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(在此卷上答题无效)
2025-2026学年第二学期福清市高二年级期中适应性练习
数学学科
(完卷时间：120分钟；满分：150分)
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1.某水管的流水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)满足函数关系式
梁等指公静有
y=f(t),则f'(2)的实际意义是
A.2秒时水管的流水量
B.2秒内水管的流水总量
数：
C.2秒时水管流水量的瞬时变化率
箱+Xò0女.=x}
D.2秒内水管的流水量的平均变化率
2.
某商场有5台不同型号的激光导航款和6台不同型号的视觉导航款扫地机
器人.从中购买1台，不同选法的种数为
过单消级
A.11B30零不C.5(x=D.6
3.
函数f(x)=1+2在区间[1,2]上的平均变化率为
A.-2
B.-1
D.2
2
4.某算力租赁平台有6种不同型号的AI加速卡，每种仅1张可供租赁.甲、
乙、丙3家公司同时从中各租用1张AI加速卡，每张卡只能租给一家公司，
则不同租赁方案的种数为
A.9
B.15
C.18
D.120
高二数学一1一
（共4页)
5.若函数f(x)在x=x处可导，则im
f(xo+2Ax)-f(xo)_
A￥0
△x
A.2f(3)B.f(x）
C.2f'(x)
D.3f'(x)
6.
如图是函数y=f(x)的部分图象，记f(x)的导函
数为f”(x),则下列选项中值最大的是山合
A.f(a)家）济B.f(c)目馆品合不量
b
C.f'(a)
p.()
7.
已知函数f()元aL+nx对+中在x=1处取得极值为2，则f(因)在[L, 的最
大值为
长静大量增容余颜京·
A.4
B.2+1
C.2
D.2-1
致面朋凝宅文出血答靴。代下、共，醒小飞共醒么、：弦，四
8.
已知a=ln2,b=
2ln3
,c-2,则
的
3
e
A.b>c>a
B.c>a>b
C.b>a>c
D.c>b>a
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得
0分。
人个人《
9.已知m≤n且m,neN',则
A.Cm=Cn-m
B.C=C+Cm
C.A=(n+1)n!
D.
Am mA-
的展开式中，下列结论正确的是
A,展开式共7项
B.展开式无常数项
C.含x项的系数为-560
D.展开式中有理项共4项
高二数学一2一
(共4页)（在此卷上答题无效）
2025-2026 学年第二学期福清市高二年级期中适应性练习
数学学科适应性练习参考答案
（完卷时间：120 分钟；满分：150 分）
友情提示:请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. C 7. B 8. D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得
0 分。
9. ABC 10. BD 11. BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 56 13. 8 14. 16
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
15. （13 分）
甲、乙、丙、丁、戊五个同学排队.
（1）这五个同学排成一排，甲、乙不相邻，共有多少种不同排列方法？
（2）这五个同学排成两排，第一排 2 个人，第二排3个人，共有多少种不
同的排列方法？
【解析】解法一：（1）甲、乙、丙、丁、戊五个同学排成一排，且甲、乙不
相邻，可分两步进行：
3
第一步，先排丙、丁、戊，有 A3种不同的排法； ························ 3 分
第二步，在丙、丁、戊周围的四个空隙中插入甲、乙，
高二数学 —1— （共7 页）
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2
有A4 种不同的排法； ···························································· 5 分
3 2
由分步计数原理，共有不同排法数为 A3A4 = 72 .
（本小题若学生仅列式（1 分），并计算正确（1 分），仅得 2 分） ········ 7 分
（2）甲、乙、丙、丁、戊五个同学排成两排可分两步进行：
2
第一步，第一排 2 个人，有 A5 种不同的排法； ··························· 9 分
3
第二步，第二排 3 个人，有 A3种不同的排法； ·························· 11 分
2 3
由分步计数原理，共有不同排法数为 A5A3 =120.
（本小题若学生仅列式（1 分），并计算正确（1 分），仅得 2 分） ······· 13 分
解法二：（1）略，同解法一； ······················································· 7 分
5
（2）甲、乙、丙、丁、戊五个同学排成一排有A5种不同的排法； ······· 9 分
把每种排列中的前两个放第一排，余下放第二排， ····················· 11 分
5
故共有不同排法数为 A5 =120. ················································ 13 分
16. （15 分）
求下列函数的导数.
（1） y = xex x2 ； （2） y = x +1+ cos 2x .
【解析】（1）因为 y = xex x2 ，所以 y = ex + xex 2x . ······················· 7 分
1
（2）因为 y = x +1+ cos 2x ，所以 y = (x +1)2 + cos 2x，
1 1 1 1
所以 y = (x +1) 2 + ( sin 2x) 2 = (x +1) 2 2sin 2x . ················· 15 分
2 2
17. （15 分）
n
2
在 x + 的展开式中，______．给出下列条件：
x
①所有项的二项式系数和为 64 ；
②各项系数之和为 729；
③第 3项的二项式系数为15．
高二数学 —2— （共7 页）
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试从这三个条件中任．选．一．个．，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中系数最大的项.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）若选①，易知 2n = 64， ············································· 2 分
则 n = 6， ··········································································· 3 分
6
2 r 6 r 2 r r r 6 2r
此时 x + 的展开式的通项公式为Tr+1 = C6x ( ) = C6 2 x ， ·· 5 分
x x
令6 2r = 0得 r = 3， ···························································· 6 分
3 3
故常数项为C6 2 =160. ························································· 7 分
n
若选②，令 x =1，则 (1+ 2) = 3n = 729， ········································ 2 分
则 n = 6， ··········································································· 3 分
6
2 r 6 r 2 r r r 6 2r
此时 x + 的展开式的通项公式为Tr+1 = C6x ( ) = C6 2 x ， ·· 5 分
x x
令6 2r = 0得 r = 3， ···························································· 6 分
3 3
故常数项为C6 2 =160. ························································· 7 分
2 n (n 1)
若选③，易知Cn =15，所以 =15， ······································ 2 分
2
解得 n = 6， ········································································ 3 分
6
2 r 6 r 2 r r r 6 2r
此时 x + 的展开式的通项公式为Tr+1 = C6x ( ) = C6 2 x ， ·· 5 分
x x
令6 2r = 0得 r = 3， ···························································· 6 分
C3 3故常数项为 6 2 =160. ························································· 7 分
r r 6 2r
（2）由（1）知展开式的通项为Tr+1 = C6 2 x ，
T = C0 20 x6 6由于 1 6 = x ， ·························································· 8 分
T2 = C
1
6 2x
4 =12x4， ······························································· 9 分
高二数学 —3— （共7 页）
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T = C2 22 23 6 x = 60x
2
， ···························································· 10 分
T4 = C
3
6 2
3 =160， ································································ 11 分
240
T 4 4 25 = C6 2 x = ， ···························································· 12
x2
分
T = C5 25 x 4
192
6 6 = ， ···························································· 134 分 x
64
T7 = C
6 26 x 66 = ， ····························································· 14 分
x6
240
故展开式中系数最大的项为第 5 项，T5 = 2 ． ························ 15 分 x
18. （17 分）
已知函数 f (x) = x3 + ax2 6x+3的图象在点 (2, f (2))处的切线斜率为12 .
（1）求实数 a 的值；
（2）求 f (x)的单调区间；
（3）若函数 g (x) = f (x) t 恰有两个零点，求实数 t的取值集合.
3 2
【解析】（1）因为 f (x) = x + ax 6x+3，
所以 f (x) = 3x2 + 2ax 6， ····················································· 2 分
依题意，得 f (2) =12+ 4a 6 = 4a+6 =12， ······························· 4 分
3
解得 a = .··········································································· 5 分
2
3
（2）由（1）知， f (x) = x3 + x2 6x +3，
2
所以 f (x) = 3x2 +3x 6 = 3(x+ 2)(x 1)， ·································· 6 分
高二数学 —4— （共7 页）
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令 f (x) 0得 x 2或 x 1； ················································· 7 分
令 f (x) 0得 2 x 1； ······················································· 8 分
所以 f (x)的单调递增区间为 ( , 2)， (1,+ )，
（此处学生若用并集，或来连接两个区间，则此 1 分扣掉） ·········· 9 分
单调递减区间为 ( 2,1) . ························································ 10 分
（3）函数 g (x) = f (x) t 恰有两个零点，
等价于关于 x 的方程 f (x) = t 恰有两个实根，
等价于 y = f (x)的图象与直线 y = t恰有两个交点. ····················· 11 分
由（2）知， f (x)在 ( , 2)， (1,+ )上单调递增，在 ( 2,1)上单调递减.
当 x →+ 时， f (x)→+ ；当 x → 时， f (x)→ ， ············ 13 分
依题意，得 f ( 2) = t 或 f (1) = t， ··········································· 14 分
3 3 2 3
所以 ( 2) + ( 2) 6 ( 2)+3 = t或1+ 6+3 = t ，
2 2
1
解得 t =13或 t = ， ··························································· 16 分
2
1
所以 g ( x)恰有两个零点，实数 t的取值集合为 13, . ··············· 17 分
2
19. （17 分）
已知函数 f (x) = ln x .
1
（1）求 g (x) = f (x)+ 的最小值；
x
（2）当 x 1时， (x+1) f (x) a (x 1)，求 a 的取值范围；
高二数学 —5— （共7 页）
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1 1 1 1
（3）证明： + + + ln(n+1)（ n N* ）.
3 5 2n+1 2
1 1 1 x 1
【解析】（1） g (x) = ln x + ， g (x) = = ， ······················· 1 分
x x x2 x2
当 x 1时， g (x) 0，所以 g ( x)在 1,+ )内单调递增， ·············· 2 分
当0 x 1时， g (x) 0，所以 g ( x)在 (0,1 内单调递减， ············ 3 分
故 g ( x)在 x =1处取得最小值，最小值为 g (1) =1. ························· 4 分
（2）当 x 1时， (x+1) f (x) a (x 1)，即 (x+1) ln x a (x 1) 0，
x +1
令 p (x) = (x+1) ln x a (x 1)， p (x) = ln x + a， ·················· 5 分
x
由（1）得 p (x) = g (x)+1 a 2 a . ········································ 6 分
若 a 2时，即 2 a 0时，由于 p (x) 0（当且仅当 a = 2时取等号），
得 p ( x)在 1,+ )单调递增，得 p (x) p (1) = 0.···························· 8 分
若 a 2时，即 2 a 0时，由 p (1) = 2 a 0，
从而存在区间 1, )，使得 p (x) 0，
得 p ( x)在区间 1, )内单调递减，结合 p (1) = 0，
可得在区间 (1, )内， p (x) p (1) = 0，与条件矛盾. ·················· 10 分
综上， a的取值范围为 ( , 2 . ··············································· 11 分
说明：本小题若学生采用参数分离法，先说明 x =1时
(x+1) f (x) a (x 1)恒成立（5 分），
(x +1) ln x
再得到 a （ x 1）（6 分），
x 1
高二数学 —6— （共7 页）
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(x +1) ln x
再证明函数 y = 在 (1,+ )上单调递增（9 分），
x 1
(x +1) ln x
最后用洛必达法则求出 在 x →1的极限为 2 （10 分），
x 1
最后得到 a 的取值范围为 ( , 2 （11 分）.
（3）由（2）得当 x 1时， (x+1) ln x 2(x 1)，
2(x 1)
即 ln x ，当且仅当 x =1时等号成立. ··························· 13 分
x +1
n +1
2 1
n+1
令 x = （ n N*
n +1 n 2
），可得 ln = ， ··········· 15 分
n n n +1 2n +1
+1
n
2 3 2 n +1 2
从而 ln 2 ， ln ， ， ln ， ························· 16 分
3 2 5 n 2n +1
将上述 n个不等式左右分别相加，可得
2 2 2 3 n+1
+ + + ln 2+ ln + + ln = ln(n+1)，
3 5 2n+1 2 n
1 1 1 1
即 + + + ln(n+1)（ n N* ）. ······························ 17 分
3 5 2n+1 2
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