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13.3 课时2 离差和方差
第十三章 数据的分析
01
理解离差、方差的意义，会进行离差、方差的计算．
02
了解离差平方和的意义，会进行离差平方和的计算．
03
能利用方差刻画数据的离散程度，解决实际问题.
关于“激活沉默用户”的问题中两个方案分别实施7天的激活人数情况如下表：
两个方案的平均激活人数都是1 046，但是它们的离散程度不同，应该用什么统计量来比较它们的离散程度呢？
活动1：已知A，B两个方案的平均激活人数都是1 046.
27 44 54 -21 -25 -21 -58
-24 -136 234 -126 246 -24 -170
问题1：计算出两个方案中每个数据与平均数的差，尝试比较它们的离散程度.
A组：
B组：
探究1：离差、离差平方和、方差的意义及计算
离差
一般地，有n个数据x1，x2，...，xn ，用 表示它们的平均数，
我们把 叫作 关于平均数 的离差.
2.离差可能是正数或负数，也可能是0。离差的符号及其绝对值分别反映了该数据偏离平均数的方向与大小。
离差
注意：
1.离差符号为正表示该数据大于平均数，离差符号为负表示该数据小于平均数.
离差:
A组 27 44 54 -21 -25 -21 -58
B组 -24 -136 234 -126 246 -24 -170
问题2：分别算出两组数据的离差相加的和，你发现了什么？离差的和能表示一组数据的离散程度吗？
A 组、B组数据的离差和均为0，不能表示一组数据的离散程度.
问题3：为了解决离差符号对和(即离差正负抵消)的影响，你能想到哪些方法呢？
方法2：计算离差的平方和：
方法1：取离差的绝对值.
具有局限性，绝对值运算在计算器运算中容易出错.
A 组：272+442+542+(-21)2+(-25)2+(-21)2+(-58)2=10 452；
B组：(-24)2+(-136)2+2342+(-126)2+2462+(-24)2+(-170)2=179 696.
求离差的平方的平均数：
A 组：=；
B组：=.
问题4：上面两组数据的个数是相同的，如果两组数据的个数不同，直接对比平方和合理吗？怎样优化？
A 组：272+442+542+(-21)2+(-25)2+(-21)2+(-58)2=10 452；
B组：(-24)2+(-136)2+2342+(-126)2+2462+(-24)2+(-170)2=179 696.
离差平方和
方差
设n个数据x1，x2，…，xn 的平均数为，各个数据离差的平方和叫作这组数据的离差平方和，即(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2.
各数据离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作s2，即
s2 =[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
离差平方和与方差：
=，= ，<
问题5：计算A 组、B组数据的方差，比较它们的稳定性，请尝试说明方差的意义.
A方案与B方案相比，波动较小，更加稳定，这与前面直观判断的结果是一致的.
A 组：=；
B组：=.
(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2.
s2 =[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
离差平方和：
方差：
1.它们都是刻画一组数据的离散程度的统计量.
2.当一组数据的离差平方和较大时，方差也较大；当一组数据的离差平方和较小时，方差也较小.反过来也成立.
3.方差刻画了一组数据偏离平均数的程度，克服了数据量的影响，所以通常用于比较多组数据的离散程度.(方差越小，数据波动越小，越稳定.)
离差平方和、方差的意义
B
1.人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： ， ， ，则成绩较为稳定的班级是（ ）
A.甲班 B.乙班
C.两班成绩一样稳定 D.无法确定
2. 在方差的计算公式 s2 = [(x1-20)2+(x2-20)2+…+(x10-20)2] 中，数字 10 和 20 表示的意义分别是 ( )
A.数据的个数和方差 B.平均数和数据的个数
C.数据的个数和平均数 D.数据的方差和平均数
C
3.数据－2，－1，0，1，2的离差平方和是_____，方差是_____.
2
10
活动2： 甲、乙两名篮球运动员本赛季出场次数分别为10次和9次，得分情况为：
甲 12 15 28 15 26 19 11 10 8 6
乙 14 16 13 15 19 13 17 13 15
问题：他们的出场次数不同，如何比较才能准确评价他们的的水平呢？依照这些数据，请评价这两名运动员本赛季的得分能力.
探究2：利用方差解决实际问题
解：甲==15，
乙 ==15.
两名运动员在这个赛季的平均得分相同，说明他们的得分能力相当.
=×[(14-15)2+(16-15)2+(13-15)2+(15-15)2+(19-15)2+(13-15)2+(17-15)2+(13-15)2+(15-15)2]≈3.78，
甲 12 15 28 15 26 19 11 10 8 6
乙 14 16 13 15 19 13 17 13 15
=×[(12-15)2+(15-15)2+(28-15)2+(15-15)2+(26-15)2+(19-15)2+
(11-15)2+(10-15)2+(8-15)2+(6-15)2]=48.6，
由> 可知，甲运动员在这个赛季的得分波动较大，乙运动员在这个赛季的得分更稳定.
=×[(14-15)2+(16-15)2+(13-15)2+(15-15)2+(19-15)2+(13-15)2+(17-15)2+(13-15)2+(15-15)2]≈3.78，
=×[(12-15)2+(15-15)2+(28-15)2+(15-15)2+(26-15)2+(19-15)2+
(11-15)2+(10-15)2+(8-15)2+(6-15)2]=48.6，
4.某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数(单位：个)进行统计，结果如下表：
(1)求甲进球的中位数；
(2)经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2.如果综合考虑平均数和进球稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁
(1)将10，6，10，6，8按从小到大的顺序排列，可得6，6，8，10，10，所以甲进球的中位数为8.
(2)乙进球的平均数=8，
乙进球的方差为×[(7-8)2+(9-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2]=0.8.
因为两人进球的平均数相同，=3.2，=0.8，所以> ，
所以乙的进球更稳定，所以应选乙去参加定点投篮比赛.
1.什么是离差？有何意义？
2.什么是方差？有何意义？
3.与刻画集中趋势的统计量相比，用方差刻画数据有什么优势？你能说说它的适用条件吗？
结合以下问题，回顾本节课所学知识：

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