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广东深圳市北京师范大学南山附属学校初中部2025-2026学年第二学期期中学业质量监测九年级数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．单选题
1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．2026的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
3．宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ）
A．千克 B．千克
C．千克 D．千克
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
6．小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有4根木棒供他选择，其长度分别为，小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．1
7．某型号手机原来每部售价为2899元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为2349元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ）

A．2 B． C．4 D．
二．填空题
1．若分式有意义，则的取值范围是_______．
2．《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是___________．
3．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是___________m．
4．将一块含角的三角板按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点在轴上．反比例函数的图象恰好经过点，且，若，则的值为_____．
5．如图，一张矩形纸片中，（m为常数）．将矩形纸片沿折叠，使点A落在边上的点H处，点D的对应点为点M，与交于点P．当点H落在的中点时，且，则_____．
三．解答题
1．计算：．
2．观察下面习题的解答过程．
题目：先化简，再求值：，其中解：原式 ．
(1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程；
(2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值．
3．根据以下调查报告解决问题：
调查主题 本校九年级学生运动健康情况调查
背景介绍 某学习小组为了解本校九年级学生的运动健康状况，随机选取了该年级部分学生进行每周运动时长数据收集．
调查结果
调查学生的每周运动时长频数分布表
每周运动时长 频数
6
12
17
26
24
10
5
合计 100
建议：…
（说明：以上仅展示部分报告内容）
(1)本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”），如果想要直观展示不同运动时长区间的学生人数占调查总人数的百分比，选择制作________最合适（填写“条形统计图”、“扇形统计图”或“折线统计图”）；
(2)若每周运动时长4－5小时被认为是运动较为合理的区间，该区间的数据为：，这组数据的众数是________，中位数是________；
(3)若每周运动时长小于3小时被认为运动不足，该年级共有学生500人，估计该年级运动不足的学生人数；
(4)请结合上述数据，分析该年级学生的运动情况，并为提高学生运动水平，促进学生健康发展提出一条合理的建议．
4．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元．
(1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
(2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？
5．在学习完《直线与圆的位置关系》后，某位老师布置一道作图题如下：
已知：如图，及外一点．
求作：直线，使与相切于点．
小悦同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）：
连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点（点，分别位于直线的上下两侧）；
作直线交于点；
以点为圆心，为半径作，交于点点（位于直线的上侧）；
作直线，交于点，则直线即为所求作直线．
请根据小悦同学作图方法，解答下面问题：
(1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)结合作图，请说明是切线；
(3)若半径为，，求的长．
6．对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y的取值范围为，且满足，则称此函数为“拉伸函数”．
例如：正比例函数，当时，，则，解得，所以函数为“拉伸函数”．
(1)①一次函数为“拉伸函数”，则k的值为________；
②若一次函数为“拉伸函数”，则c的值为________．
(2)反比例函数，且是“拉伸函数”，且，请求出的值；
(3)已知二次函数，当时，是“拉伸函数”，求k的取值范围．
7．【定义】平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”．
(1)【初步感知】如图1，四边形为矩形，为其“中直三角形”，其中，若，求的长；小轩同学由题目中所给三个“垂直”的条件，发现，从而轻松解决了这个问题；小君同学提出了不同的解决方法，她由题目中所给“中点”这个条件联想到“倍长中线”解决了这个问题，请你参考这两个同学的方法解决这个问题．你得出__________；
(2)【深入探究】如图2，为平行四边形的“中直三角形”，其中，连接交于点，，，求的长；
(3)【拓展延伸】在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，，其中，请直接写出的值．
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广东深圳市北京师范大学南山附属学校初中部2025-2026学年第二学期期中学业质量监测九年级数学试卷
参考答案：
一．单选题
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：的相反数是符号相反的．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：用科学记数法表示一粒粟的重量约为千克．
故选：C．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A.，则A不符合题意；
B.，则B不符合题意；
C.，则C符合题意；
D.，不是同类项，无法合并，则D不符合题意；
故选：C．
5．【答案】A
【解析】【解答】解：根据上述基本作图，可得，
故可得判定三角形全等的依据是边边边，
故选A.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：设第三根木棒的长度为，
由三角形的三边关系得：，
即，
所以符合条件的为，共2根．
所以恰好能够组成一个三角形的概率为．
故选B．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意得，
故选：C．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接交于点O，连接，连接交于点．

∵四边形是正方形，
∴A、C关于对称，
∴，
∴，
∵当M、N、C共线时，的值最小，
∴y的值最小就是的长，
∴，
设正方形的边长为，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴（负值已舍），
∴正方形的边长为4．
故选：C．
二．填空题
1．【答案】
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
2．【答案】
【解析】【解答】解：∵点为的黄金分割点，
∴，，
∴，
整理得，，
∴，
∴（不符合题意，舍去），，
故答案为： ．
3．【答案】
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
在中，
，且 ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：．
4．【答案】/
【解析】【解答】解：过点A作轴于点E， 过点D作轴于点F，如图，
∵，，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
故答案为
5．【答案】/
【解析】【解答】解：∵，
设，则，
∴点是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴
由折叠得，
∴
∴
∴，
∴，
即，
∴①，
∵，，，
∴，
在中，，
∴②，
解得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
三．解答题
1．【答案】4
【解析】【解答】解：
2．【答案】(1)①，加括号时，括号内的第二项没有变号；正确的解答过程见解析；
(2)
【解析】【解答】（1）解：由题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号，
故答案为：，加括号时，括号内的第二项没有变号；
正确的解答过程如下所示：
；
（2）解：当时，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
即若代入求值后的计算结果为，题目中被墨水遮住的的值为．
3．【答案】(1)抽样调查，扇形统计图；
(2)4.5，4.45；
(3)175人；
(4)见解析．
【解析】【解答】（1）解：∵随机选取了该年级部分学生进行每周运动时长数据收集，
∴本次调查活动采用的调查方式是抽样调查，如果想要直观展示不同运动时长区间的学生人数占调查总人数的百分比，选择制作扇形统计图最合适；
故答案为：抽样调查 扇形统计图
（2），
这10个数据重新排序后为：
其中出现的次数最多，
故众数为：；
第五和第六位数据分别为：，
∴中位数为：，
故答案为：4.5，4.45；
（3）（人）
答：该年级运动不足的学生人数约175人．
（4）从这些数据可以看出，大部分学生都有一定的运动量，但也有相当一部分学生每周运动时长不足2小时，建议针对那些运动时长较少的学生，鼓励他们尝试新的运动项目，找到自己喜欢的运动形式，从而增加他们的运动时间和频率（答案不唯一，言之有理即可）．
4．【答案】(1)甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元
(2)购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大
【解析】【解答】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元．
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台．
依题意，得解得．
设6台机器人每天服务客人的人数为w，
则．
，
随m的增大而增大，
当时，w取得最大值，此时，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大．
5．【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【解析】【解答】（1）解：如图所示；
，
（2）解：理由：连接，

由作图知，是的直径，
∴，
∵是的半径，
∴是切线；
（3）解：连接，由（）知，，

∵，，
∴，
由作图知，直线是的垂直平分线，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．【答案】(1)①2；②3或
(2)2026
(3)
【解析】【解答】（1）根据定义：，其中是的最大值，是的最小值．
① ∵，随增大而增大，
∴ 当时，y取最小值；当时，y取最大值；
∴，，，
代入定义得：，解得．
② ∵，，
∴，
分两种情况：
当时，递增，，解得；
当时，递减，，得；
因此．
（2）∵反比例函数（，）
∴在时，反比例函数随x的增大而减小，
∴最大值，最小值，
∴，
∴，
∴．
∵函数是“拉伸函数”，即，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（3）二次函数，开口向下，对称轴为， ，
∴ ，
分情况讨论：
当时，对称轴在的左侧，在内函数y随x的增大而减小，
∴，
∴，
又∵，
∴；
当时，对称轴在内，最大值在顶点处，，
若，最小值在，得，范围为；
若，最小值在，得 ，范围为；
∴时，；
当时，对称轴在右侧，在内函数y随x的增大而增大，
∴，
∴，
又∵，∴．
综上，合并所有情况得．
7．【答案】(1)
(2)
(3)或
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴．
∵为其“中直三角形”，
∴分别为的中点，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
∴；
（2）解：如图所示，延长、交于点，延长、交于点，
∵为平行四边形的“中直三角形”，
∴
∴，
∴，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得．
∵，
∴，即；
（3）解：①如图所示，为平行四边形的中直三角形，作，交的延长线于点，作于，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如图所示，作，交的延长线于点，作于，
设，
由①得，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴；
综上所述，或．
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