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24.4 数据的分组
1.经历数据分组的活动，了解组内离差平方和与组间离差平方和的概念.
2.能够按照组内离差平方和最小的分组原则对数据进行分组，解决实际问题.
为增强身体素质，学校组织同学们在课间进行跳绳，6名同学的训练成绩(每分钟的跳绳次数)按从小到大的顺序排列如下：
162，165，169，172，173，176
为高效提升这6名同学的成绩，体育老师想根据成绩的高低把这些同学分成两组，你能提出合理的建议吗？
第一组 第二组
162 165,169,172,173,176
162,165 169,172,173,176
162,165,169 172,173,176
162,165,169,172 173,176
162,165,169,172,173 176
想一想：把哪些同学分到一组才能体现老师的要求呢？
问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试. 将 10 名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下：
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
你认为哪一部分应聘者应当进入面试？
上面的问题可以理解为把这10名应聘者的笔试成绩分成好和差两组，则共有____种分组方法．
9
在前面的学习中，我们知道，离差平方和可以刻画一组数据的离散程度. 下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组.
思考1：怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？
思考2：在前面的学习中，我们学习了离差平方和，了解到可以刻画一组数据的离散程度，结合上面的问题，你有什么想法？
一般地，设有 n 个数据 x1，x2，…，xn，其平均数记为 x，则离差平方和为
=(x1- x)2+(x2- x)2+…+(xn- x)2
如果把这组数据分为两组，前 m(m < n)个数据为一组，后(n－m)个数据为一组. 那么这n个数据的离差平方和可以分解为两类离差平方和：
它们的平均数分别记为 x1和 x2，离差平方和分别为
一类反映两个组内数据的离散程度
另一类反映两组数据之间的差异程度
=(x1- x1)2 +(x2- x1)2+…+(xm- x1)2
=(xm+1- x2)2+(xm+2- x2)2+…+(xn- x2)2
=(x1- x)2+(x2- x)2+…+(xn- x)2
那么
=(x1- x1+ x1 - x )2+(x2- x1 + x1 - x )2 +…+(xm- x1 + x1 - x )2+
(xm+1- x2 + x2 - x )2+(xm+2- x2 + x2 - x )2+…+(xn- x2 + x2 - x )2
用完全平方公式展开：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
我们先只观察 2 倍项，你有什么发现？
所有 2 倍项的和为 0 ，计算时就不必考虑了.
=(x1- x1)2+(x2- x1)2+…+(xm- x1)2+(xm+1- x2)2+(xm+2- x2)2+…+（xn- x2)2
= + + m(x1- x)2+(n-m)(x2- x)2.
d12 + d22 称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度.
记为
称为组间离差平方和，表示两个组间的差异．
=(x1- x)2+(x2- x)2+…+(xn- x)2
那么
=(x1- x1+ x1 - x )2+(x2- x1 + x1 - x )2 +…+(xm- x1 + x1 - x )2+
(xm+1- x2 + x2 - x )2+(xm+2- x2 + x2 - x )2+…+(xn- x2 + x2 - x )2
思考3：当分组结果满足组内差异最小的情况时，d12 + d22 与 满足什么条件？
d 2 = d12 + d22 +
这组数据的离差平方和，固定不变.
最小
最大
既可以按d12 + d22 最小来分组，也可以按 最大来分组
将下列表格补充完整，找出最合适的分组方法．
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
分组
第 1 个间隔
第 2 个间隔
第 3 个间隔
第 4 个间隔
第 5 个间隔
第 6 个间隔
第 7 个间隔
第 8 个间隔
第 9 个间隔
d12
d12 + d22
d22
x1
x2
58
80.2
0
799.6
799.6
61
82.25
18
503.5
521.5
63.3
84.3
50.7
271.4
322.1
66.25
85.8
152.8
170.8
323.6
68.2
87.8
228.8
54.8
283.6
70.7
89
411.3
26
437.3
72.7
90.3
587.4
4.7
592.1
74.75
91
819.5
2
821.5
76.4
92
1026.2
0
1026.2
最小
当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小．
因此，按组内离差平方和最小的分法为
｛58，64，68，75，76｝和｛83，85，89，90，92｝
有一组数据: 5，6，8，9，10，按照“组内离差平方和最小”原则将这组数据分成两组，下列选项正确的是（ ）
A. {5} 和 {6，8，9，10}　　　　　B. {5，6} 和 {8，9，10}
C. {5，6，8} 和 {9，10}
D. {5，6，8，9} 和 {10}
＝ 0， ＝ 8.75， ＝ 8.75
＝ 0.5， ＝ 2， ＝ 2.5
＝ 4.67， ＝ 0.5， ＝ 5.17
＝ 10， ＝ 0， ＝ 10
B
例 10 个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示.
城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明
平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17
（1）根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这 10 个城市分为两组.
解：将表中的数据按从小到大排列，可得
－11　－3　3　3　9　10　12　17　21　22
将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如下表所示.
分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内
离差平方和
第1个间隔 0 584.2 584.2
第2个间隔 32 380.9 412.9
第3个间隔 98.7 285.7 384.4
第4个间隔 132 158.8 290.8
第5个间隔 228.8 113.2 342
第6个间隔 308.8 62 370.8
第7个间隔 397.4 14 411.4
第8个间隔 562 0.5 562.5
第9个间隔 789.6 0 789.6
最小
因此，按组内离差平方和最小的分法为
{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}
和 {上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}
城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明
平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17
（2）根据平均高温的组间离差平方和最大原则，把这 10 个城市分为两组．所得分组结果与（1）中结果一致吗？
分别计算各组数据的平均数和组间离差平方和，如表所示：
分组 组间离差平方和
第1个间隔 －11 10.44 413.9
第2个间隔 －7 12.125 585.2
第3个间隔 －3.67 13.43 613.7
第4个间隔 －2 15.17 707.3
第5个间隔 0.2 16.4 656.1
第6个间隔 1.83 18 627.3
第7个间隔 3.29 20 586.7
第8个间隔 5 21.5 435.6
第9个间隔 6.78 22 208.5
最大
所得分组结果与（1）中结果一致.
（3）结合地理课所学知识，说一说这样分组合理吗？
合理．
因为第一组中的城市位于我国北方地区，普遍气温偏低，第二组中的城市位于我国南方，温度较高．
{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}
和 {上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}
什么是组内离差平方和？什么是组间离差平方和？对一组数据进行分组时，应遵循什么原则？
数据的分组
离差平方和
组内离差平方和
组内离差平方和最小
组间离差平方和
分组原则
组间离差平方和最大
1.小明将一组数据分成了两组{78，80}和{84，85，85，86}，则第一组离差平方和与第二组离差平方和分别为( 　　)
A．2，3 B．3，2
C．3，4 D．2，2
D
2.如图记录了某地连续5天的日最低气温，若把这5天的最低气温按组间离差平方和最大的原则分成两组，则这两组是__________________和_________________________．
{星期一，星期二}
{星期三，星期四，星期五}
解：方式1：第一组[75，80，85](3人)，第二组[90，95，100，105](4人).
第一组均值1＝(75＋80＋85)÷3＝80，
＝(75－80)2＋(80－80)2＋(85－80)2＝25＋0＋25＝50.
第二组均值2＝(90＋95＋100＋105)÷4＝97.5，
＝(90－97.5)2＋(95－97.5)2＋(100－97.5)2＋(105－97.5)2
＝56.25＋6.25＋6.25＋56.25＝125.
＋＝50＋125＝175.
3.某班7名学生的数学小测成绩：75，80，85，90，95，100，105，请按“组内成绩更集中”的原则分为两组(一组3人，一组4人)，确定最优分组．
方式2：第一组[75，80，85，90](4人)，第二组[95，100，105](3人).
第一组均值1＝(75＋80＋85＋90)÷4＝82.5，
＝(75－82.5)2＋(80－82.5)2＋(85－82.5)2＋(90－82.5)2
＝56.25＋6.25＋6.25＋56.25＝125.
第二组均值2＝(95＋100＋105)÷3＝100，
＝(95－100)2＋(100－100)2＋(105－100)2＝25＋0＋25＝50.
＋＝125＋50＝175.
最优分组为[75，80，85]和[90，95，100，105]
(或[75，80，85，90]和[95，100，105]).

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