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24.2 数据的离散程度
课时1 离差平方和与方差
1.理解离差平方和、方差的概念，能够计算一组数据的离差平方和、方差.
2. 理解方差的意义，能通过方差比较两组数据的离散程度．
某射击队三位运动员某次选拔赛的射击成绩如图所示，你认为甲、乙、丙三人中谁的发挥更稳定？
能不能通过计算说明这三人成绩的稳定程度？
问题：某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子. 选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题. 为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表所示.
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？
甲和乙两种玉米种子的平均产量为：
x甲 = 7.537
x乙 = 7.515
甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大. 由此估计这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大. 因此，不能应用平均数判断选择哪种甜玉米种子.
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
计算两组数据的平均数，能否应用平均数判断选择哪种甜玉米种子呢？
由样本平均数估计总体平均数.
思考：如何考查一种甜玉米产量的稳定性呢？
为了直观地反映出甜玉米产量的分布情况，把数据画成下图：
甲种甜玉米的产量
乙种甜玉米的产量
比较看看谁的数据波动比较大？
甲种甜玉米的产量
乙种甜玉米的产量
比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.
因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好.
如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？
为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画.
思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？
一般地，有n个数据x1， x2 ，… ，xn，用 它们的平均数，我们把 xi - (i=1，2，…，n)叫作 xi 关于平均数 的离差或偏差.
用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但
(x1 - )+(x2 - )+…+(xn - ) = x1+x 2 +…+ xn - n = 0
一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异.
为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.
我们把
叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和.记作“d 2”.
(x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2
把离差的平方的平均数
叫作这组数据的方差，记作“s2”.
试着用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度．
根据样本估计总体的统计思想，种乙种甜玉米产量较稳定．
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.
方差有什么意义？
方差越大，数据的离散程度越大；
方差越小，数据的离散程度越小．
思考：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？
离差平方和可以刻画一组数据的离散程度．在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差不受这个限制．
= (x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2
如何使用计算器求方差？
使用计算器的统计功能求方差，操作时需要参阅计算器的使用说明书.
通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态；
然后依次输入数据 x1，x2，…，xn；
最后按求方差的功能键，计算器便会求出方差
s2 =
的值.
例 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示.
哪名射击运动员的发挥更稳定？
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
分析：
方差越大，数据离散程度越大，发挥就不稳定；
方差越小，数据离散程度越小，发挥就更稳定.
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
两名运动员射击成绩的方差分别为
解：两名运动员射击成绩的平均数分别为
甲= = 8.7
乙= = 8.6
= = 2.41,
= = 1.04.
由＞可知，乙射击运动员的发挥更稳定.
离差平方和
离差：xi － x ( i ＝1，2，…，n )
公式： = (x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2
公式：
方差越大（小），数据的波动越大（小）
方差的作用
比较数据的稳定性
利用样本方差估计总体方差
方差
1.已知一组数据：x1，x2，x3，…，xn的方差为0.5，则2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1这组数据的方差为(　　)
A．0.5
B．1
C．1.5
D．2
D
2.射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为s甲2和s乙2，则s甲2和s乙2的大小关系是(　　)
A．s甲2>s乙2
B．s甲2C．s甲2＝s乙2
D．无法确定
A
3.某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径(单位：mm)，并制作统计图如下：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)

则m＝______，a＝______，b＝______．
(2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，____供应商供应的苹果大小更为整齐．(填“甲”或“乙”)
统计量 供应商　　 平均数/mm 中位数/mm 众数/mm
甲 80 80 b
乙 m a 76
80
79.5
83
甲
(3)超市规定直径82 mm(含82 mm)以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2 000个，其中，大果约有多少个？
解：2000×=600（个）

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