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第29练　多三角形背景下解三角形
1.[2025·吉林长春二模] 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且c=b-acos C,内角A的平分线交BC于点D,BD=2DC.
(1)求角A的大小;
(2)若AC=3,求AD的长.
2.如图,平面四边形ABCD中,∠DAB=∠DCB=,AB=3,BC=2,S△ABC=且∠ABC为锐角.
(1)求DB的长;
(2)求△ACD的面积.
3.[2026·浙江名校协作体联考] 在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且满足=.
(1)求角A的大小;
(2)点D是边BC上一点,且满足AD2=bc,∠ADC=,求的值.
4.[2025·湖南怀化二模] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=.
(1)求B;
(2)若a=2,c=5,点D在边AC上,且BD平分∠ABC,求△ABD的面积.
5.[2026·武汉9月调研] 已知在△ABC中,tan A+tan B=,AB=5,AC=8.
(1)求角A的大小;
(2)求cos B;
(3)若点D在线段AB上,且满足∠BCD=,求CD的长.
6.[2026·青岛调研] 如图,在平面四边形ABCD中,AD=5,CD=3,∠ADC=.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=.
(1)求B;
(2)求△ABC的内切圆半径r的取值范围.
第29练　多三角形背景下解三角形
1.解:(1)由c=b-acos C和正弦定理,可得sin C=sin B-sin A·cos C,
因为sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
所以sin C=sin Acos C+sin Ccos A-sin Acos C,即sin C=sin C·cos A,
又sin C≠0,所以cos A=.
因为0(2)因为AD平分∠CAB,所以==2,所以AB=6.因为S△ABC=S△ABD+S△ACD,
所以AB·AC·sin=AB·AD·sin+AC·AD·sin,即3×6×=6·AD·+3·AD·,解得AD=2.
2.解:(1)∵S△ABC=AB·BC·sin∠ABC=,AB=3,BC=2,
∴sin∠ABC=,
又∠ABC为锐角,∴∠ABC=.
在△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=7,∴AC=.
∵∠DAB=∠DCB=,∴BD是四边形ABCD外接圆的直径,∴BD是△ABC外接圆的直径,利用正弦定理得BD==×=.
(2)由∠DAB=∠DCB=,BD=,AB=3,BC=2,可得AD=,CD=,又∠ABC=,
∴∠ADC=,因此S△ACD=AD·CD·sin∠ADC=×××=,即△ACD的面积为.
3.解:(1)因为=,所以由正弦定理可得=,所以2sin C-sin B=2sin Acos B,又sin C=sin(A+B),所以2sin(A+B)-sin B=2sin Acos B,化简得2cos Asin B=sin B,又B∈(0,π),即sin B≠0,所以cos A=.因为A∈(0,π),所以A=.
(2)因为∠ADC=,所以∠ADB=.在△ADC中,由正弦定理可得=,在△ADB中,由正弦定理可得=,所以==,
又AD2=bc,所以sin Bsin C=,又sin C=sin(A+B),所以sin Bsin=,即sin B=,所以sin 2B+=1,
所以sin=.因为B∈,所以2B-∈,所以2B-=或2B-=,解得B=或B=.当B=时,C=,所以==;当B=时,C=,所以==2.
综上,的值为或2.
4.解:(1)由=,得2bcos C=2a+c.
方法一:由正弦定理得2sin Bcos C=2sin A+sin C,因为A+B+C=π,所以A=π-(B+C),
所以2sin Bcos C=2sin(B+C)+sin C,于是2cos Bsin C+sin C=0,又sin C≠0,所以cos B=-,又0方法二:由余弦定理得2b·=2a+c,化简得a2+c2-b2=-ac,
由余弦定理得cos B===-,又B∈(0,π),所以B=.
(2)由BD平分∠ABC,得∠ABD=∠CBD=.
方法一:=
===,又S△ABC=S△ABD+S△CBD,
所以S△ABD=S△ABC=×
acsin∠ABC=××2×5×=.
方法二:由S△ABC=S△ABD+S△CBD,得AB·BC·sin∠ABC=AB·BD·sin∠ABD+BC·BD·sin∠CBD,即×5×2×=×5×BD×+×2×BD×,解得BD=,
所以S△ABD=AB·BD·sin∠ABD=×5××=.
5.解:(1)因为tan A+tan B=,所以+=,
即=,
即=2sin C,
又sin(A+B)=sin C>0,
所以cos A=,
又A∈(0,π),所以A=.
(2)因为AB=5,AC=8,
所以由余弦定理可得BC==
=7,再由余弦定理可得cos B===.
(3)由(2)可得cos B=,
所以sin B==.
在△BCD中,因为∠BCD=,
所以sin∠BDC=sin=sincos B+cossin B=×+×=,
由正弦定理可得=,即=,解得CD=.
6.解:(1)由=,结合正弦定理得=,
整理得a2-b2=ac-c2,所以由余弦定理得cos B==,
又0(2)在△ACD中,AD=5,CD=3,∠ADC=,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos=49,所以b=AC=7,所以结合(1)得a2+c2-ac=b2=49,即(a+c)2=49+3ac,得ac=.
在△ABC中,由S△ABC=acsin B=(a+b+c)·r,得r===(a+c-7).
由正弦定理得====,所以a=sin A,c=sin C,又B=,
所以a+c=(sin A+sin C)==
==
14=14sin.
因为A∈,所以A+∈,则sin∈,所以a+c=14sin∈(7,14],所以r=(a+c-7)∈,即r的取值范围是.

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