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题型突破10 菱形常考的3大题型
题型一．菱形的性质
1．（2025春 义乌市校级期中）已知菱形的周长为20，其中一条对角线的为8，则另一条对角线的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】设菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且菱形ABCD的周长为20，AC＝8，可求得AB＝5，OA＝OC＝4，由AC⊥BD，得∠AOB＝90°，则OD＝OB3，所以BD＝2OB＝6，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且菱形ABCD的周长为20，AC＝8，
∵AB＝AD＝CD＝CB，且AB+AD+CD+CB＝20，
∴4AB＝20，
∴AB＝5，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OCAC＝4，
∴OD＝OB3，
∴BD＝2OB＝6，
∴另一条对角线的长为6，故选：C．
2．（2025 安陆市校级模拟）在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　）
A．70° B．40° C．75° D．30°
【答案】A
【分析】利用菱形的性质和等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：在菱形ABCD∵∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝40°．
∵BA＝BE，∴∠BAE70°．故选：A．
3．（2025春 玉环市期中）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC＝6，BD＝8，则OM的长为（　　）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，根据勾股定理得AB＝5，由点M为AB的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得OM，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OA＝OCAC6＝3，OB＝ODBD8＝4，
∴∠AOB＝90°，
∴AB5，
∵点M为AB的中点，
∴OMAB5，故选：A．
4．（2025春 杭州期中）如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，连结BD．若BD＝24，AD＝13，则CE的长为（　　）
A． B． C．10 D．12
【答案】B
【分析】首先，利用菱形对角线互相垂直平分的性质和已知边长计算出对角线AC的长度；然后，利用菱形面积的两种计算方法，通过已知的面积和边长求解CE的长度．
【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴，OB＝ODBD＝12，AC⊥BD，AB＝AD＝13，
∴∠AOB＝90°，
∴OA5，
∴AC＝10，
∵菱形的面积＝AB．CEAC BD，即13×CE10×24，解得：CE，故选：B．
5．（2026春 钱塘区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．48 B．60 C．96 D．192
【答案】C
【分析】利用菱形的性质，直角三角形的性质，可求解．
【解答】解：∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB，
∵DE⊥AB，
∴OE＝OB＝OD＝6，
∵AO2＝AB2﹣OB2＝102﹣62，
∴AO＝8，
∴AC＝16，
∵BD＝12，
∴菱形ABCD的面积为：AC BD16×12＝96．故选：C．
6．（2025春 建德市校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
【答案】A
【分析】根据面积等式求线段长度等知识，先求出菱形的面积，再利用勾股定理求出BC的长，利用菱形面积为△ABC面积的两倍求出AE即可．
【解答】解：四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OC＝OAAC＝3，OB＝ODBD＝4，
∴∠BOC＝90°，
在直角三角形BOC中，由勾股定理得：BC5，
∵AE⊥BC于点E，
∴S菱形ABCD＝2S△ABC＝2BC AE＝5AE，
∵S菱形ABCDAC BD＝24，
∴5AE＝24，∴AE，故选：A．
7．（2026春 拱墅区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，连接CE、BE，且BE＝CD，设∠A＝β，∠DCE＝α，则关系正确的是（　　）
A．α+β＝90° B．2β+3α＝180°
C．2β﹣α＝90° D．3β﹣2α＝180°
【答案】D
【分析】由菱形性质得AB＝BC＝CD，∠BCD＝∠A＝β，AD∥BC，由此得∠BCE＝β﹣α，再根据BE＝CD得BE＝AB＝BC，进而得∠BEA＝∠A＝β，∠BEC＝∠BCE＝β﹣α，然后由AD∥BC得∠EBC＝∠BEA＝β，在△BCE中，由三角形内角和定理得∠EBC+∠BEC+∠BCE＝180°，据此即可得出α与β的关系．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且∠A＝β，
∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝∠A＝β，AD∥BC，
∵∠DCE＝α，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝β﹣α，
∵BE＝CD，
∴BE＝AB＝BC，
∴△ABE和△BCE都是等腰三角形，
∴∠BEA＝∠A＝β，∠BEC＝∠BCE＝β﹣α，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠BEA＝β，
在△BCE中，∠EBC+∠BEC+∠BCE＝180°，
∴β+β﹣α+β﹣α＝180°，
∴3β﹣2α＝180°．故选：D．
8．（2026春 江北区校级期中）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】连接AC交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠ADC＝∠ABC＝80°，∠DCE＝80°，∠DHC＝90°，
又∵∠ECM＝30°，
∴∠DCF＝50°，
∵DF⊥CM，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝40°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC＝40°，
在△CDH和△CDF中，，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DH＝DF，
∴DB＝2DH＝2．故选：B．
9．（2025春 临平区月考）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCA＝26°时，则∠ADC的度数为（　　）
A．26° B．52° C．128° D．154°
【答案】C
【分析】先根据菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，得∠BCD＝2∠BCA＝52°，再根据菱形的邻角互补即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCA＝26°，
∴∠BCD＝2∠BCA＝2×26°＝52°，∠BCD+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝128°，故选：C．
10．（2025春 西湖区校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，点P从点B出发，沿折线B﹣C﹣D方向移动，移动到点D停止，连结AP，DP．在△DAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（　　）
A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③①
【答案】A
【分析】作AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，连接BD、AC、DF，则∠AED＝∠AFB＝90°，由菱形的性质得CD＝AD＝AB＝BC，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝120°，则∠ADC＝60°，所以△ADC和△ABC都是等边三角形，求得∠BAF＝30°，则∠DAF＝90°，当点P与分别与点B、F、C、E重合时，△DAP依次为等腰三角形、直角三角形、等边三角形、直角三角形，于是得到问题的答案．
【解答】解：作AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，连接BD、AC、DF，则∠AED＝∠AFB＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，
∴CD＝AD＝AB＝BC，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠ADC＝∠ABC＝180°﹣∠BCD＝60°，
∴△ADC和△ABC都是等边三角形，
∵∠BAF＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝90°，
∴当点P与点B重合时，△DAP为等腰三角形；
当点P与点F重合时，△DAP为直角三角形；
当点P与点C重合时，△DAP为等边三角形；
当点P与点E重重时，△DAP为直角三角形，
故选：A．
11．（2025春 德清县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的边长为 　6　 ．
【答案】6．
【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴△AOD为直角三角形．
∵OE＝3，且点E为线段AD的中点，
∴AD＝2OE＝6．
∴菱形ABCD的边长为6，故答案为：6．
12．（2025春 宁海县期末）如图，BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，交BD于点F，若∠C＝140°，则∠BFA＝　110°　 ．
【答案】110°．
【分析】由菱形的性质可得∠ABC＝40°，∠CBD＝20°，由余角的性质可求∠BFE的度数，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C＝140°，
∴∠ABC＝40°，∠CBD＝20°，
∵AE⊥BC，
∴∠BFE＝70°，
∴∠BFA＝110°，故答案为：110°．
13．（2025春 椒江区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接OE，若AB＝5，AC＝8，则OE＝　3　 ．
【答案】3．
【分析】由菱形的性质可得 AB＝5，AO＝CO＝4，BO＝DO，AC⊥BD，由勾股定理可求BO的长，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝5，AO＝CO＝4，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO3，
∴BD＝6，
∵DE⊥AB，BO＝DO，
∴OEBD＝3，故答案为：3．
14．（2025春 拱墅区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若5BE＝3CD，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则菱形ABCD的面积为 　24　 ．
【答案】24．
【分析】BE＝3x，CD＝5x，由菱形的性质推出AD＝CD＝5x，OB＝OD，AC＝2AO，由等角对等边推出DE＝AD＝5x，得到3x+1＝5x﹣1，求出x＝1，得到OD＝4，AD＝5，由勾股定理求出AO＝3，得到BD＝8，AC＝6，于是得到菱形ABCD的面积AC BD＝24．
【解答】解：∵5BE＝3CD，
∴BE：CD＝3：5，
令BE＝3x，CD＝5x，
∴OB＝BE+OE＝3x+1
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝5x，OB＝OD，AC＝2AO，
∵∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD＝5x，
∴OD＝DE﹣OE＝5x﹣1，
∴3x+1＝5x﹣1，
∴x＝1，
∴OD＝5x﹣1＝4，AD＝5x＝5，
∴AO3，
∵BD＝2OD＝8，AC＝2AO＝6，
∴菱形ABCD的面积AC BD6×8＝24．故答案为：24．
15．（2025春 慈溪市校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，点G、E、F分别是BD、AB、AD上的点，若GE+GF＝3，则AE+AF的值是　　 ．
【答案】．
【分析】连接AC，过A作AM⊥BC于M，在BC上截取BK＝BE，连接GK，由菱形的性质推出∠ABC＝∠CBD，BC＝BA，BC∥AD，判定△BGK≌△BGE（SAS），推出GK＝GE，∠BEG＝∠BKG，得到GF+GK＝3，判定△ABC是等边三角形，求出，判定F、G、K共线，且FK⊥BC，由菱形的性质推出，，求 出，得到，于是．
【解答】解：连接AC，过A作AM⊥BC于M，在BC上截取BK＝BE，连接GK，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠CBD，BC＝BA，BC∥AD，
在△BGK与△BGE中，，
∴△BGK≌△BGE（SAS），
∴GK＝GE，∠BEG＝∠BKG，
∵GF+GE＝3，
∴GF+GK＝3，
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴，
∴GF+GK＝AM，
∴F、G、K共线，且FK⊥BC，
∴∠BEG＝∠BKG＝90°，
∵AD∥BC，
∴FK⊥AD，
∴∠GFD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴；故答案为：．
16．（2025春 嵊州市期末）如图，菱形ABCD的边长为5，点E在边AB上，连结CE，过点D作DF⊥CE于点F，CE，DF将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若EC＝DF+2，则线段AE的长度为 　　 ．
【答案】．
【分析】由题中的两个图可得：EF＝CF，如图1，过点D作DM⊥AB于点M，过点C作CN⊥AB于N，连接DE，设DF＝2x，AM＝a，根据勾股定理得：DF2+CF2＝CD2，列方程即可得x＝2，证明四边形DMNC是矩形，由勾股定理即可解答．
【解答】解：由题中的两个图可得：EF＝CF，
如图1，过点D作DM⊥AB于点M，过点C作CN⊥AB于N，连接DE，
设DF＝2x，AM＝a，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝BC＝5，AD∥BC，CD∥AB，
∵EF＝CF，DF⊥CE，
∴CD＝DE＝5，
∴AD＝DE，
∵DM⊥AB，
∴AM＝EM＝a，
∵EC＝DF+2＝2x+2，
∴CF＝x+1，
在Rt△DFC中，DF2+CF2＝CD2，
∴（2x）2+（x+1）2＝52，
∴5x2+2x﹣24＝0，解得：x1＝2，x2（舍），
∴CE＝6，
∵CD∥AB，DM⊥AB，CN⊥AB，
∴∠DMN＝∠N＝∠NCD＝90°，
∴四边形DMNC是矩形，
∴CD＝MN＝5，
∴EN＝5﹣a，
∵DM2＝CN2，
∴AD2﹣AM2＝CE2﹣EN2，
∴52﹣a2＝62﹣（5﹣a）2，
∴a，
∴AE＝2a，故答案为：．
17．（2025春 杭州校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC，AP＝a，PF＝b，PE＝c，则a，b，c满足的数量关系式为 a2＝b2﹣bc+c2 ．
【答案】a2＝b2﹣bc+c2．
【分析】过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，由“SAS”证得△APD≌△CPD，得出AP＝CP＝a，易证四边形PECF是平行四边形，得出PE＝CF＝c，由含30°角的直角三角形性质得出FHa，再由勾股定理求出PHb，推出CHc，最后由勾股定理即可得出结果．
【解答】解：如图，连接PC，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
在△APD和△CPD中，，
∴△APD≌△CPD（SAS），
∴AP＝CP＝a，
∵PE∥BC，PF∥DC，
∴四边形PECF是平行四边形，
∴PE＝CF＝c，
∵AB∥CD，
∴PF∥AB，
∴∠PFC＝∠ABC＝60°，
∵PH⊥BC，
∴∠FPH＝30°，
∴FHPF，PHb，
∴CH＝FH﹣CFc，
∵PC2＝CH2+PH2，
∴a2＝（c）2+（b）2，
∴a2＝b2﹣bc+c2．故答案为：a2＝b2﹣bc+c2．
18．（2025春 镇海区校级月考）如图，点D，F把线段BH分成三条线段BD，DF，FH，分别以这三条线段为一条对角线作菱形ABCD，菱形DEFG，菱形FMHN，连结CE，EM，MG，GC组成四边形CEMG．若菱形DEFG的边长为17，BH＝44，DF＝30，则四边形CEMG的面积是　296　 ．
【答案】296．
【分析】连接EG交BH于O，连接AC交BH于K，连接MN交BH于P．设BD＝a，FH＝b．根据S四边形ECGM＝S△CEG+S△EGM，计算即可．
【解答】解：连接EG交BH于O，连接AC交BH于K，连接MN交BH于P．设BD＝a，FH＝b．
在菱形ABCD、菱形DEFG、菱形FMHN中，
∴AC⊥BD，EG⊥BH，MN⊥BH，BK＝DKa，PF＝PHb，
∵BH＝44，DF＝30，
∴a+b＝14，OD＝OF＝15，
∵EF＝17，
∴OE8，
∴EG＝16，
∴S四边形ECGM＝S△CEG+S△EGM16×（15a）16×（15b）＝8（15+15ab）＝8×（30+7）＝296，故答案为：296．
19．（2025春 杭州期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝72°，以点A为圆心，AB为半径画弧线，分别交BC，CD于点F，E，连接AE，AF，EF，BD．
（1）求∠EAF度数；
（2）求证：BD∥EF．
【分析】（1）由菱形的性质推出AB＝AD，AD∥BC，∠ADC＝∠ABF＝72°，由等腰三角形的性质推出∠AFB＝∠ABF＝72°，由三角形内角和定理求出∠BAF＝36°，同理：∠DAE＝36°，由平行线的性质求出∠BAD＝108°，即可得到∠EAF的度数；
（2）由等腰三角形的性质得到∠AFE＝∠AEF＝72°，由菱形的性质推出∠ABM∠ABC＝36°，由三角形的外角性质得到∠AMN＝∠ABM+∠BAM＝72°，因此∠AMN＝∠AFE，推出BD∥EF．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，∠ADC＝∠ABF＝72°，
由题意得到AF＝AE＝AB，
∴∠AFB＝∠ABF＝72°，
∴∠BAF＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
同理：∠DAE＝36°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠BAD＝108°，
∴∠EAF＝108°﹣36°﹣36°＝36°；
（2）证明：∵AE＝AF，∠EAF＝36°，
∴∠AFE＝∠AEF（180°﹣36°）＝72°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABM∠ABC72°＝36°，
∵∠BAF＝36°，
∴∠AMN＝∠ABM+∠BAM＝72°，
∴∠AMN＝∠AFE，
∴BD∥EF．
20．（2025春 吴兴区期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，连结FD，FE．
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形．
（2）连结BF，若四边形BEFD是菱形，BF＝12，AC＝8，求EF的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理可求DF∥BC，EF∥BA，即可求解；
（2）由菱形的性质可得BE＝BD，可证BC＝AB，由等腰三角形的性质可得BF⊥AC，AF＝CF＝4，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，
∴DF∥BC，EF∥BA，
∴四边形BEFD是平行四边形；
（2）解：∵四边形BEFD是菱形，
∴BE＝BD，
∵D，E分别是边AB，BC的中点，
∴AD＝BD，BE＝EC，
∴BC＝BA，
∵F是边CA的中点，
∴BF⊥AC，AF＝CF＝4，
在Rt△BFC中，BF＝12，FC＝4，
∴4，
∴EF＝2．
21．（2025春 杭州月考）如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，BD＝6．求：
（1）∠BAD的度数．
（2）若DH⊥BC，求线段AC和DH的长．
【分析】（1）根据菱形的性质求解即可；
（2）结合菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理求出AC＝6，再根据菱形的面积求解即可．
【解答】解：（1）在菱形ABCD中，∠ACD＝∠ACB，∠BAD＝∠BCD，
∵∠ACD＝30°，
∴∠BCD＝2×30°＝60°，
∴∠BAD＝60°；
（2）在菱形ABCD中，AC⊥BD，∠ACD＝∠ACB，∠BAD＝∠BCD，AB＝AD＝BC，OB＝ODBD，OA＝OC，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝6，
根据勾股定理，得，
∴，
∴菱形ABCD的面积，
∵DH⊥BC，且BC＝AB＝6，
∴菱形ABC的面积＝BC DH＝6DH，
∴，
∴．
题型二．菱形的判定
22．（2025春 舟山期末）已知在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　）
A．AD＝AB B．∠ADB＝∠CDB C．OA＝OB D．AC⊥BD
【答案】C
【分析】由菱形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形判定 ABCD是菱形，故A不符合题意；
B、由四边形ABCD是平行四边形，推出AB∥CD，得到∠ABD＝∠CDB，因此∠ABD＝∠ADB，得到AB＝AD，判定 ABCD是菱形，故B不符合题意；
C、由四边形ABCD是平行四边形，推出AC＝2OA，BD＝2OB，得到AC＝BD，判定 ABCD是矩形，不一定是菱形，故C符合题意；
D、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定 ABCD是菱形，故D不符合题意．
故选：C．
23．（2026春 鼓楼区校级期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则添加下列条件，能使四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．∠A＝90° B．AC⊥BD C．AC＝DB D．CD＝AB
【答案】B
【分析】根据已知条件判定四边形ABCD是平行四边形，再结合菱形的判定定理判断选项即可．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，四边形内角和为360°，
∴2（∠A+∠B）＝360°，即∠A+∠B＝180°，
可得AD∥BC，同理可得AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
对各选项分析如下：
选项A：若∠A＝90°，平行四边形ABCD是矩形，不能判定为菱形；
选项B：AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故平行四边形ABCD是菱形，符合要求；
选项C：若AC＝DB，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定为菱形；
选项D：平行四边形对边本来相等，CD＝AB是平行四边形的固有性质，无法判定为菱形，
故选：B．
24．（2025 广州校级二模）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　）
A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC
C．∠A＝90° D．点D为BC的中点
【答案】A
【分析】先证四边形AFDE是平行四边形，然后逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
如图，连接AD，
∴三角形ADE和三角形ADF的面积相等，
∴当点D在∠BAC的平分线上，点D到AE，AF的距离相等，
∴AF＝AE，
∴平行四边形AFDE是菱形；
B，D不能得平行四边形AFDE是菱形；
C能得平行四边形AFDE是矩形；
故选：A．
25．（2025春 颍上县期末）在如图的方格纸中有一个四边形ABCD（A，B，C，D四点均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长都为1，则关于四边形ABCD的以下说法，错误的是（　　）
A．四边形ABCD是菱形 B．边长
C．四边形ABCD的面积是12 D．∠ABC＝∠ADC＝60°
【答案】D
【分析】由勾股定理和网格的特点可知，据此可判断A、B；再由AC＝4，BD＝12，根据菱形面积计算公式可判断C；由于AB＝BC≠AC，则△ABC不是等边三角形，据此可判断D．
【解答】解；∵方格纸中每个小正方形的边长都为1，
由勾股定理得：，
故B说法正确，该选项不符合题意；
∴四边形ABCD是菱形，
故A说法正确，该选项不符合题意；
∵AC＝4，BD＝12，
∴，
故C说法正确，该选项不符合题意；
∵AB＝BC≠AC，
∴△ABC不是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ADC≠60°，
故D说法错误，该选项符合题意；
故选：D．
26．（2025春 广阳区校级期中）在平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠BAC＞90°．要求在边BC，AD上分别找到点M，N，使四边形AMCN是菱形．下面有两种方案，下列判断正确的是（　　）
A．只有方案I可行 B．只有方案Ⅱ可行
C．方案I、Ⅱ都可行 D．方案I、Ⅱ都不可行
【答案】A
【分析】方案I：设AC与MN相交于点O，证明△OCM≌△OCN（ASA），得出CM＝CN，从而得出CM＝CN＝AM＝AN，即可得出四边形AMCN为菱形；方案II：△BAM≌△DCN（ASA）得出∠BMA＝∠DNC，证明出AM∥CN，即可四边形AMCN为平行四边形，但不能判断四边形AMCN为菱形．
【解答】解：方案I：设AC与MN相交于点O，
∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴AM＝MC，AN＝NC，CO⊥MN，
∴∠DAC＝∠NCA，∠COM＝∠CON＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠MCO＝∠NCO，
∵OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（ASA），
∴CM＝CN，
∴CM＝CN＝AM＝AN，
∴四边形AMCN为菱形；
方案II：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，
∵AM平分∠BAD，AN平分∠BCD，
∴∠BAM＝∠DCN
在△BAM和△DCN中，，
∴△BAM≌△DCN（ASA），
∴∠BMA＝∠DNC，
∵AD∥BC，
∴∠BMA＝∠DAM，
∴∠DNC＝∠DAM，
∴AM∥CN，
∴四边形AMCN为平行四边形，不能判断四边形AMCN为菱形；
综上所述，只有方案I可行，故选：A．
27．（2025春 安定区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，分别延长AD，CB至点F、E，使BE＝DF，连接AE、CF，请再添加一个条件：AE＝EC（答案不唯一）　 ，使四边形AECF是菱形．
【答案】AE＝EC（答案不唯一）．
【分析】由平行四边形性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AF＝EC，然后由平行四边形的判定即可得出四边形AECF是平行四边形，根据菱形的判定可得出结论．
【解答】解：AE＝EC（答案不唯一）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴CE＝AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝EC，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：AE＝EC（答案不唯一）．
28．（2025春 仁和区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作 CDEB，当AD＝ 　　 ， CDEB为菱形．
【答案】．
【分析】首先根据勾股定理求得AB＝10，由菱形的性质可得OD＝OB，CD＝CB，根据勾股定理可得OB的值，由AD＝AB﹣2OB可求AD的长．
【解答】解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB10，
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB．
∵AB OCAC BC，
∴OC．
∴OB，
∴AD＝AB﹣2OB，故答案为：．
29．（2025春 炎陵县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，从①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD是菱形，则应选择　①③　 （限填序号）．
【答案】①③．
【分析】有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案．
【解答】解：添加条件①时，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故①符合题意；
添加条件②时，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴不能得到四边形ABCD是菱形，故②不符合题意；
添加条件③时，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故③符合题意；
故答案为：①③．
30．（2025春 海珠区校级期中）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为菱形，则四边形ABCD需满足的条件是AB＝CD ．
【答案】AB＝CD．
【分析】根据三角形中位线定理得到EN＝FMAB，FN＝EMCD，则可证明四边形EMFN为平行四边形，当EN＝FN，即AB＝CD，则此时平行四边形EMFN是菱形，据此可得答案．
【解答】解：四边形ABCD需满足的条件是AB＝CD，
理由：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，
∴AE＝DE，BN＝DN，AM＝CM，BF＝CF，∴EN、NF、FM、EM分别为△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线，
∴EN＝FMAB，FN＝EMCD，
∴四边形EMFN为平行四边形，
当EN＝FN，即AB＝CD，则此时平行四边形EMFN是菱形，
故答案为：AB＝CD．
31．（2025春 盖州市期中）如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动，在此运动过程中，四边形PQCD是平行四边形出现　3　 次．当P出发　6　 秒时，四边形PQCD是菱形．
【答案】3，6．
【分析】由已知可得，P从A到D需12s，Q从C到B（或从B到C）需4s，设P，Q运动时间为ts，分三种情况画出图形：①当0≤t≤4时，当四边形CQPD是平行四边形时，t+3t＝12，得t＝3；②当4＜t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，可得3（t﹣4）＝t，t＝6；③当8＜t≤12时，若四边形CQPD是平行四边形，3（t﹣8）＝12﹣t，得t＝9，即可得到答案．
【解答】解：由已知可得，P从A到D需12s，Q从C到B（或从B到C）需4s，
设P，Q运动时间为ts，
①当0≤t≤4时，四边形CQPD是平行四边形时，如图：
此时PD＝CQ＝3tcm，
∴t+3t＝12，解得t＝3，
∴t为1.5s或3s时，PQ＝CD；
②当4＜t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，如图：
此时BQ＝3（t﹣4）cm，AP＝tcm，
∵AD＝BC，PD＝CQ，
∴BQ＝AP，
∴3（t﹣4）＝t，解得t＝6；
③当8＜t≤12时，若四边形CQPD是平行四边形，如图：
此时CQ＝3（t﹣8），PD＝12﹣t，
∴3（t﹣8）＝12﹣t，解得t＝9，
∴t为9s时，PQ＝CD；
综上所述，t为1.5s或3s或6s或9s时，四边形CQPD是平行四边形；
当PD＝CD时，即12﹣t＝6，
解得t＝6，
∴P出发6秒时，四边形PQCD是菱形．故答案为：3，6．
32．（2025 泰和县校级模拟）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（﹣3，0），AD＝6．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线AB上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为 　（3，8）或或　 ．
【答案】（3，8）或或．
【分析】分情况：①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时；②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时；③AC是对角线时，作AC垂直平分线交射线AB于点F3；④AF是对角线时，AF的垂直平分线经过点C，分别求出即可．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵A（0，4），B（﹣3，0），AD＝6，
∴OB＝3，OC＝3，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（0，4），B（﹣3，0）代入，解得：，
∴直线AB的解析式为，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，，
所以点F与B重合，
即F1（﹣3，0），由题意舍去，
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，
∴M在射线AD上，且AD垂直平分FC，
∴F2（3，8）；
③AC是对角线时，作AC垂直平分线交射线AB于点F3，设，
∵A（0，4），C（3，0），
∴AC的中点，
∵AN2+NF2＝AF2，
∴，
解得：，∴，
④AF是对角线时，AF的垂直平分线经过点C，设，
∵A（0，4），C（3，0），∴AF的中点，
在Rt△AGF中，AG2+CG2＝AC2，
∴，
解得：或m＝0（不合题意舍去），∴，
综上，点F的坐标为（3，8）或或．
故答案为：（3，8）或或．
33．（2025春 中山市期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝4，BD＝2，，求证： ABCD是菱形．
【分析】根据平行四边形的性质得到OCAC＝3＝2，OBBD＝1，根据勾股定理的逆定理得到∠BOC＝90°，根据菱形的判定定理得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OCAC＝3＝2，OBBD＝1，
∵OB2+OC2＝12+22＝5＝BC2，
∴∠BOC＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形．
34．（2026 秦淮区一模）如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，F是边BC上一点，EF∥CD．求证：四边形ABFE是菱形．
【分析】先证明四边形ABFE是平行四边形，再证明AB＝AE，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠FBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
35．（2025春 大丰区期中）已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是菱形．
【分析】先由已知条件证明四边形OBEC是平行四边形，再由矩形的性质得出OB＝OC，由菱形的判定方法即可得出结论．
【解答】证明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OCAC，OBBD，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∴四边形OBEC是菱形．
36．（2024秋 万安县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．求证：四边形ADCF是菱形．
【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可得ADBC＝BD＝CD，然后由全等三角形判定与性质可得AF＝BD＝CD，最后根据菱形的判定方法可得结论．
【解答】证明：在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴ADBC＝BD＝CD，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AFE和△DBE中，，
∴△AFE≌△DBE（ASA），
∴AF＝BD＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴四边形ADCF是菱形．
37．（2025春 渭城区校级月考）求证：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．
如图，已知①AB⊥BD ，垂足为O，OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA．
求证：②　四边形ABCD是菱形　 ．
嘉琪同学画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你帮助嘉琪补全已知和求证，并写出证明过程．
【分析】根据菱形的判定定理即可证得结论．
【解答】解：已知：AB⊥BD，垂足为O，OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA．
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：①AB⊥BD，②四边形ABCD是菱形．
38．（2025春 长宁区校级期中）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H，联结EH、FG．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．
【分析】（1）利用平行四边形性质及中点性质可证得四边形AECF是平行四边形，进而证得△DFH≌△BEG（ASA），得出FH＝EG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明四边形EGFH是平行四边形；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求证．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠BEG＝∠DCE，∠FDH＝∠EBG，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴DF＝FC＝AE＝EB，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE，
∴∠DFH＝∠DCE，
∴∠DFH＝∠BEG，
∴△DFH≌△BEG（ASA），
∴FH＝EG，
∵FH∥EG，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）证明：由（1）知，四边形EGFH是平行四边形．
∵点E、O分别是AB、BD的中点，
∴OE∥AD．
∵AD⊥BD，
∴EF⊥GH．
∴ HEGF是菱形．
39．（2025春 长安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为边AB、AC上的点，DE∥BC，联结BE，点G为BE的中点，联结DG，并延长交边BC于F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）如果∠C＝2∠BEF，求证：四边形DBFE是菱形．
证明：
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DEG＝∠FBG，∠EDG＝∠BFG，由AAS定理证明，△DEG≌△FBG，得到DE＝FB，根据平行四边形的判定即可证的结论；
（2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质证得∠EFC＝∠C，由三角形外角定理与已知条件证得∠BEF＝∠EBF，得到BF＝EF，即可证的结论．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，
∴∠DEG＝∠FBG，∠EDG＝∠BFG，DE∥FB，
∵点G为BE的中点，
∴EG＝BG，
在△DEG和△FBG中，，
∴△DEG≌△FBG（AAS），
∴DE＝FB，
∴四边形DBFE是平行四边形；
（2）由（1）知四边形DBFE是平行四边形，
∴BD∥EF，
∴∠ABC＝∠EFC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠EFC＝∠C，
∵∠C＝2∠BEF，
∴∠EFC＝2∠BEF＝∠BEF+∠EBF，
∴∠BEF＝∠EBF，
∴BF＝EF，
∴平行四边形DBFE是菱形．
40．（2025春 大洼区校级月考）如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，∠ACB＝60°，将△DBC沿着BC的方向以每秒2cm的速度运动得到△DFE（如图②），连接AF，CD．
（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；
（2）若AC＝4cm，BC＝10cm，设运动时间为t秒，当t为何值时， AFDC是菱形？请说明你的理由．
【分析】（1）利用△ABF≌△DEC，得出AF＝CD，∠AFB＝∠DCE，进而求出∠AFC＝∠DGF，即可得出四边形AFDC是平行四边形；
（2）①利用当t＝3秒时，首先得出△AFC是等边三角形，进而求出AF＝AC，即可求出四边形AFDC是菱形．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，AB＝DE．
根据平移的性质得到：BF＝EC．
在△ABF与△DEC中，，
∴△ABF≌△DEC（SAS），
∴AF＝CD，∠AFB＝∠DCE，
∴∠AFC＝∠DGF，
∴AF∥DC，
∴四边形AFDC是平行四边形；
（2）解：当t＝3秒时，四边形AFDC是菱形，理由如下：
∵t＝3，
∴CF＝10﹣3×2＝4（cm），
∵AC＝4cm，
∴CF＝AC，
∵ACB＝60°，
∴△ACF是等边三角形，
∴AF＝AC，
∵四边形AFDC是平行四边形，
∴四边形AFDC是菱形．
41．（2025春 南平校级期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝100cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）用t的代数式表示：AE＝　4tcm ，DF＝　2tcm ；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）先由题意得到CD＝4tcm，AE＝2tcm，根据∠C＝30°，即可求出DF＝AE＝2tcm；
（2）先证明AEFD为平行四边形，当AE＝AD，平行四边形AEFD为菱形，由此建立方程求出t的值即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得：CD＝4tcm，AE＝2tcm，
∵DF⊥BC，
∴∠DFC＝90°，
∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴DFCD＝2tcm，
故答案为：4tcm，2tcm；
（2）四边形AEFD能够成为菱形，理由如下：
由（1）得：AE＝DF，
∵∠B＝∠DFC＝90°，
∴DF∥AE，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
若 AEFD为菱形，则AE＝AD，
∵AC＝100，CD＝4t，
∴AD＝100﹣4t，
∴2t＝100﹣4t，
∴，
∴当时，四边形AEFD能够成为菱形．
42．（2025春 开州区期中）爱学习的小月在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，用尺规过点A作BC垂线，交BC于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，AF＝AE．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC，
∴∠AFB＝90°，∠AED＝90°．
∴①　∠AFB＝∠AED ．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴②　∠B＝∠D ．
在△ABF与△ADE中
∴△ABF≌△ADE（AAS）
∴④AE＝AF ．
∵四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立．因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点⑤　到这两边的距离相等，则平行四边形是菱形　 ．
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法作图；
（2）根据菱形的定义证明．
【解答】解：（1）如图：点F即为所求；
（2）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，AF＝AE．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC，
∴∠AFB＝90°，∠AED＝90°．
∴∠AFB＝∠AED．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D．
在△ABF与△ADE中，，
∴△ABF≌△ADE（AAS），
∴AB＝AD．
∵四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立．
因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，该点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．
故答案为：∠AFB＝∠AED，∠B＝∠D，AB＝AD．AE＝AF，到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．
题型三．菱形的判定与性质
43．（2025春 德阳期末）下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相垂直 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．菱形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】D
【分析】由菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，故选项A不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直平分，故选项C不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
44．（2025春 工业园区校级期中）如图，两条宽都为1cm的纸条交叉成60°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为（　　）cm2．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点A作AF⊥BC于F，过点C作CE⊥AB于E，先证四边形ABCD是平行四边形，再证平行四边形ABCD是菱形，然后由30°所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理求出AB的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，过点A作AF⊥BC于F，
由题意可得AF＝CE＝1cm，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC AF＝AB CE，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∵AF⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAF＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴
∵AF＝1cm，
∴，
∴，即重叠四边形的面积为，故选：C．
45．（2025春 南岗区校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝6，则四边形CODE的周长为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【分析】先证明四边形CODE是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形CODE是菱形，即可求出周长．
【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，AC＝6，
∴，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为3×4＝12．故选：A．
46．（2025春 扬州期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（　　）
A． B． C．40 D．24
【答案】B
【分析】证明 ABCD是菱形，可得EF是△AOD的中位线，根据勾股定理求得AD，根据菱形的性质求得周长．
【解答】解：∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；
∵点E，F分别为AD，AO的中点，
∴AO＝2AF＝4，EF是△AOD的中位线，
∴OD＝2EF＝6，
∵平行四边形ABCD中，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AB＝AD，
∴，
∴菱形ABCD的周长．故选：B．
47．（2025 岳阳县一模）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（　　）
A．64° B．66° C．68° D．70°
【答案】C
【分析】根据作图可得四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．
【解答】解：作图可得AB＝AD＝BC＝DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ABD＝∠CBD
由条件可得∠MBC＝∠A＝44°，
∴∠CBD68°，故选：C．
48．（2026 长宁区二模）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，其上有一个四边形ABCD（A、B、C、D均为格点），那么下列说法中正确的是（　　）
A．四边形ABCD是菱形 B．四边形ABCD的周长是
C．四边形ABCD的面积是6 D．∠ABC＝∠ADC＝45°
【答案】C
【分析】根据菱形的判定，勾股定理，菱形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AD，BC＝CD2，
∵2，
∴AB≠BC，
∴四边形ABCD不是菱形，故A不符合题意；
四边形ABCD的周长是AB+AD+BC+CD＝42，故B不符合题意；
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积是AC BD3×4＝6，故C符合题意，
∵∠CBD＝∠CDB＝45°，
∴∠ABC＝∠ADC＞45°，故D不符合题意，
故选：C．
49．（2025 北京模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBOS菱形ABCD中，正确的结论个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】先判定四边形AEBD是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及菱形的性质，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝CD，AD∥BC，BD＝2DO，
又∵BE＝CD，
∴AD＝BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，
当BD＝AD时，四边形ADBE为菱形，故③不正确，
∴AE＝BD，
∴AE＝2DO，故①正确；
∵四边形ADBE是平行四边形，四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BD，AC⊥BD，
∴AE⊥AC，
即∠CAE＝90°，故②正确；
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴S△ABE＝S△ABDS菱形ABCD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴S△ABOS菱形ABCD，
∴S四边形AEBO＝S△ABE+S△ABOS菱形ABCD，故④正确；
正确的结论个数有3个，故选：C．
50．（2025春 黄山期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接AE，则下列结论：①AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；③OG∥AB；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】A
【分析】由四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD，然后根据平行四边形的判定可证四边形ABDE是平行四边形，然后通过平行四边形的性质即可判断①；由平行四边形的性质和全等三角形的判定方法即可判断②；由四边形ABDE是平行四边形，四边形ABCD是菱形，则OB＝OD，AG＝GD，然后通过中位线定理即可判断③；由四边形ABCD是菱形，得AB＝AD，则可证明△ABD是等边三角形，故有BD＝AB，通过菱形的判定方法即可判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD，
∵CD＝DE，
∴DE＝AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，
∴AC⊥AE，故①正确；
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AG＝DG，BG＝EG，
在△DEG和△ABG中，，
∴△DEG≌△ABG（SSS），故②正确；
∵四边形ABDE是平行四边形，四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AG＝GD，
∴OD是△ABD中位线，
∴OG∥AB，故③正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD＝AE，AB＝DE，
∴BD＝AE＝AB＝DE，
∴四边形ABDE是菱形，故④正确，
综上所述，正确的是①②③④，故选：A．
51．（2025春 江阳区校级期中）如图， ABCD中EF垂直平分对角线BD，若∠C＝63°，∠BFE＝50°，则∠ABE＝　37°　 ．
【答案】37°．
【分析】先证△DOE≌△BOF（AAS），可得四边形BEDF是菱形，据此求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AD∥BC，∠ABC＝180°﹣∠C＝117°，
∴∠DEO＝∠BFO，
∵∠DOE＝∠BOF，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE＝50°，
∴∠EBF＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBF＝37°，故答案为：37°．
52．（2025春 香坊区校级期中）如图，已知AB＝6，分别以A、B两点为圆心，5为半径画弧，两弧交于M、N两点，则四边形AMBN的面积是　24　 ．
【答案】24．
【分析】首先根据题意得到四边形AMBN是菱形，进而得到AB⊥MN，，然后利用勾股定理得到NO＝MO＝4，最后利用菱形的面积公式求解即可．
【解答】解：由题意得AM＝MB＝BN＝NA＝5，
∴四边形AMBN是菱形，
如图，设MN和AB交于点O，
∴，AB⊥MN，
∴，
∴MN＝2×4＝8，
∴四边形AMBN的面积是，故答案为：24．
53．（2025 碑林区校级三模）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作弧，交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点G，射线AG交BC于点E．若BF＝8.8，AB＝5.5，则AE的长为　6.6　 ．
【答案】6.6．
【分析】连接EF，设AE交BF于点O，证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
【解答】如图，连接EF，设AE交BF于点O，
由作图可知：AE⊥BF，OB＝OF＝4.4，∠BAE＝∠EAF，
由条件可知AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝AF＝5.5，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA＝OE，
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，AB＝5.5，
∴，
∴AE＝2OA＝6.6．故答案为：6.6．
54．（2025春 阿城区期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S平行四边形ABCD＝4S△BFG；④若AB＝6，AD＝4，那么．其中所有正确结论的序号是 　①②③　 ．
【答案】①②③．
【分析】①根据题意可证明四边形DEBF为平行四边形，继而可判断出此项正确；
②根据①的结论，再结合AD⊥BD，E为边AB的中点得出DE＝BE＝AE可判断出四边形BEDF是菱形；
③根据S△BFGS△BFGS△FCG，S△FCGS平行四边形ABCD，可得出结论；
④根据矩形的性质和勾股定理的逆定理即可得到结论．
【解答】解：①∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DE∥BF，故①正确．
②由①知四边形DEBF为平行四边形，
∵AD⊥BD，E为边AB的中点，
∴DE＝BE＝AE，
∴四边形BEDF是菱形，故②正确．
④∵AG∥DB，AD∥BG，AD⊥BD，
∴四边形AGBD为矩形，
∴AD＝BG＝BC，
∵AB＝6，AD＝4，
∴BF＝DF＝CF＝3，BC＝4，
∴CG＝8，
∵CG2﹣CF2＝82﹣32＝55＝FG2，
∴∠CFG＝90°，
∴FG⊥CD，
要使FG⊥CD，则BF＝BC＝BG，
而BF＝3，BC＝BG＝4，
∴BFCG，
∴FG⊥AB不恒成立，
∴不成立，故④错误．故④不正确．
③由④知BC＝BG，
∴S△BFGS△BFGS△FCG，
∵F为CD中点，
∴S△FCGS平行四边形ABCD，
∴S△BFGS平行四边形ABCD，故③正确．
综上可得：①②③正确．故答案为：①②③．
55．（2026春 天山区校级期中）如图，在Rt△ABF中，∠FAB＝90°，∠F＝30°，E，D分别是AF，BF的中点，连接ED并延长到点C，使CD＝2DE，连接BC，AD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，求菱形ABCD的周长．
【分析】（1）设DE＝a，则CD＝2DE＝2a，证明DE是△ABF的中位线得AB＝2DE＝2a，DE∥AB，由此得CD＝AB＝2a，则四边形ABCD是平行四边形，在Rt△ABF中，根据∠F＝30°得BF＝2AB＝4a，由直角三角形斜边中线性质得AD＝BD＝2a，则AD＝AB＝2a，据此可得出结论；
（2）由（1）可知设DE＝a，菱形ABCD的边长为2a，BD＝2a，进而得菱形ABCD的周长为8a，，则a，据此可得菱形ABCD的周长．
【解答】（1）证明：设DE＝a，
∴CD＝2DE＝2a，
∵点E，D分别是AF，BF的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴AB＝2DE＝2a，DE∥AB，
∴CD＝AB＝2a，
∵点C在ED的延长线上，
∴CD∥AB，
又∴CD＝AB＝2a，
∴四边形ABCD是平行四边形；
在Rt△ABF中，∠FAB＝90°，∠F＝30°，
∴BF＝2AB＝4a，
∵点D是BF的中点，
∴AD是Rt△ABF斜边BF上的中线，
∴AD＝BD＝FDBF＝2a，
∴AD＝AB＝2a，
∴平行四边形ABCD是菱形，
（2）解：由（1）可知：设DE＝a，菱形ABCD的边长为2a，BD＝2a，
∴菱形ABCD的周长为：8a，
又∵BD，
∴2a，
∴a，
∴菱形ABCD的周长为：8a．
56．（2026 大兴区一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，CD∥AB，点E，F分别为AC，BC的中点，DE∥CF．
（1）求证：四边形EFCD为菱形；
（2）若∠ADC＝90°，EF＝2，求AD的长．
【分析】（1）欲证明四边形EFCD为菱形，只需推知四边形EFCD为平行四边形，且CF＝EF；
（2）由菱形的性质知DE＝EF＝2；结合直角三角形斜边上中线的性质求得AC＝2DE＝4；最后利用勾股定理求得AD的长度．
【解答】（1）证明：∵点E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF∥AB，且EFAB．
∵CD∥AB，
∴EF∥CD．
又∵DE∥CF，
∴四边形EFCD为平行四边形．
∵AB＝BC，
∴EFBC．
∵F为BC的中点，
∴CFBC．
∴CF＝EF．
∴四边形EFCD为菱形；
（2）由（1）知，四边形EFCD为菱形，则DC＝DE＝EF＝2．
∵∠ADC＝90°，点E为AC的中点，
∴AC＝2DE＝4．
在直角△ACD中，利用勾股定理知：AD2．
57．（2025春 台江县校级期中）如图，在矩形ABCO中，延长AO到D，使DO＝AO，延长CO到E，使EO＝CO，连接AE、ED、DC、AC．
（1）求证：四边形AEDC是菱形；
（2）连接EB，若AE＝4，∠AED＝60°，求AEDC的面积．
【分析】（1）先根据矩形性质得AO⊥CO，再结合已知DO＝AO，EO＝CO，利用对角线互相平分且垂直的四边形是菱形来证明．
（2）由菱形性质和∠AED＝60°得出△AED是等边三角形，再通过等边三角形和矩形的线段关系求出对角线长度，最后用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCO是矩形，
∴∠AOC＝90°，即AO⊥CO，
又∵DO＝AO，EO＝CO，
∴四边形AEDC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵AD⊥CE（已证AO⊥CO，DO＝AO，EO＝CO，即对角线互相垂直 ），
∴四边形AEDC是菱形；
（2）解：∵四边形AEDC是菱形，
∴AE＝ED，
又∵∠AED＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴AD＝AE＝4，
∴OA＝OD＝2，
∴∠AEO＝∠DEO＝30°，
∴，
∴，
∴菱形AEDC的面积．
58．（2026 新泰市一模）如图，已知△ABC，按以下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②作直线MN，交BC于点G，交AB于点Q；
③以点A为圆心，AG长为半径作弧，交直线MN于点P，连接AP，BP．
（1）判断四边形APBG是何种特殊四边形，并说明理由；
（2）若AG＝13，PG＝10，求AB的长．
【分析】（1）由作图知MN垂直平分AB，AP＝AG，然后可得AP＝BP＝AG＝BG，进而问题可求解；
（2）由（1）可得AQ⊥PG，，，然后根据勾股定理可进行求解．
【解答】解：（1）四边形APBG是菱形，理由如下：
由作图知MN垂直平分AB，AP＝AG，
∴BG＝AG，BP＝AP，
∴AP＝BP＝AG＝BG，
∴四边形APBG是菱形；
（2）∵四边形APBG是菱形，
∴AQ⊥PG，，，
在Rt△AQG中，AQ2+QG2＝AG2，
∴AQ2＝132﹣52＝144，
∴AQ＝12，
∴AB＝2AQ＝2×12＝24．
59．（2025春 保山期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O在BD上，过点O作EF⊥BD分别交BC，AD于点E和点F，且BF∥DE．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若菱形BEDF的周长是32，BD+EF＝20，求OF OD的值．
【分析】（1）首先证明出四边形BEDF是平行四边形，然后结合EF⊥BD即可证明出四边形BEDF是菱形；
（2）首先根据菱形的性质得到FD＝32÷4＝8，OD+OF＝10，然后利用勾股定理得到OD2+OF2+2OD OF＝100，然后结合完全平方公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：∵菱形BEDF的周长是32，
∴FD＝32÷4＝8，BD＝2OD，EF＝2OF，
∵BD+EF＝20，
∴2OD+2OF＝20，
∴OD+OF＝10，
∴（OD+OF）2＝102，
∴OD2+OF2+2OD OF＝100，
∵EF⊥BD，
∴△DOF是直角三角形，
由勾股定理得：OD2+OF2＝DF2＝82＝64，
∴64+2OD OF＝100，
∴OD OF＝18．
60．（2025春 通辽期末）课本再现
思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（1）定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：如图1，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
（2）知识应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求证：平行四边形ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若，求CE的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得到AB＝AD，结合平行四边形的性质，得到AB＝BC＝CD＝AD即可证明四边形ABCD是菱形．
（2）①根据平行四边形的性质，得，结合AD2＝OA2+OD2，证明BD⊥AC，从而证明平行四边形ABCD是菱形；
②结合平行四边形ABCD是菱形，则AC平分∠BCD，因为∠ACB＝∠E+∠COE，，得∠COE＝∠E，故OC＝CE，即可作答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝CB，
∵BD⊥AC，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵AD2＝52＝32+42＝OA2+OD2，
∴∠AOD＝90°，
∴BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，
∴∠ACD＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠E+∠COE，
∴∠ACD＝∠E+∠COE，
∵，
∴∠ACD＝2∠E，
∴∠COE＝∠E，
∴OC＝CE，
由①得OC＝4，
∴CE＝4．
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题型突破10 菱形常考的3大题型
题型一．菱形的性质
1．（2025春 义乌市校级期中）已知菱形的周长为20，其中一条对角线的为8，则另一条对角线的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．（2025 安陆市校级模拟）在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（　　）
A．70° B．40° C．75° D．30°
3．（2025春 玉环市期中）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC＝6，BD＝8，则OM的长为（　　）
A． B．4 C．5 D．
4．（2025春 杭州期中）如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，连结BD．若BD＝24，AD＝13，则CE的长为（　　）
A． B． C．10 D．12
5．（2026春 钱塘区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．48 B．60 C．96 D．192
6．（2025春 建德市校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
7．（2026春 拱墅区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，连接CE、BE，且BE＝CD，设∠A＝β，∠DCE＝α，则关系正确的是（　　）
A．α+β＝90° B．2β+3α＝180°
C．2β﹣α＝90° D．3β﹣2α＝180°
8．（2026春 江北区校级期中）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．3
9．（2025春 临平区月考）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCA＝26°时，则∠ADC的度数为（　　）
A．26° B．52° C．128° D．154°
10．（2025春 西湖区校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，点P从点B出发，沿折线B﹣C﹣D方向移动，移动到点D停止，连结AP，DP．在△DAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（　　）
A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③①
11．（2025春 德清县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的边长为 　 　 ．
12．（2025春 宁海县期末）如图，BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，交BD于点F，若∠C＝140°，则∠BFA＝　 　 ．
13．（2025春 椒江区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接OE，若AB＝5，AC＝8，则OE＝　 　 ．
14．（2025春 拱墅区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若5BE＝3CD，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则菱形ABCD的面积为 　 　 ．
15．（2025春 慈溪市校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，点G、E、F分别是BD、AB、AD上的点，若GE+GF＝3，则AE+AF的值是　 　 ．
16．（2025春 嵊州市期末）如图，菱形ABCD的边长为5，点E在边AB上，连结CE，过点D作DF⊥CE于点F，CE，DF将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若EC＝DF+2，则线段AE的长度为 　 　 ．
17．（2025春 杭州校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC，AP＝a，PF＝b，PE＝c，则a，b，c满足的数量关系式为 　 　 ．
18．（2025春 镇海区校级月考）如图，点D，F把线段BH分成三条线段BD，DF，FH，分别以这三条线段为一条对角线作菱形ABCD，菱形DEFG，菱形FMHN，连结CE，EM，MG，GC组成四边形CEMG．若菱形DEFG的边长为17，BH＝44，DF＝30，则四边形CEMG的面积是　 　 ．
19．（2025春 杭州期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝72°，以点A为圆心，AB为半径画弧线，分别交BC，CD于点F，E，连接AE，AF，EF，BD．
（1）求∠EAF度数；
（2）求证：BD∥EF．
20．（2025春 吴兴区期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，连结FD，FE．
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形．
（2）连结BF，若四边形BEFD是菱形，BF＝12，AC＝8，求EF的长．
21．（2025春 杭州月考）如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，BD＝6．求：
（1）∠BAD的度数．
（2）若DH⊥BC，求线段AC和DH的长．
题型二．菱形的判定
22．（2025春 舟山期末）已知在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　）
A．AD＝AB B．∠ADB＝∠CDB C．OA＝OB D．AC⊥BD
23．（2026春 鼓楼区校级期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则添加下列条件，能使四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．∠A＝90° B．AC⊥BD C．AC＝DB D．CD＝AB
24．（2025 广州校级二模）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　）
A．点D在∠BAC的平分线上
B．AB＝AC
C．∠A＝90°
D．点D为BC的中点
25．（2025春 颍上县期末）在如图的方格纸中有一个四边形ABCD（A，B，C，D四点均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长都为1，则关于四边形ABCD的以下说法，错误的是（　　）
A．四边形ABCD是菱形
B．边长
C．四边形ABCD的面积是12
D．∠ABC＝∠ADC＝60°
26．（2025春 广阳区校级期中）在平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠BAC＞90°．要求在边BC，AD上分别找到点M，N，使四边形AMCN是菱形．下面有两种方案，下列判断正确的是（　　）
A．只有方案I可行 B．只有方案Ⅱ可行
C．方案I、Ⅱ都可行 D．方案I、Ⅱ都不可行
27．（2025春 安定区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，分别延长AD，CB至点F、E，使BE＝DF，连接AE、CF，请再添加一个条件：　 　 ，使四边形AECF是菱形．
28．（2025春 仁和区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作 CDEB，当AD＝ 　 　 ， CDEB为菱形．
29．（2025春 炎陵县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，从①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD是菱形，则应选择　 　 （限填序号）．
30．（2025春 海珠区校级期中）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为菱形，则四边形ABCD需满足的条件是　 　 ．
31．（2025春 盖州市期中）如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动，在此运动过程中，四边形PQCD是平行四边形出现　 　 次．当P出发　 　 秒时，四边形PQCD是菱形．
32．（2025 泰和县校级模拟）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（﹣3，0），AD＝6．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线AB上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为 　 　 ．
33．（2025春 中山市期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝4，BD＝2，，求证： ABCD是菱形．
34．（2026 秦淮区一模）如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，F是边BC上一点，EF∥CD．求证：四边形ABFE是菱形．
35．（2025春 大丰区期中）已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是菱形．
36．（2024秋 万安县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．求证：四边形ADCF是菱形．
37．（2025春 渭城区校级月考）求证：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．
如图，已知①　 　 ，垂足为O，OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA．
求证：②　 　 ．
嘉琪同学画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你帮助嘉琪补全已知和求证，并写出证明过程．
38．（2025春 长宁区校级期中）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H，联结EH、FG．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．
39．（2025春 长安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为边AB、AC上的点，DE∥BC，联结BE，点G为BE的中点，联结DG，并延长交边BC于F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）如果∠C＝2∠BEF，求证：四边形DBFE是菱形．
证明：
40．（2025春 大洼区校级月考）如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，∠ACB＝60°，将△DBC沿着BC的方向以每秒2cm的速度运动得到△DFE（如图②），连接AF，CD．
（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；
（2）若AC＝4cm，BC＝10cm，设运动时间为t秒，当t为何值时， AFDC是菱形？请说明你的理由．
41．（2025春 南平校级期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝100cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）用t的代数式表示：AE＝　 　 ，DF＝　 　 ；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
42．（2025春 开州区期中）爱学习的小月在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，用尺规过点A作BC垂线，交BC于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，AF＝AE．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC，
∴∠AFB＝90°，∠AED＝90°．
∴①　 　 ．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴②　 　 ．
在△ABF与△ADE中
∴△ABF≌△ADE（AAS）
∴④　 　 ．
∵四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
小月进一步研究发现，若过这个顶点与两条对边垂直的直线与两条对边的延长线相交，结论仍然成立．因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点⑤　 　 ．
题型三．菱形的判定与性质
43．（2025春 德阳期末）下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相垂直
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．菱形的对角线相等
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
44．（2025春 工业园区校级期中）如图，两条宽都为1cm的纸条交叉成60°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为（　　）cm2．
A． B． C． D．
45．（2025春 南岗区校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝6，则四边形CODE的周长为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
46．（2025春 扬州期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（　　）
A． B． C．40 D．24
47．（2025 岳阳县一模）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（　　）
A．64° B．66° C．68° D．70°
48．（2026 长宁区二模）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，其上有一个四边形ABCD（A、B、C、D均为格点），那么下列说法中正确的是（　　）
A．四边形ABCD是菱形
B．四边形ABCD的周长是
C．四边形ABCD的面积是6
D．∠ABC＝∠ADC＝45°
49．（2025 北京模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBOS菱形ABCD中，正确的结论个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
50．（2025春 黄山期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接AE，则下列结论：①AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；③OG∥AB；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
51．（2025春 江阳区校级期中）如图， ABCD中EF垂直平分对角线BD，若∠C＝63°，∠BFE＝50°，则∠ABE＝　 　 ．
52．（2025春 香坊区校级期中）如图，已知AB＝6，分别以A、B两点为圆心，5为半径画弧，两弧交于M、N两点，则四边形AMBN的面积是　 　 ．
53．（2025 碑林区校级三模）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作弧，交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点G，射线AG交BC于点E．若BF＝8.8，AB＝5.5，则AE的长为　 　 ．
54．（2025春 阿城区期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③S平行四边形ABCD＝4S△BFG；④若AB＝6，AD＝4，那么．其中所有正确结论的序号是 　 　 ．
55．（2026春 天山区校级期中）如图，在Rt△ABF中，∠FAB＝90°，∠F＝30°，E，D分别是AF，BF的中点，连接ED并延长到点C，使CD＝2DE，连接BC，AD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，求菱形ABCD的周长．
56．（2026 大兴区一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，CD∥AB，点E，F分别为AC，BC的中点，DE∥CF．
（1）求证：四边形EFCD为菱形；
（2）若∠ADC＝90°，EF＝2，求AD的长．
57．（2025春 台江县校级期中）如图，在矩形ABCO中，延长AO到D，使DO＝AO，延长CO到E，使EO＝CO，连接AE、ED、DC、AC．
（1）求证：四边形AEDC是菱形；
（2）连接EB，若AE＝4，∠AED＝60°，求AEDC的面积．
58．（2026 新泰市一模）如图，已知△ABC，按以下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②作直线MN，交BC于点G，交AB于点Q；
③以点A为圆心，AG长为半径作弧，交直线MN于点P，连接AP，BP．
（1）判断四边形APBG是何种特殊四边形，并说明理由；
（2）若AG＝13，PG＝10，求AB的长．
59．（2025春 保山期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O在BD上，过点O作EF⊥BD分别交BC，AD于点E和点F，且BF∥DE．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若菱形BEDF的周长是32，BD+EF＝20，求OF OD的值．
60．（2025春 通辽期末）课本再现
思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（1）定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：如图1，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
（2）知识应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求证：平行四边形ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若，求CE的长．
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