.B　[解析] sin 47°sin 103°+sin 43°cos 77°=
cos 43°sin 77°+sin 43°cos 77°=sin(77°+43°)=sin 120°=.
3.C　[解析] 方法一:由题意知tan==2,解得tan θ=.故选C.
方法二:∵tan=2,∴tan θ=tan=
==,故选C.
4.B　[解析] 因为角α的终边经过点P,所以sin α=,cos α=,所以cos=coscos α-sinsin α=×-×=-.故选B.
5.D　[解析] 由题意知cos α=2cos2-1=2×-1=-,因为0<α<π,
所以sin α===,则sin=sin αcos-cos αsin=×-×=.故选D.
6.ABD　[解析] 对于选项A,cos 82°sin 52°-
sin 82°cos 52°=sin(52°-82°)=
sin(-30°)=-,故A正确;对于选项B,sin 15°sin 30°sin 75°=
sin 15°sin 30°cos 15°=sin230°=,故B正确;对于选项C,===,故C错误;对于选项D,tan 48°+tan 72°-tan 48°tan 72°=tan(48°+72°)(1-tan 48°tan 72°)
-tan 48°tan 72°=-+tan 48°tan 72°-tan 48°tan 72°=-,故D正确.故选ABD.
7.-　[解析] 由sin α-cos α=,得2=,故sin=,所以cos=sin=sin=-.
8.　[解析] 由题意可得(sin α-cos β)2=sin2α+cos2β-2sin αcos β=,(cos α+sin β)2
=cos2α+sin2β+2cos αsin β=,两式相加得,2+2cos αsin β-2sin αcos β=,故sin αcos β-
cos αsin β=,即sin(α-β)=.
9.解:(1)证明:方法一:由sin(α-β)=,sin(α+β)=,得2sin(α-β)=3sin(α+β),
即2sin αcos β-2cos αsin β=3sin αcos β+3cos αsin β,整理得sin αcos β=-5cos αsin β,
即tan α=-5tan β,故tan α+5tan β=0,得证.
方法二:由sin(α-β)=,sin(α+β)=,得sin αcos β-cos αsin β=,sin αcos β+cos αsin β=,
故sin αcos β=,cos αsin β=-,两式相除可得=-5,故tan α+5tan β=0,得证.
(2)因为tan(α-β)=,所以tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β),
所以===-=.
10.B　[解析] 因为α为锐角,所以<α+<,又cos=,所以sin==,故cos 2α=sin=sin 2=2sincos=2××=,故选B.
11.C　[解析] 由sin(α+β)=,得sin αcos β+cos αsin β=①.由tan α=,得=,
即sin αcos β=3cos αsin β②.由①②得cos αsin β=,sin αcos β=,
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-=.故选C.
12.BCD　[解析] 对于A,由tan αtan β==,得sin αsin β=
cos αcos β,则cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β=,故cos αcos β=,故A错误;对于B,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=cos αcos β=1,故B正确;对于C,因为cos(α+β)=,所以sin(α+β)=±,因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),故sin(α+β)=,故tan(α+β)=2=,所以tan α+tan β=2×(1-tan αtan β)=,故C正确;对于D,由cos(α-β)=1,得sin(α-β)=0,所以sin(α+β)-sin(α-β)=2cos αsin β=,故cos αsin β=,故D正确.故选BCD.
13.-　[解析] 由两角和与差的正弦公式得,sin=sin αcos+cos αsin=sin α·+
cos α·=(sin α+cos α),sin=sin αcos-cos αsin=sin α·-cos α·=(sin α-cos α),由题意得2×(sin α+cos α)=(sin α-cos α),得sin α+3cos α=0,故tan α==-3,
故cos 2α====-.
14.0　[解析] 不妨令A≥B,α≥0,设A=+α,因为A+B=,所以B=-α,A-B=2α,由cos A+
cos B=可得cos+cos=cos α-sin α+cos α+sin α=cos α=,故cos(A-B)=cos 2α=2cos2α-1=2×-1=0.
15.解:(1)证明:连接PA,P1P2,如图,易知|PA|=|P1P2|,
∴[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=(cos α-cos β)2+(sin α+sin β)2,
即2-2cos(α+β)=2-2cos αcos β+2sin αsin β,∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.
(2)由(1)知,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,
∴cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],故cos 37.5°cos 37.5°
=[cos(37.5°+37.5°)+cos(37.5°-37.5°)]=(cos 75°+1)=
(cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°)+=+.
16.B　[解析] 设AP=x,AQ=y,∠BCP=α,∠DCQ=β,则tan α=1-x,tan β=1-y,故tan(α+β)==.由△APQ的周长为2,得x+y+=2,变形可得xy=2(x+y)-2,故tan(α+β)==1,又0<α+β<,所以α+β=,故∠PCQ=-(α+β)=.故选B.
17.CD　[解析] 对于A,(cos α+cos β)2+(sin α+sin β)2=cos2α+2cos αcos β+cos2β+sin2α+
2sin αsin β+sin2β=2+2cos(α-β),故A错误;对于B,sin(α+β)sin(α-β)=(sin αcos β+
cos αsin β)(sin αcos β-cos αsin β)=
sin2αcos2β-cos2αsin2β,故B错误;对于C,sin α-sin β=sin-sin=
sincos+cossin-=
2cossin,故C正确;对于D,[sin(α+β)+sin(α-β)]=(sin αcos β+cos αsin β+
sin αcos β-cos αsin β)=sin αcos β,故D正确.故选CD.

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