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同步练习1　磁场对通电导线、运动电荷的作用力
(时间：60分钟　满分：100分)
一、单项选择题：本题共7小题，每小题6分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·重庆市沙坪坝区高二期中)带电粒子射向地球时，地磁场改变了它们的运动方向。赤道上空P处的地磁场方向由南指向北，一带正电粒子垂直于地面向赤道射来，如图所示。在P处该粒子受到的洛伦兹力(　　)
A.方向向东 B.方向向南
C.方向向西 D.方向向北
2.(2025·大连市高二期中)如图所示，蹄形磁体用悬线悬于O点，在磁体的正下方有一水平放置的长直导线，当导线中通以由左向右的电流时，蹄形磁体的运动情况将是(　　)
A.静止不动
B.向纸外摆动
C.N极向纸内、S极向纸外转动
D.N极向纸外、S极向纸内转动
3.(2025·重庆市沙坪坝区高二期中)如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，一带电量为q(q>0)的滑块自a点由静止沿光滑绝缘轨道滑下，下降竖直高度为h时到达b点。不计空气阻力，重力加速度为g，则(　　)
A.滑块在a点受重力、支持力和洛伦兹力作用
B.该过程中，洛伦兹力做正功
C.该过程中，滑块的机械能增大
D.滑块在b点受到的洛伦兹力大小为qB
4.(2025·杭州市高二阶段练习)电磁炮是利用电磁发射技术制成的新型武器，如图所示为电磁炮的原理结构示意图。若某水平发射轨道长7.5 m，宽1.5 m，发射的炮弹质量为50 g，炮弹被发射时从轨道左端由静止开始加速。当电路中的电流恒为20 A，轨道间匀强磁场B=1.0×103 T时，不计空气及摩擦阻力。下列说法正确的是(　　)
A.磁场方向为竖直向下
B.炮弹的加速度大小为3×106 m/s2
C.炮弹在轨道中加速的时间为5×10-3 s
D.炮弹发射过程中安培力的最大功率为4.5×108 W
5.(2025·辽宁高二期中)如图所示，一段圆心角为60°的圆弧形导线，通以电流I。若导线所在平面与纸面平行，匀强磁场方向垂直纸面向里，导线所受安培力的大小为F1；若磁感应强度大小不变，方向改为平行于纸面沿半径ON向右，导线所受安培力的大小为F2。则为(　　)
A.2∶ B.∶1
C.∶2 D.1∶1
6.(2025·武汉市高二期中)如图所示，由4根相同导体棒连接而成的正方形线框固定于匀强磁场中，线框平面与磁感应强度方向垂直，顶点A、B与直流电源两端相接，已知导体棒AB受到的安培力大小为3 N，则线框受到的安培力的合力大小为(　　)
A.0 B.4 N C.6 N D.9 N
7.(2025·南通市高二期中)如图所示，宽为l的光滑导轨与水平面成α角，质量为m、长为l的金属杆水平放置在导轨上。空间存在着匀强磁场，当回路总电流为I时，金属杆恰好能静止。则磁感应强度(　　)
A.最小值为，方向竖直向上
B.最小值为，方向竖直向下
C.最小值为，方向垂直导轨平面向上
D.最小值为，方向垂直导轨平面向下
二、多项选择题：本题共3小题，每小题8分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得8分，选对但不全的得4分，有选错的得0分。
8.(2025·西安市高二阶段练习)如图，a、b、c为三根与纸面垂直的固定长直导线，其截面位于等边三角形的三个顶点上，O为三角形的中心点，bc沿水平方向，P为bc中点，Q为ac中点，三根导线中均通有大小相等的电流，方向如图所示，则以下判断正确的有(　　)
A.O点的磁感应强度水平向右
B.P点的磁感应强度水平向右
C.Q点的磁感应强度水平向左
D.导线a受到的安培力方向竖直向下
9.(2025·大连市高二阶段练习)如图所示为等臂电流天平，可以用来测量匀强磁场的磁感应强度。它的右臂挂着矩形线圈，匝数为n，线圈的水平边长为l，处于匀强磁场内，磁感应强度B的方向与线圈平面垂直。当线圈中通过电流I时，初始电流方向如图所示，调节砝码使两臂达到平衡。然后使电流反向，大小不变。这时需要在左盘中减小质量为m的砝码，才能使两臂再达新的平衡。已知重力加速度为g。下列说法中正确的是(　　)
A.电流未反向时，安培力的方向竖直向上
B.电流反向时，安培力的方向竖直向上
C.若用n、m、l、I、g表示磁感应强度B的大小，则B=
D.若用n、m、l、I、g表示磁感应强度B的大小，则B=
10.(2025·重庆市阶段练习)如图所示，水平面上固定有一内表面为四分之一光滑圆弧面的滑块，A点为圆弧的最低点，C点与圆心O等高，且OA⊥OC。空间分布有从圆心O沿圆弧半径方向向外辐射的磁场，圆弧面上的磁感应强度大小均为B。现将一根不太长且质量分布均匀的导体棒ab静置在A点，然后在该导体棒中通以垂直纸面的电流(电路未画出)，若仅通过逐渐改变导体棒ab中的电流大小，使该导体棒沿着圆弧面从A点缓慢移动到C点，则下列说法正确的是(　　)
A.导体棒ab中通的是垂直纸面向里的电流
B.导体棒ab中通的是垂直纸面向外的电流
C.导体棒ab受到圆弧面的作用力一直增大
D.导体棒ab受到圆弧面的作用力一直减小
三、非选择题：本题共2小题，共34分。
11.(16分)(2025·哈尔滨市高二期中)倾角为θ的足够长的光滑绝缘斜面上放着一个带正电的小球，小球质量为m、带电量为q，空间中存在一垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将小球在斜面上由静止释放，重力加速度为g，求：
(1)(8分)小球在斜面上滑行的最大速度；
(2)(8分)小球在斜面上滑行多长时间后将会脱离斜面。
12.(18分)如图所示，质量为m、长为L的直导线ab放置在倾角为θ的光滑平行金属导轨上，导线长度恰好等于导轨宽度，导线与导轨垂直且与导轨接触良好，电流大小为I，要求导线ab静止在导轨上(重力加速度为g)。
(1)(6分)若磁场的方向竖直向上，则磁感应强度为多大？
(2)(6分)若要求磁感应强度最小，则磁感应强度大小和方向如何？
(3)(6分)如果导线静止在导轨上且要求B垂直导线ab，以水平向右为x轴正方向建立坐标系，求磁场的方向与x轴正方向的夹角α的取值范围。
同步练习1　磁场对通电导线、运动电荷的作用力
(时间：60分钟　满分：100分)
一、单项选择题：本题共7小题，每小题6分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·重庆市沙坪坝区高二期中)带电粒子射向地球时，地磁场改变了它们的运动方向。赤道上空P处的地磁场方向由南指向北，一带正电粒子垂直于地面向赤道射来，如图所示。在P处该粒子受到的洛伦兹力(　　)
A.方向向东 B.方向向南
C.方向向西 D.方向向北
答案　A
解析　根据左手定则，使磁场垂直穿过手心，四个手指指向带正电粒子的运动方向，大拇指为其所受洛伦磁力方向，即方向向东。故选A。
2.(2025·大连市高二期中)如图所示，蹄形磁体用悬线悬于O点，在磁体的正下方有一水平放置的长直导线，当导线中通以由左向右的电流时，蹄形磁体的运动情况将是(　　)
A.静止不动
B.向纸外摆动
C.N极向纸内、S极向纸外转动
D.N极向纸外、S极向纸内转动
答案　D
解析　假设磁体不动，导线运动，通电导线左边的磁场斜向下，而右边的磁场是斜向上，那么在导线两侧取两小段，根据左手定则可知，左边一小段所受的安培力方向垂直纸面向里，右侧一小段所受安培力的方向垂直纸面向外，从上往下看，知导线顺时针转动，当转动90°时，导线所受的安培力方向向上，所以导线的运动情况为，顺时针转动，同时上升；当导线不动，磁体运动，根据相对运动，则有磁体逆时针转动(从上向下看)，即N极向纸外转动，S极向纸内转动。故D正确，A、B、C错误。
3.(2025·重庆市沙坪坝区高二期中)如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，一带电量为q(q>0)的滑块自a点由静止沿光滑绝缘轨道滑下，下降竖直高度为h时到达b点。不计空气阻力，重力加速度为g，则(　　)
A.滑块在a点受重力、支持力和洛伦兹力作用
B.该过程中，洛伦兹力做正功
C.该过程中，滑块的机械能增大
D.滑块在b点受到的洛伦兹力大小为qB
答案　D
解析　滑块自a点由静止沿轨道滑下，在a点不受洛伦兹力作用，故A错误；滑块自a点运动到b点的过程中，洛伦兹力不做功，支持力不做功，只有重力做功，所以滑块机械能守恒mgh=mv2，解得v=，故滑块在b点受到的洛伦兹力大小为F=qvB=qB，故B、C错误，D正确。
4.(2025·杭州市高二阶段练习)电磁炮是利用电磁发射技术制成的新型武器，如图所示为电磁炮的原理结构示意图。若某水平发射轨道长7.5 m，宽1.5 m，发射的炮弹质量为50 g，炮弹被发射时从轨道左端由静止开始加速。当电路中的电流恒为20 A，轨道间匀强磁场B=1.0×103 T时，不计空气及摩擦阻力。下列说法正确的是(　　)
A.磁场方向为竖直向下
B.炮弹的加速度大小为3×106 m/s2
C.炮弹在轨道中加速的时间为5×10-3 s
D.炮弹发射过程中安培力的最大功率为4.5×108 W
答案　C
解析　根据左手定则可知，磁场方向为竖直向上，故A错误；根据牛顿第二定律有BIL=ma，解得a=6×105 m/s2，故B错误；根据位移公式有x=at2，解得t=5×10-3 s，故C正确；炮弹发射过程中的最大速度v=at，炮弹发射过程中安培力的最大功率P=BILv，解得P=9×107 W，故D错误。
5.(2025·辽宁高二期中)如图所示，一段圆心角为60°的圆弧形导线，通以电流I。若导线所在平面与纸面平行，匀强磁场方向垂直纸面向里，导线所受安培力的大小为F1；若磁感应强度大小不变，方向改为平行于纸面沿半径ON向右，导线所受安培力的大小为F2。则为(　　)
A.2∶ B.∶1
C.∶2 D.1∶1
答案　A
解析　当磁场方向垂直纸面向里时，通电导线的有效长度如图中线Ⅰ所示，
根据安培力的定义，结合几何关系，可得导线所受安培力大小为
F1=BIr
当磁场方向水平向右时，通电导线的有效长度如图中线Ⅱ所示，
根据安培力的定义，结合几何关系，可得导线所受安培力大小为
F2=BIrsin 60°=BIr
所以F1∶F2=2∶，故选A。
6.(2025·武汉市高二期中)如图所示，由4根相同导体棒连接而成的正方形线框固定于匀强磁场中，线框平面与磁感应强度方向垂直，顶点A、B与直流电源两端相接，已知导体棒AB受到的安培力大小为3 N，则线框受到的安培力的合力大小为(　　)
A.0 B.4 N C.6 N D.9 N
答案　B
解析　由已知条件可知ADCB边的有效长度与AB相同，等效后的电流方向也与AB相同，边ADCB的电阻等于边AB的电阻的三倍，两者为并联关系，设AB中的电流为I，则ADCB中的电流为I，设AB的长为L，磁感应强度大小为B，由题意知F=BIL=3 N，所以边ADCB所受安培力为F'=B×IL=1 N，方向与AB边所受安培力的方向相同，故有F合=F+F'=4 N，故选B。
7.(2025·南通市高二期中)如图所示，宽为l的光滑导轨与水平面成α角，质量为m、长为l的金属杆水平放置在导轨上。空间存在着匀强磁场，当回路总电流为I时，金属杆恰好能静止。则磁感应强度(　　)
A.最小值为，方向竖直向上
B.最小值为，方向竖直向下
C.最小值为，方向垂直导轨平面向上
D.最小值为，方向垂直导轨平面向下
答案　C
解析　根据左手定则，可知磁感应强度最小时方向应垂直导轨平面向上，根据平衡条件mgsin α=BIl，解得B=，故选C。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题8分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得8分，选对但不全的得4分，有选错的得0分。
8.(2025·西安市高二阶段练习)如图，a、b、c为三根与纸面垂直的固定长直导线，其截面位于等边三角形的三个顶点上，O为三角形的中心点，bc沿水平方向，P为bc中点，Q为ac中点，三根导线中均通有大小相等的电流，方向如图所示，则以下判断正确的有(　　)
A.O点的磁感应强度水平向右
B.P点的磁感应强度水平向右
C.Q点的磁感应强度水平向左
D.导线a受到的安培力方向竖直向下
答案　AB
解析　根据安培定则可知，a电流在O点的磁感应强度方向垂直于aO向右，b电流在O点的磁感应强度方向垂直于bO斜向右下方，c电流在O点的磁感应强度方向垂直于cO斜向右上方，由于三根导线中电流大小相等，距离O的间距相等，故三根导线中电流在O点产生的磁感应强度大小相等，根据矢量叠加可知，b、c电流在O点产生的磁感应强度的矢量和方向水平向右，即O点的磁感应强度水平向右，故A正确；b、c电流到P点间距相等，两电流在P点产生的磁感应强度大小相等，根据安培定则与矢量叠加可知，b、c电流在P点产生的磁感应强度的矢量和为0，则P点的磁感应强度等于a电流在P点产生的磁感应强度，方向水平向右，故B正确；a、c电流在Q点产生的磁感应强度大小相等，方向均垂直于ac斜向右上方，根据安培定则，b电流在Q点产生的磁感应强度方向沿Qc方向，大小小于a、c电流在Q点产生的磁感应强度大小，根据矢量叠加可知，Q点的磁感应强度斜向右方，故C错误；b、c电流在a点产生的磁感应强度的矢量和方向水平向右，根据左手定则可知，导线a受到的安培力方向竖直向上，故D错误。
9.(2025·大连市高二阶段练习)如图所示为等臂电流天平，可以用来测量匀强磁场的磁感应强度。它的右臂挂着矩形线圈，匝数为n，线圈的水平边长为l，处于匀强磁场内，磁感应强度B的方向与线圈平面垂直。当线圈中通过电流I时，初始电流方向如图所示，调节砝码使两臂达到平衡。然后使电流反向，大小不变。这时需要在左盘中减小质量为m的砝码，才能使两臂再达新的平衡。已知重力加速度为g。下列说法中正确的是(　　)
A.电流未反向时，安培力的方向竖直向上
B.电流反向时，安培力的方向竖直向上
C.若用n、m、l、I、g表示磁感应强度B的大小，则B=
D.若用n、m、l、I、g表示磁感应强度B的大小，则B=
答案　BC
解析　由左手定则可知，电流未反向时，安培力的方向竖直向下，电流反向后，安培力的方向竖直向上，故A错误，B正确；设左盘砝码质量为m1，右盘砝码质量为m2，电流方向未改变时，因安培力的方向向下，故m1g=m2g+nBIl，同理，电流方向改变后m1g-mg=m2g-nBIl
联立解得B=，故C正确，D错误。
10.(2025·重庆市阶段练习)如图所示，水平面上固定有一内表面为四分之一光滑圆弧面的滑块，A点为圆弧的最低点，C点与圆心O等高，且OA⊥OC。空间分布有从圆心O沿圆弧半径方向向外辐射的磁场，圆弧面上的磁感应强度大小均为B。现将一根不太长且质量分布均匀的导体棒ab静置在A点，然后在该导体棒中通以垂直纸面的电流(电路未画出)，若仅通过逐渐改变导体棒ab中的电流大小，使该导体棒沿着圆弧面从A点缓慢移动到C点，则下列说法正确的是(　　)
A.导体棒ab中通的是垂直纸面向里的电流
B.导体棒ab中通的是垂直纸面向外的电流
C.导体棒ab受到圆弧面的作用力一直增大
D.导体棒ab受到圆弧面的作用力一直减小
答案　AD
解析　导体棒ab沿着圆弧面从A点缓慢移动到C点过程中，该导体棒始终处于平衡状态，所受安培力沿圆弧切线向上，由左手定则可知，棒内所通电流方向垂直纸面向里，选项A正确，B错误；
设运动过程中，导体棒ab与O点的连线与竖直方向的夹角为θ，其受力如图所示，
由力的平衡条件可知，圆弧面对该导体棒的作用力FN=mgcos θ，从A点缓慢移动到C点过程中，θ逐渐增大，可知FN一直减小，选项C错误，D正确。
三、非选择题：本题共2小题，共34分。
11.(16分)(2025·哈尔滨市高二期中)倾角为θ的足够长的光滑绝缘斜面上放着一个带正电的小球，小球质量为m、带电量为q，空间中存在一垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将小球在斜面上由静止释放，重力加速度为g，求：
(1)(8分)小球在斜面上滑行的最大速度；
(2)(8分)小球在斜面上滑行多长时间后将会脱离斜面。
答案　(1)　(2)
解析　(1)小球受重力、支持力、垂直斜面向上的洛伦兹力，可知脱离斜面时速度最大，则qvB=mgcos θ，解得v=
(2)沿斜面方向有mgsin θ=ma，根据匀变速直线运动公式有v=at，解得t=。
12.(18分)如图所示，质量为m、长为L的直导线ab放置在倾角为θ的光滑平行金属导轨上，导线长度恰好等于导轨宽度，导线与导轨垂直且与导轨接触良好，电流大小为I，要求导线ab静止在导轨上(重力加速度为g)。
(1)(6分)若磁场的方向竖直向上，则磁感应强度为多大？
(2)(6分)若要求磁感应强度最小，则磁感应强度大小和方向如何？
(3)(6分)如果导线静止在导轨上且要求B垂直导线ab，以水平向右为x轴正方向建立坐标系，求磁场的方向与x轴正方向的夹角α的取值范围。
答案　(1)
(2)　方向垂直于导轨平面向上
(3)θ<α≤π
解析　(1)若磁场的方向竖直向上，从a向b观察，导线ab受力情况如图甲所示，
由平衡条件得tan θ=，解得B=
(2)导线受到重力、导轨对它的支持力和安培力的作用而处于平衡状态，构建力的矢量三角形，如图乙所示，由三角形定则可知，当
安培力垂直于支持力时，有最小值，此时磁感应强度有最小值，根据左手定则可知，磁场方向垂直于导轨平面向上，根据平衡条件得BminIL=mgsin θ，解得Bmin=
(3)分析两种临界状态：其一，当导线受到的安培力方向竖直向上且等于mg时，磁感应强度方向水平向左，与x轴正方向的夹角为π；
其二，结合三角形定则知，当安培力增大到无限接近支持力、方向与支持力相反时，磁感应强度方向沿斜面向上，与x轴正方向的夹角为θ，如图丙所示，综上所述，可知磁场的方向与x轴的夹角α的范围为θ<α≤π。同步练习2　带电粒子在匀强磁场中的运动
(时间：60分钟　满分：100分)
一、单项选择题：本题共7小题，每小题6分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·洛阳市高二期中)如图所示，一水平导线通以电流I，导线正下方有一电子向上运动，初速度方向与电流垂直，关于电子的运动情况，下列说法正确的是(　　)
A.沿路径b运动，电子距离导线越近运动半径越小
B.沿路径b运动，电子距离导线越近运动半径越大
C.沿路径a运动，电子距离导线越近运动半径越小
D.沿路径a运动，电子距离导线越近运动半径越大
2.(2025·山东省高二期中)如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直圆面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。带电粒子从A点正对着圆心O的方向射入磁场，偏转后恰好从C点离开。已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，∠AOC = 120°，不计粒子重力，则下列说法正确的是(　　)
A.粒子带负电
B.粒子在磁场中运动的时间为
C.粒子在磁场中运动的动量大小为qBR
D.若只改变入射速度方向，粒子不可能经过O点
3.(2025·兰州市高二期中)如图所示，圆心为O、半径为R的半圆形区域内有一垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。M、N点在圆周上且MON为其竖直直径。现将两个比荷k相同的带电粒子P、Q分别从M点沿MN方向射入匀强磁场，粒子P的入射速度为v1=v，粒子Q的入射速度为v2=v，已知P粒子在磁场中的运动轨迹恰为圆弧，不计粒子的重力，不计粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A.粒子P带正电，粒子Q带负电
B.粒子P的周期小于粒子Q的周期
C.粒子Q的轨迹半径为
D.粒子P和粒子Q在磁场中的运动时间之比为
4.(2025·南通市高二期中)如图所示，边长为L的等边三角形区域内有匀强磁场。大量电子从B点射入磁场中，入射方向分布在与BC边的夹角为α(0≤α≤60°)的范围内，在磁场中的运动半径均为L。不计电子间的相互作用。则在磁场中运动时间最长的电子入射时的α角为(　　)
A.0° B.15° C.30° D.45°
5.(2025·青岛市高二期中)如图所示，圆形区域的圆心为O，区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，MN为圆的直径，从圆上的A点沿AO方向，以相同的速度先后射入甲、乙两个粒子，甲粒子从M点离开磁场，乙粒子从N点离开磁场。已知∠AON=60°，不计粒子受到的重力，下列说法不正确的是(　　)
A.乙粒子带负电荷，甲粒子带正电荷
B.乙粒子与甲粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为1∶3
C.乙粒子与甲粒子的比荷之比为3∶1
D.乙粒子与甲粒子在磁场中运动的时间之比为3∶1
6.(2024·扬州市高二阶段练习)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=cd=2L，bc=de=L，一束He粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知He粒子的质量为3m，电荷量为q。以下说法正确的是(　　)
A.粒子能到达de中点
B.从bc边界射出的粒子运动时间相等
C.在磁场中运动时间最长的粒子，其运动率为v=
D.粒子在磁场中运动的最长时间为
7.(2025·湖北高二阶段练习)如图所示，边长为L的等边三角形abc内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，P是ab边的中点，一质量为m、电荷量为-Q(Q>0)的带电粒子在纸面内沿不同方向以不同速率v从P点射入磁场，当v=v1时，平行于bc边射入的粒子从c点射出磁场。不考虑带电粒子受到的重力，下列说法正确的是(　　)
A.若粒子平行于bc边射入、垂直于bc边射出，则粒子在磁场中运动的半径为L
B.若粒子平行于bc边射入、从ab边射出，则速度越大的粒子在磁场中运动的时间越长
C.当v=v1时，平行于bc边射入、从c点射出磁场的粒子在磁场中运动的时间为
D.当v=时改变粒子入射方向，从bc边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
二、多项选择题：本题共3小题，每小题8分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得8分，选对但不全的得4分，有选错的得0分。
8.(2025·北京市高二期中)如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法正确的是(　　)
A.粒子a带正电
B.粒子c的动能最大
C.粒子b在磁场中运动的时间最长
D.粒子b在磁场中运动时所需的向心力最大
9.(2025·重庆市沙坪坝区高二期中)如图，在光滑绝缘水平桌面上建立平面直角坐标系xOy，其第一象限存在匀强磁场B，方向垂直桌面向里。从P点垂直Ox轴滚入一个带电金属小球甲，随后沿着轨迹b离开磁场，在磁场中经历的时间为t。现在轨迹b上的Q点静止放置另一金属小球乙，再次从P点垂直Ox轴以相同速度滚入带电金属小球甲。小球甲、乙均可视为质点，二者发生碰撞并结合在一起后，若结合体(　　)
A.沿着轨迹a离开磁场，则小球甲、乙带同种电荷
B.继续沿着轨迹b离开磁场，则小球甲、乙带异种电荷
C.继续沿着轨迹b离开磁场，则磁场中运动的总时间大于t
D.沿着轨迹c离开磁场，则结合体在磁场中运动时的角速度比甲单独运动时的小
10.(2025·青岛市高二期中)如图所示，空间中有一底角为60°的等腰梯形，上底与腰长均为L，梯形内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，下底bc的中点e处有一粒子源，可以向bc上方任意方向射出速度大小可变的带负电粒子，已知粒子的比荷为k，下列说法正确的是(　　)
A.若粒子可以到达a点，则其最小速度为kBL
B.若粒子可以到达ab边，则其最小速度为kBL
C.若射出粒子速率都相同，ab、ad边有粒子射出时，dc边一定有粒子射出
D.到达a点和到达d点的粒子一定具有相同的速率
三、非选择题：本题共2小题，共34分。
11.(16分)(2024·襄阳市高二期中)如图所示，一个质量为m、电荷量为-q(q>0)、不计重力的带电粒子从x轴上的P点以速度v沿与+x轴成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于y轴射出第一象限。已知OP=a。
(1)(5分)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)(5分)让大量这种带电粒子同时从x轴上的P点以速度v沿与+x轴成0到180°的方向垂直磁场射入第一象限内，求y轴上有带电粒子穿过的区域范围；
(3)(6分)为了使该粒子能以速度v垂直于y轴射出，实际上仅需在第一象限适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感强度为B0的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个矩形区域内，试求这个矩形磁场区域的最小面积Smin。
12.(18分)(2025·浙江高二期中)如图所示，以O为圆心，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，a、b为圆的一条直径，纸面内a处有一粒子源，能沿垂直于磁场的各个方向，向磁场发射质量为m、电荷量大小为q、速度不同的负电荷，已知某一从a点沿aOb方向射入磁场的负电荷P，恰好从c点离开磁场，Ob与Oc间夹角α为60°，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。
(1)(6分)求负电荷P射入磁场的初速度大小v0；
(2)(6分)若另一负电荷Q沿与aOb成30°角的方向斜向上射入磁场后仍从c点离开，求电荷Q入射的速度大小和在磁场中运动的时间；
(3)(6分)要使所有负电荷只能从∠aOc所对应的磁场边界射出，求射入负电荷的初速度大小满足的要求。
同步练习2　带电粒子在匀强磁场中的运动
(时间：60分钟　满分：100分)
一、单项选择题：本题共7小题，每小题6分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·洛阳市高二期中)如图所示，一水平导线通以电流I，导线正下方有一电子向上运动，初速度方向与电流垂直，关于电子的运动情况，下列说法正确的是(　　)
A.沿路径b运动，电子距离导线越近运动半径越小
B.沿路径b运动，电子距离导线越近运动半径越大
C.沿路径a运动，电子距离导线越近运动半径越小
D.沿路径a运动，电子距离导线越近运动半径越大
答案　A
解析　根据安培定则可知，导线下方的磁场方向垂直纸面向外，结合左手定则可知，电子只能沿路径b运动，洛伦兹力提供做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律可知Bqv=，解得R=，故越靠近导线，磁感应强度越大，则其运动半径越小。故选A。
2.(2025·山东省高二期中)如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直圆面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。带电粒子从A点正对着圆心O的方向射入磁场，偏转后恰好从C点离开。已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，∠AOC = 120°，不计粒子重力，则下列说法正确的是(　　)
A.粒子带负电
B.粒子在磁场中运动的时间为
C.粒子在磁场中运动的动量大小为qBR
D.若只改变入射速度方向，粒子不可能经过O点
答案　C
解析　根据左手定则可判断粒子带正电，故A错误；
由图可知粒子速度方向改变了60°，粒子在磁场中运动的时间为
t=T=×=，故B错误；由几何关系知粒子的轨迹半径为r=Rtan 60°=R
由洛伦兹力提供向心力可知qvB=m
粒子在磁场中运动的动量大小为p=mv，解得p=qBR，故C正确；
由于粒子轨迹半径r=R>R，所以只改变入射速度的方向，粒子可能经过O点，故D错误。
3.(2025·兰州市高二期中)如图所示，圆心为O、半径为R的半圆形区域内有一垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。M、N点在圆周上且MON为其竖直直径。现将两个比荷k相同的带电粒子P、Q分别从M点沿MN方向射入匀强磁场，粒子P的入射速度为v1=v，粒子Q的入射速度为v2=v，已知P粒子在磁场中的运动轨迹恰为圆弧，不计粒子的重力，不计粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A.粒子P带正电，粒子Q带负电
B.粒子P的周期小于粒子Q的周期
C.粒子Q的轨迹半径为
D.粒子P和粒子Q在磁场中的运动时间之比为
答案　C
解析　两粒子进入磁场时所受洛伦兹力均向左，由左手定则可知，粒子P、Q均带正电，故A错误；根据周期公式T=，
两粒子比荷相同，故粒子P和粒子Q的运动周期相同，故B错误；根据洛伦兹力提供向心力qvB=m可得r=，则粒子的半径与速度成正比，故rQ=rP==，故C正确；作出两粒子的运动轨迹如图所示，
由几何关系得P粒子的轨迹半径为rP=R，由以上分析可知，粒子的轨道半径与线速度成正比，故Q粒子的轨迹半径为rQ=R=，则α=30°，可知粒子Q的圆心角为60°，粒子P的圆心角为90°，由于两粒子周期相同，运动时间与圆心角成正比，则粒子P和粒子Q在磁场中的运动时间之比为，故D错误。
4.(2025·南通市高二期中)如图所示，边长为L的等边三角形区域内有匀强磁场。大量电子从B点射入磁场中，入射方向分布在与BC边的夹角为α(0≤α≤60°)的范围内，在磁场中的运动半径均为L。不计电子间的相互作用。则在磁场中运动时间最长的电子入射时的α角为(　　)
A.0° B.15° C.30° D.45°
答案　C
解析　电子在磁场中运动时间t=T=
可知圆心角θ越大，在磁场中运动时间越长，根据数学知识可知，所对应弦长越长，圆心角越大，由于在磁场中的运动半径均为L，所以当电子过A点时，对应弦长最长，圆心角最大，由图可知AB边长等于半径，所以△BOA是等边三角形，∠OBA=60°，此时在磁场中运动时间最长，电子入射时的α角为30°，故选C。
5.(2025·青岛市高二期中)如图所示，圆形区域的圆心为O，区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，MN为圆的直径，从圆上的A点沿AO方向，以相同的速度先后射入甲、乙两个粒子，甲粒子从M点离开磁场，乙粒子从N点离开磁场。已知∠AON=60°，不计粒子受到的重力，下列说法不正确的是(　　)
A.乙粒子带负电荷，甲粒子带正电荷
B.乙粒子与甲粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为1∶3
C.乙粒子与甲粒子的比荷之比为3∶1
D.乙粒子与甲粒子在磁场中运动的时间之比为3∶1
答案　D
解析　由粒子偏转方向，根据左手定则可知，乙粒子带负电荷，甲粒子带正电荷，A正确，不符合题意；由题意可知，粒子的轨迹如图所示，
设圆形磁场的半径为R，由几何关系可知甲的轨迹半径为r2=Rtan 60°=R，乙的轨迹半径为r1=Rtan 30° =R，则乙粒子与甲粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为r1∶r2=1∶3，B正确，不符合题意；
由洛伦兹力提供向心力，可得Bqv=，可得乙粒子与甲粒子的比荷之比为∶=r2∶r1=3∶1，C正确，不符合题意；粒子的运动周期为T==，可得乙粒子与甲粒子的周期比为T1∶T2=∶=1∶3，粒子在磁场中运动时间为t=T，其中θ为速度的偏转角，则乙粒子与甲粒子在磁场中运动的时间之比为t1∶t2=2∶3，D错误，符合题意。
6.(2024·扬州市高二阶段练习)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=cd=2L，bc=de=L，一束He粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知He粒子的质量为3m，电荷量为q。以下说法正确的是(　　)
A.粒子能到达de中点
B.从bc边界射出的粒子运动时间相等
C.在磁场中运动时间最长的粒子，其运动率为v=
D.粒子在磁场中运动的最长时间为
答案　C
解析　He粒子在磁场中做匀速圆周运动轨迹图如图所示，由图可知，粒子要在bcde区域运动，在经e点时轨迹半径最大，此时粒子没能到达de中点，因此粒子不能到达de中点，A错误；
设粒子的运动轨迹过bcde上的某一点g，O为粒子做圆周运动轨迹的圆心，当∠Oag最大时，粒子运动轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长，由几何关系可知，当c点与g点重合时，粒子运动时间最长，即从bc边界射出的粒子运动时间不相等。如图所示，设运动半径为R，由几何关系则有(2L-R)2+L2=R2，解得R=L，已知He粒子的质量为3m，
电荷量为q，其在磁场中做匀速圆周运动，有qvB=3m，解得v=，B错误，C正确；He粒子在磁场中运动的周期为T==，在△Obc中，设∠bOc为α，∠aOc为θ，由几何关系可得tan α==，可得α=53°，θ=180°-53°=127°，则粒子在磁场中运动的最长时间为t=T=T=，D错误。
7.(2025·湖北高二阶段练习)如图所示，边长为L的等边三角形abc内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，P是ab边的中点，一质量为m、电荷量为-Q(Q>0)的带电粒子在纸面内沿不同方向以不同速率v从P点射入磁场，当v=v1时，平行于bc边射入的粒子从c点射出磁场。不考虑带电粒子受到的重力，下列说法正确的是(　　)
A.若粒子平行于bc边射入、垂直于bc边射出，则粒子在磁场中运动的半径为L
B.若粒子平行于bc边射入、从ab边射出，则速度越大的粒子在磁场中运动的时间越长
C.当v=v1时，平行于bc边射入、从c点射出磁场的粒子在磁场中运动的时间为
D.当v=时改变粒子入射方向，从bc边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
答案　D
解析　若粒子平行于bc边射入、垂直于bc边射出，其运动轨迹如图所示，
则粒子做匀速圆周运动的半径等于P点到bc边的距离，可得粒子在磁场中运动的半径R1=Lsin 60°=L，故A错误；
若粒子平行于bc边射入、从ab边射出，如图所示，由洛伦兹力提供向心力得
QvB=m
解得r=
则粒子的速度越大，轨迹半径越大，粒子从ab边射出时的圆心角相同，在磁场中运动的时间相同，故B错误；
当v=v1时，平行于bc边射入、从c点射出磁场，其运动轨迹如图所示，根据几何关系可得
=(R2-Lsin 60°)2+(L-Lcos 60°)2，
解得R2=L
粒子运动轨迹对应的圆心角的正弦值为
sin∠O==，
解得∠O=60°
粒子在磁场中运动的时间为t=×=，故C错误；
当v=时，粒子在磁场中运动的半径R3==L，从bc边射出的粒子在磁场中运动的时间最短时，对应的圆心角最小，其运动轨迹如图所示
可知从P点到bc边出射点的距离等于轨迹半径R3，即圆心角为60°，最短时间为tmin=×=，故D正确。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题8分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得8分，选对但不全的得4分，有选错的得0分。
8.(2025·北京市高二期中)如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法正确的是(　　)
A.粒子a带正电
B.粒子c的动能最大
C.粒子b在磁场中运动的时间最长
D.粒子b在磁场中运动时所需的向心力最大
答案　AD
解析　根据左手定则可知，粒子a带正电，故A正确；粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有qvB=m
粒子运动的动能Ek=mv2，解得Ek=
根据图像可知，粒子b做圆周运动的轨迹半径最大，则粒子b的动能最大，故B错误；
粒子圆周运动的周期T==
可知圆周运动周期相等，根据图像可知，粒子c轨迹对应的圆心角最大，则粒子c在磁场中运动的时间最长，故C错误；
粒子在磁场中圆周运动所需的向心力由洛伦兹力提供，则有F=qvB，结合上述可知，粒子b的动能最大，则粒子b的速度最大，可知，粒子b在磁场中运动时的所需向心力最大，故D正确。
9.(2025·重庆市沙坪坝区高二期中)如图，在光滑绝缘水平桌面上建立平面直角坐标系xOy，其第一象限存在匀强磁场B，方向垂直桌面向里。从P点垂直Ox轴滚入一个带电金属小球甲，随后沿着轨迹b离开磁场，在磁场中经历的时间为t。现在轨迹b上的Q点静止放置另一金属小球乙，再次从P点垂直Ox轴以相同速度滚入带电金属小球甲。小球甲、乙均可视为质点，二者发生碰撞并结合在一起后，若结合体(　　)
A.沿着轨迹a离开磁场，则小球甲、乙带同种电荷
B.继续沿着轨迹b离开磁场，则小球甲、乙带异种电荷
C.继续沿着轨迹b离开磁场，则磁场中运动的总时间大于t
D.沿着轨迹c离开磁场，则结合体在磁场中运动时的角速度比甲单独运动时的小
答案　ACD
解析　根据Bqv=可得r=，二者发生碰撞并结合在一起后，动量不变，若沿着轨迹a离开磁场，则半径变小，所以电荷量变大，则小球甲、乙带同种电荷，故A正确；
若结合体继续沿着轨迹b离开磁场，则电荷量不变，所以乙不带电，故B错误；
周期为T=，若结合体继续沿着轨迹b离开磁场，根据动量守恒定律可知，结合体速度变小，所以周期变大，磁场中运动的总时间大于t，故C正确；
若结合体沿着轨迹c离开磁场，则半径变大，所以电荷量变小，结合体质量变大，由角速度公式可知ω==，则结合体在磁场中运动时的角速度比甲单独运动时的小，故D正确。
10.(2025·青岛市高二期中)如图所示，空间中有一底角为60°的等腰梯形，上底与腰长均为L，梯形内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，下底bc的中点e处有一粒子源，可以向bc上方任意方向射出速度大小可变的带负电粒子，已知粒子的比荷为k，下列说法正确的是(　　)
A.若粒子可以到达a点，则其最小速度为kBL
B.若粒子可以到达ab边，则其最小速度为kBL
C.若射出粒子速率都相同，ab、ad边有粒子射出时，dc边一定有粒子射出
D.到达a点和到达d点的粒子一定具有相同的速率
答案　AB
解析　当粒子到达a点，速度刚好与ad边相切时，此时速度最小，轨迹如图甲所示
根据几何关系
2r1cos 30°=L，解得r1=L
根据洛伦兹力提供向心力qv1B=m，联立可得v1=kBL，故A正确；
粒子轨迹与ab边界相切时，速度最小，如图乙所示
根据几何关系2r2=Lsin 60°，解得r2=L
根据洛伦兹力提供向心力qv2B=m，联立可得v2=kBL，故B正确；
如图丙所示，若粒子速率都相同，从ab和ad边有粒子射出时，从cd边不一定有粒子射出，故C错误；
由A项分析知从a点出磁场的粒子的最小速率，但粒子从a点出磁场，不一定是最小速率，故速率大小不唯一，故从a、d两点出磁场的粒子，对应速率不一定相等，故D错误。
三、非选择题：本题共2小题，共34分。
11.(16分)(2024·襄阳市高二期中)如图所示，一个质量为m、电荷量为-q(q>0)、不计重力的带电粒子从x轴上的P点以速度v沿与+x轴成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于y轴射出第一象限。已知OP=a。
(1)(5分)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)(5分)让大量这种带电粒子同时从x轴上的P点以速度v沿与+x轴成0到180°的方向垂直磁场射入第一象限内，求y轴上有带电粒子穿过的区域范围；
(3)(6分)为了使该粒子能以速度v垂直于y轴射出，实际上仅需在第一象限适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感强度为B0的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个矩形区域内，试求这个矩形磁场区域的最小面积Smin。
答案　(1)　(2)0≤y≤
(3)
解析　(1)粒子运动轨迹半径设为r，如图甲所示
根据几何关系可得rsin 60°=a，解得r=a，由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m
解得B=
(2)粒子从y轴上OA之间射出，设A点纵坐标为yA，PA为轨迹圆的直径，如图乙所示，
由几何关系得+a2=(2r)2，解得yA=
可知y轴上有带电粒子穿过的区域范围为0≤y≤
(3)粒子在此磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB0=m
解得r0=
如图丙所示，由几何关系可得矩形磁场区域的最小面积为
Smin=2r0sin 60°·(r0-r0cos 60°)
解得Smin=。
12.(18分)(2025·浙江高二期中)如图所示，以O为圆心，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，a、b为圆的一条直径，纸面内a处有一粒子源，能沿垂直于磁场的各个方向，向磁场发射质量为m、电荷量大小为q、速度不同的负电荷，已知某一从a点沿aOb方向射入磁场的负电荷P，恰好从c点离开磁场，Ob与Oc间夹角α为60°，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。
(1)(6分)求负电荷P射入磁场的初速度大小v0；
(2)(6分)若另一负电荷Q沿与aOb成30°角的方向斜向上射入磁场后仍从c点离开，求电荷Q入射的速度大小和在磁场中运动的时间；
(3)(6分)要使所有负电荷只能从∠aOc所对应的磁场边界射出，求射入负电荷的初速度大小满足的要求。
答案　(1)　(2)　　(3)v≤
解析　(1)作出轨迹图，如图甲所示，
根据几何关系可知电荷P在磁场中做圆周运动的半径
r=R
根据Bqv0=m
解得v0=
(2)电荷Q在磁场中运动轨迹如图乙所示
由几何关系可知Q在磁场中做圆周运动的半径r1=R
根据Bqv1=m
解得v1=
由几何关系可知Q在磁场中做圆周运动的圆心角θ=120°
Q在磁场中运动的时间t=·=
(3)要使所有粒子从∠aOc所对应的磁场边界射出，则弦ac为速度最大的粒子的轨迹的直径，对应的最大半径rm=R
根据Bqvm=m
解得vm=
所以入射的电荷的速度应满足v≤同步练习3　带电粒子在组合场、叠加场和交变电(磁)场中的运动
(时间：60分钟　满分：100分)
一、单项选择题：本题共7小题，每小题6分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某空间存在匀强磁场和匀强电场。一个带电粒子(不计重力)以一定初速度射入该空间后，做匀速直线运动；若仅撤除电场，则该粒子做匀速圆周运动。下列因素与完成上述两类运动有关的是(　　)
A.粒子的质量 B.粒子的电荷量
C.粒子入射时的速度 D.粒子的电性
2.如图所示，空间存在水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、带电荷量大小为q的小球，以初速度v0沿与电场方向成45°角射入场区，能沿直线运动。经过时间t，小球到达C点(图中没标出)，电场方向突然变为竖直向上，电场强度大小不变。已知重力加速度为g，则(　　)
A.小球一定带负电
B.时间t内小球做匀减速直线运动
C.匀强磁场的磁感应强度为
D.电场方向突然变为竖直向上，则小球做匀速圆周运动
3.(2025·连云港市高二期中)如图所示，在长为2L，宽为L的矩形区域内，有相互垂直的匀强电场(图中未画出)和匀强磁场，电场方向沿x轴正方向，磁场方向垂直于xOy平面向里。一质量为m、带电荷量为q的带电粒子从O点沿y轴正方向以一定速度射入，带电粒子沿直线运动，经时间t0从P点射出，若仅撤去电场，带电粒子依然经t0射出矩形区域，不计粒子受到的重力，则匀强磁场的磁感应强度大小为(　　)
A. B.
C. D.
4.(2025·昭通市高二期中)在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的质量相等的离子P和P'，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P、P'在磁场中转过的角度θ分别为30°和60°，则离子P和P'(离子重力忽略不计)(　　)
A.在磁场中运动的半径之比为2∶1
B.在磁场中运动的半径之比为2∶
C.电荷量之比为1∶2
D.电荷量之比为1∶3
5.(2025·山东高二期中)如图所示，某空间存在水平向右的匀强电场和垂直纸面方向的匀强磁场(图中未画出)，一质量为m的带正电粒子恰能以速度v沿图中虚线所示的轨迹做直线运动，粒子的运动轨迹与水平方向的夹角为60°，匀强电场的电场强度大小为E，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A.匀强磁场的方向垂直纸面向外
B.匀强磁场的磁感应强度大小为
C.粒子的电荷量为
D.若粒子运动过程中磁场突然消失，则粒子可能做匀减速直线运动
6.(2025·杭州市高二期中)电磁场可以控制带电粒子的运动。在直角坐标系第一象限内有平行于坐标平面的匀强电场(图中未画出)，在第二象限内有垂直坐标平面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子，在M点沿y轴正方向以速度v0进入磁场，过y轴上的N点后进入电场，运动轨迹与x轴交于P点，并且过P点时速度大小仍为v0。已知M、N、P三点到O点的距离分别为L、L和3L，不计粒子重力，下列说法不正确的是(　　)
A.匀强磁场的磁感应强度大小为
B.粒子过N点时速度方向与y轴正方向的夹角为60°
C.电场强度大小为
D.粒子运动过程中最小速度为v0
7.(2025·辽宁高二期中)如图所示，质量为m、电荷量为q的小圆环套在粗细均匀的固定绝缘竖直杆上，整个装置处在垂直于纸面向里的水平匀强磁场中，磁感应强度大小为B。小圆环与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。已知绝缘杆足够长，现使小圆环从O点以初速度v0向下运动，下列判断正确的是(　　)
A.当小圆环的加速度大小为g时，速度大小一定为
B.若v0=0，则小圆环一直做加速度减小的加速运动
C.若v0=，则小圆环一直做匀速直线运动
D.若v0=，则小圆环运动过程中的最大加速度大小为3g
二、多项选择题：本题共3小题，每小题8分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得8分，选对但不全的得4分，有选错的得0分。
8.如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，一带电液滴从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C点是运动的最低点，阻力不计，以下说法中正确的是(　　)
A.液滴一定带负电
B.液滴在C点时动能最大
C.液滴从A点运动到C点的过程中机械能守恒
D.液滴将由B点返回A点
9.(2025·湖北高二期中)如图所示，虚线MN右侧存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，从MN左侧以初速度v0水平抛出一质量为m、电荷量为-q的带电小球，测得小球进入叠加场前水平位移和竖直位移之比为2∶1，若带电小球进入叠加场后做直线运动，重力加速度为g，则有(　　)
A.小球做平抛运动的时间t=
B.匀强电场的电场强度E=
C.匀强磁场的磁感应强度B=
D.无法确定E、B的大小，但E和B应满足=v0
10.如图，正方形abcd中△abd区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，△bcd区域内有方向平行bc的匀强电场(图中未画出)。一带电粒子从d点沿da方向射入磁场，随后经过bd的中点e进入电场，接着从b点射出电场。不计粒子的重力。则(　　)
A.粒子带正电
B.电场的方向是由b指向c
C.粒子在b点和d点的动能之比为5∶1
D.粒子在磁场和电场中运动的时间之比为π∶2
三、非选择题：本题共2小题，共34分。
11.(16分)(2025·山东高二期中)设在地面上方的真空室内，存在着方向水平向右的匀强电场和方向垂直于纸面向里的匀强磁场，匀强电场的场强E=6 N/C。如图所示，一段光滑且绝缘的圆弧轨道AC固定在纸面内，其圆心为O点，半径R=1.4 m，OA连线在竖直方向上，AC弧对应的圆心角37°。今有电荷量q=+4.5×10-4 C的带电小球，以vA=3.0 m/s的初速度沿水平方向从A点射入圆弧轨道内，一段时间后从C点离开，此后小球做匀速直线运动。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求：
(1)(5分)小球的质量m；
(2)(5分)小球经过C点时的速率；
(3)(6分)小球射入至圆弧轨道A端的瞬间，小球对轨道的压力大小(结果保留2位有效数字)。
12.(18分)如图所示，真空中的立方体边长L=0.8 m，底面中心处有一点状放射源S，S仅在abcO所在平面内向各个方向均匀发射速率均为v=5.0×106 m/s的带正电粒子，平面defg和平面abfe各放有一个荧光屏。现给立方体内施加竖直向上的匀强磁场，使所有粒子恰好能束缚在正方形abcO区域内。已知粒子的比荷=5.0×107 C/kg，粒子打到荧光屏上立即被吸收并发出荧光，不计粒子间的相互作用和重力。
(1)(4分)求匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)(6分)若将abfe屏向左沿-z方向移动0.2 m，求粒子打在abfe屏上的点的x坐标的最大值和最小值；
(3)(8分)若再在正方体内施加一竖直向上的匀强电场，在平面defg内的荧光屏上刚好出现一个半径为0.2 m的圆，求粒子在立方体内可能的运动时间t(结果保留π)。
同步练习3　带电粒子在组合场、叠加场和交变电(磁)场中的运动
(时间：60分钟　满分：100分)
一、单项选择题：本题共7小题，每小题6分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某空间存在匀强磁场和匀强电场。一个带电粒子(不计重力)以一定初速度射入该空间后，做匀速直线运动；若仅撤除电场，则该粒子做匀速圆周运动。下列因素与完成上述两类运动有关的是(　　)
A.粒子的质量 B.粒子的电荷量
C.粒子入射时的速度 D.粒子的电性
答案　C
解析　由题可知，当带电粒子在复合场内做匀速直线运动时，有Eq=qvB，则v=，若仅撤除电场，粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，要满足题意需要对粒子入射时的速度有要求，对粒子的质量、电性和电荷量无要求，故选C。
2.如图所示，空间存在水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、带电荷量大小为q的小球，以初速度v0沿与电场方向成45°角射入场区，能沿直线运动。经过时间t，小球到达C点(图中没标出)，电场方向突然变为竖直向上，电场强度大小不变。已知重力加速度为g，则(　　)
A.小球一定带负电
B.时间t内小球做匀减速直线运动
C.匀强磁场的磁感应强度为
D.电场方向突然变为竖直向上，则小球做匀速圆周运动
答案　D
解析　若小球做变速运动，则洛伦兹力的大小一定改变，而小球沿直线运动，洛伦兹力方向一定不变，则合外力方向一定改变，则小球不可能做变速直线运动，一定做匀速直线运动，故B错误；根据平衡条件可以判断，合力方向必然与速度方向在一条直线上，故静电力水平向右，洛伦兹力斜向左上，故小球一定带正电,故A错误；根据平衡条件qv0B=，解得B=，故C错误；根据平衡条件可知mg=qEtan 45°，电场方向突然变为竖直向上，则静电力竖直向上，与重力恰好平衡，洛伦兹力提供向心力，小球做匀速圆周运动，故D正确。
3.(2025·连云港市高二期中)如图所示，在长为2L，宽为L的矩形区域内，有相互垂直的匀强电场(图中未画出)和匀强磁场，电场方向沿x轴正方向，磁场方向垂直于xOy平面向里。一质量为m、带电荷量为q的带电粒子从O点沿y轴正方向以一定速度射入，带电粒子沿直线运动，经时间t0从P点射出，若仅撤去电场，带电粒子依然经t0射出矩形区域，不计粒子受到的重力，则匀强磁场的磁感应强度大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由于带电粒子沿直线运动，则qvB=Eq，t0=，若撤去电场，洛伦兹力提供向心力qvB=m，带电粒子依然经t0射出矩形区域，则粒子运动轨迹的弧长为L，则粒子一定在x轴上射出磁场，其轨迹为半圆，所以πr=L，联立可得B=，故选C。
4.(2025·昭通市高二期中)在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的质量相等的离子P和P'，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P、P'在磁场中转过的角度θ分别为30°和60°，则离子P和P'(离子重力忽略不计)(　　)
A.在磁场中运动的半径之比为2∶1
B.在磁场中运动的半径之比为2∶
C.电荷量之比为1∶2
D.电荷量之比为1∶3
答案　D
解析　设磁场宽度为L，离子通过磁场转过的角度等于其圆心角θ，根据几何关系可得sin θ=，在磁场中运动的半径R之比为∶1，故A、B错误；带电粒子在加速电场中，由动能定理可得qU=Ek-0=mv2，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力qvB=，整理可得R=，结合半径之比可算得电荷量之比为1∶3，故C错误，D正确。
5.(2025·山东高二期中)如图所示，某空间存在水平向右的匀强电场和垂直纸面方向的匀强磁场(图中未画出)，一质量为m的带正电粒子恰能以速度v沿图中虚线所示的轨迹做直线运动，粒子的运动轨迹与水平方向的夹角为60°，匀强电场的电场强度大小为E，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A.匀强磁场的方向垂直纸面向外
B.匀强磁场的磁感应强度大小为
C.粒子的电荷量为
D.若粒子运动过程中磁场突然消失，则粒子可能做匀减速直线运动
答案　C
解析　带电粒子受到重力、电场力、洛伦兹力，三者平衡；如图，
因重力向下，静电力向右，所以洛伦兹力方向为左上方，根据左手定则可判断匀强磁场的方向垂直纸面向里，故A错误；
由平衡条件可知qvBsin 60°=qE，解得B=，故B错误；
由平衡条件可知tan 30°=，解得q=，故C正确；若粒子运动过程中磁场突然消失，重力和静电力的合力与速度方向垂直且恒定，则粒子做类平抛运动，故D错误。
6.(2025·杭州市高二期中)电磁场可以控制带电粒子的运动。在直角坐标系第一象限内有平行于坐标平面的匀强电场(图中未画出)，在第二象限内有垂直坐标平面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子，在M点沿y轴正方向以速度v0进入磁场，过y轴上的N点后进入电场，运动轨迹与x轴交于P点，并且过P点时速度大小仍为v0。已知M、N、P三点到O点的距离分别为L、L和3L，不计粒子重力，下列说法不正确的是(　　)
A.匀强磁场的磁感应强度大小为
B.粒子过N点时速度方向与y轴正方向的夹角为60°
C.电场强度大小为
D.粒子运动过程中最小速度为v0
答案　A
解析　由几何关系，可知其轨迹与圆心连线满足如图所示关系：
由图可知tan α=，即α=60°，由几何关系可知β=α-30°=30°，θ=60°
其在磁场中运动的半径满足
r2=(L)2+(r-L)2，即r=2L
结合洛伦兹力提供向心力qv0B=
解得B=，故A错误，B正确；
由粒子在N、P两点的速度大小相等，可知NP连线为等势线，结合电场线与等势线的关系及粒子的初速度，可知其电场线方向；由OP间距，ON间距，可知其角度关系如图所示，
由图可知xNP==2L
由粒子在第一象限的受力特点，可知其在从N到P的过程，沿电场方向做匀变速运动，垂直于电场方向做匀速运动；垂直于电场方向xNP=v0sin 30°·t
沿电场方向0=v0cos 30°·t-at2
a=，化简得E=
当粒子在沿电场方向减速到0时，速度最小，此时速度为vmin=v0sin 30°=v0，故C、D正确。
7.(2025·辽宁高二期中)如图所示，质量为m、电荷量为q的小圆环套在粗细均匀的固定绝缘竖直杆上，整个装置处在垂直于纸面向里的水平匀强磁场中，磁感应强度大小为B。小圆环与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。已知绝缘杆足够长，现使小圆环从O点以初速度v0向下运动，下列判断正确的是(　　)
A.当小圆环的加速度大小为g时，速度大小一定为
B.若v0=0，则小圆环一直做加速度减小的加速运动
C.若v0=，则小圆环一直做匀速直线运动
D.若v0=，则小圆环运动过程中的最大加速度大小为3g
答案　C
解析　小圆环开始时受水平方向的洛伦兹力、重力、弹力及摩擦力，若开始时重力大于摩擦力，则某时刻圆环的加速度应为a==g-，随速度增加，加速度减小，当加速度减小为零时，匀速下滑，当小圆环的加速度大小为g时，即g=g-，解得v=，若开始时重力小于摩擦力，则小圆环做减速运动，某时刻小球的加速度应为a==-g，当加速度减为零时做匀速运动，则当小圆环的加速度大小为g时，即g=-g，解得v=，选项A错误；
若v0=0，则小圆环开始时受摩擦力为零，则向下加速运动，随速度的增加，洛伦兹力变大，摩擦力变大，加速度减小，即圆环做加速度减小的加速运动，当加速度减为零时做匀速运动，选项B错误；
若v0=，即mg=μqv0B，可知小圆环一直做匀速直线运动，选项C正确；
若v0=，则mg=μqv0B，小圆环做加速度减小的减速运动，开始时的加速度最大，则运动过程中的最大加速度大小为am==2g，选项D错误。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题8分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得8分，选对但不全的得4分，有选错的得0分。
8.如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，一带电液滴从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C点是运动的最低点，阻力不计，以下说法中正确的是(　　)
A.液滴一定带负电
B.液滴在C点时动能最大
C.液滴从A点运动到C点的过程中机械能守恒
D.液滴将由B点返回A点
答案　AB
解析　从题图中可以看出，带电液滴由静止开始向下运动，说明重力和静电力的合力向下，洛伦兹力指向弧内，根据左手定则可知，液滴带负电，故A正确；从A到C的过程中，重力和静电力的合力做正功，洛伦兹力不做功，动能增大，从C到B的过程中，重力和静电力的合力做负功，洛伦兹力不做功，动能减小，所以液滴在C点动能最大，故B正确；从A点运动到C点的过程中，除液滴重力做功外，还有静电力做功，机械能不守恒，故C错误；液滴到达B点处后，向右重复类似于A→C→B的运动，不会由B点返回A点，故D错误。
9.(2025·湖北高二期中)如图所示，虚线MN右侧存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，从MN左侧以初速度v0水平抛出一质量为m、电荷量为-q的带电小球，测得小球进入叠加场前水平位移和竖直位移之比为2∶1，若带电小球进入叠加场后做直线运动，重力加速度为g，则有(　　)
A.小球做平抛运动的时间t=
B.匀强电场的电场强度E=
C.匀强磁场的磁感应强度B=
D.无法确定E、B的大小，但E和B应满足=v0
答案　BC
解析　小球在进入叠加场前做平抛运动，则根据平抛运动在不同方向上的运动特点和几何关系可得===得t=，故A错误；
小球进入叠加场后受力分析如图所示，根据平抛运动推论tan α=2tan θ=1，qE=mg得E=，故B正确；
由于小球进入叠加场后做直线运动，所受重力、电场力的合力大小等于洛伦兹力，则有qvB=，又v=，联立解得B=，所以能确定E、B的大小，故C正确，D错误。
10.如图，正方形abcd中△abd区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，△bcd区域内有方向平行bc的匀强电场(图中未画出)。一带电粒子从d点沿da方向射入磁场，随后经过bd的中点e进入电场，接着从b点射出电场。不计粒子的重力。则(　　)
A.粒子带正电
B.电场的方向是由b指向c
C.粒子在b点和d点的动能之比为5∶1
D.粒子在磁场和电场中运动的时间之比为π∶2
答案　BCD
解析　根据粒子在磁场中受洛伦兹力而从d点进e点出，由左手定则知粒子带负电，A错误；根据磁场中运动的对称性可知e点的速度大小等于d点的速度v0，方向与bd成45°角，即水平向右，而电场线沿bc方向，则粒子做类平抛运动，由题意可知该带负电粒子受到的静电力向上，则电场方向由b指向c，B正确；粒子从d到e做匀速圆周运动，速度的大小不变，而从e到b做类平抛运动，水平位移等于竖直位移，则到达b点的竖直速度vy=2v0，合速度为vb=v0，则粒子在b点和d点的动能之比为m∶m=5∶1，C正确；设正方形边长为L，由几何关系可知t磁===，粒子在电场中的水平分运动是匀速直线运动，则t电==，故=，D正确。
三、非选择题：本题共2小题，共34分。
11.(16分)(2025·山东高二期中)设在地面上方的真空室内，存在着方向水平向右的匀强电场和方向垂直于纸面向里的匀强磁场，匀强电场的场强E=6 N/C。如图所示，一段光滑且绝缘的圆弧轨道AC固定在纸面内，其圆心为O点，半径R=1.4 m，OA连线在竖直方向上，AC弧对应的圆心角37°。今有电荷量q=+4.5×10-4 C的带电小球，以vA=3.0 m/s的初速度沿水平方向从A点射入圆弧轨道内，一段时间后从C点离开，此后小球做匀速直线运动。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求：
(1)(5分)小球的质量m；
(2)(5分)小球经过C点时的速率；
(3)(6分)小球射入至圆弧轨道A端的瞬间，小球对轨道的压力大小(结果保留2位有效数字)。
答案　(1)3.6×10-4 kg　(2)4 m/s　(3)2.5×10-3 N
解析　(1)当小球离开圆弧轨道后，对其受力分析如图所示
由平衡条件得F电=qE=mgtan θ，代入数据解得m=3.6×10-4 kg
(2)小球从进入圆弧轨道到离开圆弧轨道的过程中，由动能定理得qERsin θ-mgR(1-cos θ)=m-m
代入数据得vC=4 m/s
(3)根据小球经过C点时的受力分析图可知F洛=qvCB=，解得B=2.5 T，分析小球经过A处时，由牛顿第二定律可知FN+qvAB-mg=m，代入数据得FN≈2.5×10-3 N，由牛顿第三定律得，小球对轨道的压力大小为FN'≈2.5×10-3 N。
12.(18分)如图所示，真空中的立方体边长L=0.8 m，底面中心处有一点状放射源S，S仅在abcO所在平面内向各个方向均匀发射速率均为v=5.0×106 m/s的带正电粒子，平面defg和平面abfe各放有一个荧光屏。现给立方体内施加竖直向上的匀强磁场，使所有粒子恰好能束缚在正方形abcO区域内。已知粒子的比荷=5.0×107 C/kg，粒子打到荧光屏上立即被吸收并发出荧光，不计粒子间的相互作用和重力。
(1)(4分)求匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)(6分)若将abfe屏向左沿-z方向移动0.2 m，求粒子打在abfe屏上的点的x坐标的最大值和最小值；
(3)(8分)若再在正方体内施加一竖直向上的匀强电场，在平面defg内的荧光屏上刚好出现一个半径为0.2 m的圆，求粒子在立方体内可能的运动时间t(结果保留π)。
答案　(1)0.5 T　(2) m　0.2 m
(3)见解析
解析　(1)依题意，粒子恰好能束缚在正方形abcO区域内，其轨迹圆的半径为r==0.2 m
又qvB=m，解得B=0.5 T
(2)粒子运动的俯视图如图所示
当SP1为直径时，x坐标为最大值xmax=2rcos 30°+2r= m
当与abfe面相切时，x坐标为最小值xmin=r=0.2 m
(3)粒子运动的周期T=
根据几何关系，所用时间
t1=nT+(n=0，1，2…)
t2=nT+(n=0，1，2…)
解得t1=8π(n+)×10-8 s(n=0，1，2…)
t2=8π(n+)×10-8 s(n=0，1，2…)。

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