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北京航空航天大学实验学校中学部2025-2026学年第二学期高一期中练习数学试题
一、单项选择题：本大题共14小题，共70分。
1.与角终边相同的一个角是（ ）
A. B. C. D.
2.函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
3.下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为奇函数；③最小正周期为π的函数是（　　）
A. y=tan2x B. y=cos2x C. y=sinx D. y=sin2x
4.若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知为所在平面内一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
6.对函数的图像分别作以下变换：
①向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)；
②向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)
③将每个点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位
④将每个点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位
其中能得到函数的图像的是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
7.已知，则“存在使得”是“”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点P0）开始计时，经过t秒钟后点P距离水面的高度为h米，则下列结论正确的是（　　）
A. h关于t的函数解析式为
B. 点P第一次到达最高点需用时10秒
C. 从计时开始P再次接触水面需用时15秒
D. 当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米
10.已知函数，关于函数的性质给出下面三个判断：
①函数是周期函数，最小正周期为；
②函数的值域为；
③函数在区间上单调递增.
其中判断正确的个数是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
11.函数（）的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
12.若函数与函数都在区间上单调递增，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
13.已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
14.已知函数.若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
15.已知角的终边过点，则 ．
16.已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； ．
17.已知，，则 ．
18.已知函数的最小正周期为，且函数为偶函数，则 ．
19.已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是 .
①在区间上有且仅有个不同的零点；
②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；
④在区间上单调递增.
20.已知函数满足，，则函数在上的零点个数为 ．
21.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则 ， ．
22.若方程在上的根从小到大依次为，则 ．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题10分)
已知平面向量，其中，且与的夹角为．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若向量与互相垂直，求实数．
24.(本小题10分)
已知．
(1)化简，并求；
(2)若，求的值；
(3)若，求函数的最大值．
25.(本小题14分)
某同学用“五点法”画函数在某一个周期的图像时，列表并填入了部分数据，如表：
0
① ② ③ ④ ⑤
0 2 0 0
请选择下面三个条件之一，完成作答．
条件一：①，②； 条件二：①，③； 条件三：④，⑤
(1)请直接写出函数的解析式和最小正周期；
(2)求函数的增区间以及对称中心；
(3)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
26.(本小题14分)
已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质．
(1)判断函数是否具有性质；（请写出判断过程）
(2)已知函数具有性质，且在区间上有且仅有2个零点．求的取值范围；
(3)设函数具有性质，且在区间上的值域为．函数，满足，且在区间上有且只有一个零点．求证：．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】C
12.【答案】A
13.【答案】C
14.【答案】D
15.【答案】
16.【答案】0 ；
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】②③
20.【答案】5
21.【答案】 ； ； ； ； ；
22.【答案】
23.【答案】解：（1）因为，且与的夹角为，所以.
所以，即的值为.
（2）因为，
所以.
（3）因为向量与互相垂直，所以，
，所以，即，
解得，因此.

24.【答案】解：（1），
．
（2），
代入得．
（3）由（1）知，
则，
令，，由（1）知，，故，且，
，
，二次函数开口向下，对称轴为，
当时，取最大值，最大值为．

25.【答案】解：（1）根据表格知：，
选择条件一时：，所以，
，可知，结合，所以，
选择条件二时：，所以，
，可知，结合，所以，
选择条件三时：，所以，
，可知，结合，所以，
所以函数的解析式为：，最小正周期为；
（2）令，解得，
令，解得，
所以函数的增区间为，对称中心为；
（3）当时，，
则，所以．
由可得，，
的最大值为，的最小值为7，
则的取值范围是．

26.【答案】解：（1）因为，则，又，
所以，故函数不具有性质；
因为，则，又，
所以，故具有性质．
（2）因为函数具有性质，所以，即，
因为，所以，所以；
若，不妨设，由，
得（*），
只要充分大时，将大于1，而的值域为，
故等式（*）不可能成立，所以必有成立，即，
因为，所以，所以，则，
此时，则，
而，即有成立，符合题意，
又在区间上有且仅有2个零点.，所以，所以，
所以的取值范围为．
（3）由函数具有性质及（2）可知，
由可知函数是以为周期的周期函数，则，
即，所以；
由，以及题设可知，函数在上的值域为，
所以且；
当，及时，均有，
这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或；
当时，，函数在的值域为，
此时函数的值域为，
而，于是函数在的值域为，
此时函数的值域为，
函数在当时和时的取值范围不同，
与函数是以为周期的周期函数矛盾，故，
即，命题得证．

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