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13.3 课时3
组内离差平方和
第十三章 数据的分析
01
理解数据分组的意义，了解组内离差平方和的概念.
02
能根据“组内离差平方和达到最小”对数据进行分组．
1.在统计学里，数据的离散程度可以用___________，
________等统计量来刻画.
离差平方和
方差
2.离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，
即 .
3.方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，
即 .
情景1：“生活中为什么要对这些事物进行分类？分类给我们带来了哪些方便？”
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分类能让事物更有序，方便查找或判断.
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探究1：数据分组的意义、组内离差平方和的概念
情景2：一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进人面试.将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下：
58、64、68、75、76、83、85、89、90、92.
问题1：公司要从这10人中选部分人进入面试，该如何确定“成绩好”的标准？你有哪些分组方法？
基于数据自身特点的分组方法——
数据的分组（基于离差平方和）
将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩都挨在了一起，可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成9个间隔，
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
58、64、68、75、76、83、85、89、90、92.
每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，每个间隔对应1种“两组分法”（如第1个间隔分“{58}和{64,68,…,92}”，第2个间隔分“{58,64}和{68,…,92}”），共 9 种分法.
因此，要使分组后的组内差异最小，只需在已排序数据的基础上寻找分组方法
问题2：用什么指标可以刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？
离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组.
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
如果把这组数据分为两组，前 m （m＜n）个为第一组，后 n－m 个为第二组，第一组平均数为 ，离差平方和为 ；第二组平均数为 ，离差平方和为，则组内离差平方和为 + .
组内离差平方和越小，说明两组内部的数据越集中，分组越合理.
组内离差平方和
一般地，设有 n 个数据 ,,... ,平均数为 ，则总离差平方和为：=() +() +...+() .
问题3：以招聘成绩的“第5个间隔”（分法：{58,64,68,75,76}和{83,85,89,90,92}）为例，分步计算组内离差平方和 +.
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
第一组{58,64,68,75,76}；第2组{83,85,89,90,92}
第一步：计算第一组平均数 =(58+64+68+75+76)÷5=72.2；
第二步：计算第一组离差平方和 =(58－72.2) +(64－72.2) +
(68－72.2) +(75－72.2) +(76－72.2) =228.8；
第三步：计算第二组平均数 =(83+85+89+90+92)÷5=87.8；
第四步：计算第二组离差平方和=(83－87.8) +(85－87.8) +
(89－87.8) +(90－87.8) +(92－87.8) =54.8；
第五步：组内离差平方和=228.8+54.8=283.6.
是否一定是此种分组情况下的组内离差平方和最小呢？
1.分组任务：将数据分为8组，列表如下，请借助计算器或电子表格软件，每组计算1种间隔的组内离差平方和.
活动2：验证“组内离差平方和最小”的分法
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
228.8
54.8
283.6
2.分析与发现: 观察汇总结果，你得出了什么结论？
结论： “第5个间隔”的组内离差平方和（283.6）最小，因此最优分法为{58,64,68,75,76}（不进面试）和{83,85,89,90,92}（进面试）.
（1）将数据按从小到大排序；
（2）确定所有可能的间隔（n个数据有n-1个间隔，对应n-1种两组分法）；
（3）计算每种分法的两组平均数及组内离差平方和；
（4）选择组内离差平方和最小的分法作为最优分组.
3.归纳与总结: 结合以上过程，与同学交流、总结进行数据分组的步骤以及如何确定最优的分组的方法.
1.数据分组的意义：让复杂数据更有序，帮助解决实际问题（如招聘筛选、成绩分类）.
2.核心方法：基于“组内离差平方和最小”原则分组，步骤为“排序→找间隔→算离差平方和→选最小”.
1.某校开展了以“书香校园”为主题的读书活动．八(1)班班长统计了该班其中一个小组的5名学生一学期课外图书的阅读量(单位：本)，分别为5，6，10，14，20．现要依据阅读量把这5名学生分成两组，班长给出了四种分组方式(如下表)，并计算出了不同分组方式的组内离差平方和(保留两位小数)，你认为其中分组最合理的方式是(　　)
A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．第四种
分组情况 组内离差
平方和
第一种 第一组1个{5}，第二组4个{6，10，14，20} 107.00
第二种 第一组2个{5，6}，第二组3个{10，14，20} 51.17
第三种 第一组3个{5，6，10}，第二组2个{14，20} 32.00
第四种 第一组4个{5，6，10，14}，第二组1个{20} 50.75
其中分组最合理的方式是(　　)
C
2.如图记录了某地连续5天的日最低气温，若把这5天的最低气温按组间离差平方和最大的原则分成两组，则这两组是__________________和_________________________．
{星期一，星期二}
{星期三，星期四，星期五}
解：将这5个数据从小到大排序：65，69，70，80，81.
计算组内离差平方和(保留一位小数)：
3. 5个苹果的直径(单位：mm)分别为65，69，81，80，70，按照“组内离差平方和最小”的原则，把这5个苹果按直径大小分成三组．
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组1个，第三组3个 74.0
第一组1个，第二组2个，第三组2个 1.0
第一组1个，第二组3个，第三组1个 74.0
第一组2个，第二组1个，第三组2个 8.5
第一组2个，第二组2个，第三组1个 58.0
第一组3个，第二组1个，第三组1个 14.0
第2种情况的组内离差平方和最小，因此把这5个苹果按直径大小分成三组是{65}，{69，70}和{80，81}．
数据的分组
离差平方和
组内离差平方和
组间离差平方和
计算公式
应用
本节课你学到了哪些知识与方法？

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