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第26练　三角函数的图象与性质
1.函数y=sin,x∈的值域是(　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.(1,] B.[1,2]
C.[0,] D.[-,]
2.[2025·湖南邵阳三模] 函数f(x)=3tan在下列区间上单调递减的是(　 )
A. B.
C. D.(0,π)
3.若函数y=cos(ω>0)的图象的两个对称中心间的最小距离为,则ω等于(　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.[2025·陕西汉中二联] 当x∈[-2π,π]时,曲线y=sin x与y=cos x的交点个数为(　 )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.[2025·山东烟台三模] 若函数f(x)=sin(0<ω<2)图象的一个对称中心为,则ω的值为 (　 )
A. B. C.1 D.
6.(多选题)[2025·四川成都二诊] 已知函数f(x)=sin,则 (　 )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)在上单调递减
D.f(x)在(0,π)上有2个零点
7.函数y=lg sin x+的定义域为　　　　　　　　.
8.函数f(x)=3sin,φ∈(0,π)为偶函数,则φ的值为　　　　.
9.[2025·湖北部分高中协作体一模] 设函数f(x)=sin x+cos x(x∈R).
(1)求函数y=的最小正周期;
(2)求函数y=f(x)f在上的最大值.
10.[2026·安徽A10联盟调研] 若直线x=a(a<0)是函数y=图象的一条对称轴,则a的最大值为 (　 )
A.- B.-
C.- D.-
11.[2026·宁波一模] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若对任意的x∈R,f(x+π)=f(x)恒成立,且当x=时,f(x)取到最大值,则f的所有可能取值构成的集合为 (　 )
A.
B.
C.
D.
12.(多选题)[2025·河北邯郸一联] 已知直线y=与函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象的两个相邻交点为A,B,若|x1-x2|=,且y=f为奇函数,则 (　 )
A.ω=2
B.φ=
C.函数f为偶函数
D.函数f(x)在区间上单调递增
13.不等式cos2x+2sin x-1-m≤0在上有解,则实数m的取值范围是　　　　.
14.[2025·福建龙岩3月质检] 若函数f(x)=sin(ω>0,x∈R)的图象在[0,π]内有且仅有两条对称轴,则ω的取值范围是　　　　.
15.已知f(x)=sin ωx-cos ωx,ω>0.
(1)若函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为,求f的值;
(2)若函数f(x)的图象关于点对称,且函数f(x)在上单调,求ω的值.
16.(多选题)[2025·山东济南三模] 已知偶函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,下列说法正确的是 (　 )
A.f(x)在上单调递减
B.直线x=是曲线y=f(x)的一条对称轴
C.直线4x+y-π=0是曲线y=f(x)的一条切线
D.若函数g(x)=f(ax)(a>0)在(0,π)上恰有三个零点、三个极值点,则17.已知A,B,C为函数y=sin x和y=sin(x-t)(t≠kπ,k∈Z)图象的三个连续交点,若△ABC的面积为π,则t的值可以是(　 )
A. B. C. D.
第26练　三角函数的图象与性质
1.A　[解析] 当x∈时,x+∈,∴2.A　[解析] 令kπ-π<-2x+3.A　[解析] 因为函数y=cos(ω>0)的图象的两个对称中心间的最小距离为,所以该函数的最小正周期T满足=,则T=π,所以T==π,解得ω=1.故选A.
4.B　[解析] 画出曲线y=sin x(x∈[-2π,π])与曲线y=cos x(x∈[-2π,π]),如图所示,所以交点个数为3,故选B.
5.D　[解析] 因为函数f(x)=sin图象的一个对称中心为,所以ω+=kπ,k∈Z,解得ω=2k-,k∈Z,又因为0<ω<2,所以ω=.故选D.
6.ACD　[解析] 对于A,函数f(x)的最小正周期为=π,A正确;对于B,因为f=sin=0≠±1,所以f(x)的图象不关于直线x=对称,B错误;对于C,当x∈时,2x-∈,因为正弦函数在上单调递减,所以f(x)在上单调递减,C正确;对于D,当x∈(0,π)时,2x-∈,由f(x)=0,得2x-=0或2x-=π,解得x=或x=,即f(x)在(0,π)上有2个零点,D正确.故选ACD.
7.
[解析] 要使函数有意义,则有即即所以2kπ8.　[解析] 因为f(x)=3sin为偶函数,所以-+φ=kπ+,k∈Z,故φ=kπ+,k∈Z,因为φ∈(0,π),所以φ=.
9.解:(1)由辅助角公式得f(x)=sin x+cos x=sin,
则y===2sin2=1-cos=1-sin 2x,
所以该函数的最小正周期T==π.
(2)由题意得y=f(x)f=sin·sin x=2sinsin x=2sin x·=sin2x+sin xcos x=·+sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin+,
由x∈可得2x-∈,所以当2x-=,即x=时,该函数取得最大值1+.
10.A　[解析] 令3x-=(k∈Z),解得x=+(k∈Z).因为a<0,所以当k=-1时,a取得最大值-.故选A.
11.C　[解析] 因为对任意的x∈R,f(x+π)=f(x)恒成立,所以f(x)的一个周期为π,又f(x)的最小正周期T=,所以π=k·,k∈N*,则ω=2k,k∈N*.当x=时,f(x)取得最大值,则ω+φ=+2mπ,m∈Z,故f=sin=sin=cosω=cosk.又k∈N*,所以f的可能取值为,-,-1,1.故选C.
12.BC　[解析] y=sin x的图象和直线y=相邻交点间的距离是或.因为A,B为直线y=与函数f(x)的图象的两个相邻交点,所以|(ωx1+φ)-(ωx2+φ)|=或,所以ω|x1-x2|=或,又|x1-x2|=,所以ω=或ω=,又0<ω<3,所以ω=,选项A错误;由y=f=sin=sin为奇函数,得-+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,选项B正确;f(x)=sin,故f=sin=sin=cosx为偶函数,选项C正确;令-+2kπ13.　[解析] 由cos2x+2sin x-1-m≤0,得m≥cos2x+2sin x-1=1-sin2x+2sin x
-1=-sin2x+2sin x,故m≥-sin2x+2sin x在上有解.令sin x=t∈,则m≥-t2+2t=-(t-1)2+1在上有解.令y=-(t-1)2+1,t∈,则y=-(t-1)2+1在上单调递增,故当t=-时,y=-(t-1)2+1取得最小值,最小值为-+1=-+1=--,故m≥--,故实数m的取值范围是.
14.　[解析] 对于函数f(x)=sin(ω>0),令2ωx+=kπ+,k∈Z,得x=,k∈Z,当k=0时,x1==;当k=1时,x2==;当k=2时,x3==.因为f(x)的图象在[0,π]内有且仅有两条对称轴,所以解得≤ω<,所以ω的取值范围是.
15.解:(1)f(x)=sin ωx-cos ωx=2=2sin.设f(x)的最小正周期为T,因为函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为,所以T=,则T=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin,
所以f=2sin=2sin =2×=.
(2)由f(x)=2sin的图象关于点对称,得-=kπ,k∈Z,所以ω=3k+1,k∈Z.
由x∈,ω>0,得ωx-∈,
又函数f(x)在上单调,所以解得0<ω≤,
又ω=3k+1,k∈Z,所以ω=1.
16.ACD　[解析] 因为f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ),所以根据辅助角公式可得f(x)=sin.因为f(x)是偶函数,所以φ+=kπ+(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z),又因为|φ|<,所以k=0,φ=,故f(x)=sin=cos ωx.由f(x)的最小正周期T==π,可得ω=2,所以f(x)=cos 2x.对于选项A,当x∈时,2x∈(0,π),根据余弦函数的性质知y=cos t在(0,π)上单调递减,所以f(x)=cos 2x在上单调递减,A选项正确.对于选项B,因为f=cos=cos=0≠±,所以直线x=不是曲线y=f(x)的一条对称轴,B选项错误.对于选项C,对f(x)=cos 2x求导,可得f'(x)=-2sin 2x.直线4x+y-π=0,即y=-2x+的斜率为-2.令f'(x)=-2sin 2x=-2,得sin 2x=1,所以2x=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z).当x=kπ+(k∈Z)时,f=cos 2=cos=0.把x=kπ+(k∈Z)代入直线方程y=-2x+得y=-2+=-2kπ(k∈Z),当k=0时,直线4x+y-π=0与曲线y=f(x)有公共点,且曲线y=f(x)在该点处的切线斜率与直线4x+y-π=0的斜率相等,所以直线4x+y-π=0是曲线y=f(x)的一条切线,C选项正确.对于选项D,g(x)=f(ax)=cos 2ax(a>0),当x∈(0,π)时,2ax∈(0,2aπ).因为g(x)在(0,π)上恰有三个零点、三个极值点,所以根据余弦函数的图象、性质可知3π<2aπ≤,解得17.C　[解析] 方法一:由sin x=sin(x-t)(t≠kπ,k∈Z),得x+x-t=π+2kπ,k∈Z,所以x=++kπ,k∈Z.因为A,B,C为连续的三个交点,所以不妨设k=0,1,2,此时A,B,C,即A,B,C,所以|AC|=2π,点B到直线AC的距离h=,所以S△ABC=·|AC|·h=·2π·=2π·=π,所以cos=±,解得=±+kπ,k∈Z,所以t=±+2kπ,k∈Z,所以t=符合题意,故选C.
方法二:如图①所示,分析图象可知,|AC|=2π,且AC∥x轴,yA=-yB,点B到直线AC的距离为2|yA|,因为△ABC的面积为π,所以×2π×2|yA|=π,所以yA=±.当yA=时,如图②所示,y=sin(x-t)的图象可由y=sin x的图象向右平移-=(个)单位长度得到,故t=+2kπ,k∈Z;当yA=-时,如图③所示,y=sin(x-t)的图象可由y=sin x的图象向右平移-=(个)单位长度得到,故t=+2kπ,k∈Z.综上,t=+2kπ或t=+2kπ,k∈Z.所以t=符合题意,故选C.

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