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(共20张PPT)
24.2 数据的离散程度
课时2 根据方差做决策
1.学会运用方差分析数据并进行优化选择和决策.
2.综合运用平均数、众数、中位数和方差解决实际问题．
我们知道，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，那么，是不是方差越小就表示这组数据越好？
方差：
方差的意义：方差越大(小)，数据的离散程度越大(小).
方差的计算公式是什么，并说明方差的意义.
问题1 自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量－标准含量）. 甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为 500 mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取 10 瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如表所示.
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
思考：可以通过哪些统计量来关注灌装线的灌装质量？
每瓶饮料的含量；灌装线的稳定性．
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
（1）如果有一瓶饮料含量的误差的绝对值超过 10 mL，此条灌装线的灌装质量为不合格，那么两条灌装线的灌装质量是否合格？
解：甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量 500 mL 的误差如表所示.
甲组误差/mL 1 －4 －2 －1 3 －2 5 －2 1 1
乙组误差/mL －4 －7 4 －5 0 6 4 5 －2 －1
可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5mL、7mL，两者都小于10mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的.
（2）哪条灌装线的灌装质量更好？
甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为
x甲 =
501 + 496 + … + 501
10
= 500
x乙 =
496 + 493 + … + 499
10
= 500
两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量.
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为
(501－500)2 + (496－500)2 + … + (501－500)2
10
=
= 6.6
(496－500)2 + (493－500)2 + … + (499－500)2
10
=
= 18.8
＜
可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小.
根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好.
（2）哪条灌装线的灌装质量更好？
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
方差只能反映样本的稳定性，而不能反映样本的一般水平.
因而在用样本估计总体时，通常要综合考虑样本平均数与样本方差，再作出判断.
运用方差解决实际问题的一般步骤：
1.先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况；
2.在平均数相同或接近时，比较方差，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度越大
甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ）
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
队员 平均成绩 方差
甲 9.7 2.12
乙 9.6 0.56
丙 9.8 0.56
丁 9.8 1.34
C
问题2 甲、乙两地同一天的气温记录如表所示.
两地的气温有什么差异？
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
为了直观地观察两地气温的特点，可以以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示.
解：得到下图.
从折线图中可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地．
为进一步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较.
①通过数据的集中趋势分析两地的气温差异：
平均数、中位数、众数.
两地气温的平均数分别为
x甲
11 + 9 + … + 13
13
=
= 16
x乙
13 + 11 + … + 15
13
=
= 16
平均数相等.
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
将两地气温按从小到大排列，可得
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
中位数都是 16.
众数：甲地是 16 和 21.
乙地是 15 和 17.
众数重复次数太少，不具有代表性.
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
平均数/℃ 中位数/℃ 众数/℃
甲地 16 16 16 和 21
乙地 16 16 15 和 17
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显.
②通过数据的离散程度分析两地的气温差异：
两地气温的方差分别为
方差
由可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定.
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
如何表现一组数据的集中趋势和离散程度？
平均数
离差平方和
数据
中位数
众数
总体平均数
样本估计总体
方差
总体方差
样本估计总体
离散程度
集中趋势
1.科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，从甲、乙、丙、丁中选一种开花时间最短的并且最平稳的是(　　)
A. 甲种类
B. 乙种类
C. 丙种类
D. 丁种类
B
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均数 2.3 2.3 2.8 3.1
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
2. 求一组数据方差的算式为：
s2＝×[(6－ x)2 ＋(8－ x)2＋(8－ x)2＋(6－ x)2＋(7－ x)2].
由算式提供的信息，下列说法错误的是( )
A. n的值是5
B. 该组数据的平均数是7
C. 该组数据的众数是6
D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
C
3.在全运会射击比赛的选拔赛中，运动员甲对10次射击成绩的统计表和扇形图如下：
命中环数 10 9 8 7
命中次数 4 3 2 1
(1)根据统计表(图)中提供的信息，补全统计表及扇形统计图；
解：如图所示
7环
10%
9环30%
8环
20%
10环
40%
解：应该派甲去．理由如下：
∵甲、乙两人的平均成绩相同，
∴甲的成绩比乙稳定，
(2)已知乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，如果只能选一人参加比赛，你认为应该派谁去？请说明理由．
∴应该派甲去．
甲= = 9（环）；
= = 1.
命中环数 10 9 8 7
命中次数 4 3 2 1
7环
10%
9环30%
8环
20%
10环
40%

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