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河南洛阳市2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.一质点的位移与时间之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
2.二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和等于（ ）
A. B. C. D.
3.函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.将《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》四本书分给甲、乙、丙三位同学，每人至少1本，且《水浒传》必须分给甲同学，则不同的分配方法有（）
A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种
5.设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6.在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. B. C. D.
7.已知共七个人站成一排，要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为（）
A. 2640 B. 2160 C. 3600 D. 2880
8.在数列中，，若函数，的导数为，则（ ）
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的单调递减区间为
B. 函数有极小值
C. 曲线在处的切线方程为
D. 函数恰有两个零点
10.在直三棱柱中，下列说法正确的是（ ）
A. 以三棱柱的顶点为顶点的三棱锥有12个
B. 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条
C. 过三棱柱任意两个顶点的直线中，异面直线有39对
D. 给6个顶点各涂一种颜色，要求图中同一条线段的两个端点的颜色不同，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有264种
11.已知函数，则（ ）
A. 当时，函数恰有2个极值点
B. 当时，函数恰有2个零点
C. 当时，函数恰有2个单调区间
D. 当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若的展开式中的系数为20，则的最小值为 .
13.某出版社的8名工人中，有3人只会排版，3人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从8人中选3人排版，3人印刷，有 种不同的选法．（用数字作答）
14.已知定义在上的函数的导数为，若对任意的满足，且，则不等式的解集是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数在处取得极大值16．
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值．
16.(本小题15分)
已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
17.(本小题15分)
已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
18.(本小题17分)
某科技展览会上，展示了编号为1至9的9种型号的无人机，学校为鼓励学生参与创新，购买了每种型号的无人机各1架供学生实验操作．
(1)甲、乙两同学从9架无人机中各选一架，且这两架无人机编号的数字之和为偶数，两个同学共有多少种不同的选择？
(2)学校将买回的9架无人机全部都分给高一年级，高二年级，高三年级进行实验，每个年级至少一架．
①若平均分给三个年级，一共有多少种分配方法？
②若每个年级至少2架，且恰有两个年级分得的数量相同，一共有多少种分配方法？
③若三个年级分得的数量各不相同，一共有多少种分配方法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）
19.(本小题17分)
已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数有三个零点，求实数的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】4
13.【答案】37
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由，得．
因为在处取得极大值16，
所以，解得,
此时，时或，
所以，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，在处取得极大值16，
所以．
（2）由（1）可知，当时，函数的单调性如下：
当时，单调递减；
当时，单调递增；
又因为．
所以在[1,3]上的最大值为，最小值为.

16.【答案】解：（1）解：由，
令，可得，
令，可得，
所以.
（2）解：由，
所以.
（3）解：由，
可得展开式中的系数为，
所以都大于零，而都小于零，
则，
令，可得
，
所以．

17.【答案】解：（1）解：当时，函数，
则，
令，即，解得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以的极小值为，无极大值．
（2）解：由恒成立，即，即，令，
则，
令，则，所以是增函数，且，
当时，，所以，
当时，，从而，
即在上单调递增，在上单调递减，所以．
所以，即实数的取值范围为．

18.【答案】解：（1）编号1至9中，奇数编号有1，3，5，7，9，共5个；偶数编号有2，4，6，8，共4个．
因为两架无人机编号的数字之和为偶数，所以两架无人机编号同为奇数或同为偶数．又甲、乙两名同学有身份区分，甲选某架、乙选某架与甲乙互换选择是不同的选择，因此用排列数计数．
若两架无人机编号同为奇数，则不同选择有种；若两架无人机编号同为偶数，则不同选择有种．
根据分类加法计数原理，共有种不同的选择．
（2）①若平均分给三个年级，则每个年级各得3架．
先从9架中选3架给高一年级，有种方法；再从剩下6架中选3架给高二年级，有种方法；最后剩下3架给高三年级，有种方法．
根据分步乘法计数原理，共有种分配方法．
②因为每个年级至少2架，且恰有两个年级分得的数量相同，而总数为9，所以三个年级分得的数量只能为2，2，5．
先确定哪个年级分得5架，有种方法；再从9架中选5架给这个年级，有种方法；剩下4架中选2架给另外一个确定的年级，有种方法；最后2架给剩下的年级，有种方法．
根据分步乘法计数原理，共有种分配方法．
③因为三个年级分得的数量各不相同，且每个年级至少1架，三个正整数和为9，所以不计顺序时，数量只能为1，2，6，或1，3，5，或2，3，4．
若三个年级分得的数量为1，2，6，则先把1，2，6这三个数量安排给高一、高二、高三三个年级，有种方法；再从9架中选1架给分得1架的年级，有种方法；从剩下8架中选2架给分得2架的年级，有种方法；最后剩下6架给分得6架的年级，有种方法．所以此时有种分配方法．
若三个年级分得的数量为1，3，5，同理，此时有种分配方法．
若三个年级分得的数量为2，3，4，同理，此时有种分配方法．
根据分类加法计数原理，三个年级分得的数量各不相同时，共有种分配方法．

19.【答案】解：（1）解：由题意知，
故，又，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）解：由题意知函数的定义域为，
．
①当时，，
当，即的递增区间为；
当，即的递减区间为，
②当时，由得，
当,即时，在上恒成立，即的递减区间为．
当，即时，或时，，即的递减区间为；
时，，即的递增区间为．
当，即时，或时，，即的递减区间为，
时，，即的递增区间为．
综上，当时，的递减区间为，递增区间为．
当时，的递减区间为，递增区间为．
当时，的递减区间为，无递增区间．
当时，的递减区间为，递增区间为．
（3）解：由题易知,
由（2）知，当或时，函数的零点个数不超过2，不符合题意．
又当时，易得若，则，若，则，
若函数有三个零点，则满足，即，
因为得，（舍），
得，且，
所以的解集为，
所以实数的取值范围是．

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