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第八章 立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
教学内容
1.斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图；
2.正等测画法画水平放置的圆的直观图.
第一课时 斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
教学目标：
1. 理解直观图的概念和平行投影与斜二测画法的关系；掌握斜二测画法画水平放置的平面图形的三个核心步骤；知道水平放置的圆的直观图用椭圆表示。
2. 能运用斜二测画法正确绘制水平放置的矩形、正三角形、正六边形等平面多边形的直观图；能辨析斜二测画法中线段长度、平行关系、角度的变化规律。
3. 通过观察生活中的投影现象、探究斜二测画法的规则，发展直观想象素养；通过抽象概括画法步骤、动手绘制直观图，提升数学抽象和数学运算素养；通过小组合作探究画法应用，培养逻辑推理和数学建模素养.
1.教学重点：
（1）直观图的概念和平行投影与斜二测画法的关联；
（2）斜二测画法画水平放置的平面图形的核心步骤；
（3）运用斜二测画法绘制正六边形等典型平面多边形的直观图.
2.教学难点：
（1）理解斜二测画法中“y轴方向线段长度减半”“角度变为45°/135°”的合理性，体会直观图的“直观性”与“变形性”的统一；
（2）绘制平面图形时，正确建立坐标轴、确定各顶点的位置，尤其是不规则多边形或对称图形的顶点坐标（位置）确定；
（3）辨析斜二测画法中线段长度、角度的变化规律，避免将直观图的形状与原图形的形状直接等同。
教学重点和难点：
环节一 创设情境，提出问题
问题1：我们已经认识了柱、锥、台、球等空间几何体，这些几何体存在于三维空间中，而我们的作业本、黑板都是二维平面，如何将三维的空间几何体画在平面上，让我们能根据平面图形想象出空间形状呢？
直观图的概念：观察者站在某一点观察空间几何体获得的图形，是用平面图形表示空间图形的形式，其本质是平行投影下的平面图形，直观图与原立体图形的真实形状不完全相同，但保留核心结构特征；
环节一 创设情境，提出问题
问题2：如图8.2-1,矩形窗户在阳光照耀下留在地面上的影子是什么形状 眺望远处成块的农田， 矩形的农田在我们眼里又是什么形状
问题3：一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关.如果一个矩形垂直于投影面,投影线不垂直于投影面,则矩形的平行投影是什么形状
平行投影是画直观图的基础，人们利用平行投影总结出了画直观图的常用方法:斜二测画法.
环节一 创设情境，提出问题
追问：矩形的平行投影与原矩形有什么异同？它们能反映原图形的基本结构吗？
不变：
变：
边数、平行关系，水平线段的长度；
角度、原矩形竖立方向的线段长度.
环节二 师生互动，探究新知
问题4：斜二测画法的步骤是怎样的 请你阅读教科书107至108页完成.请你依据斜二测画法的步骤尝试画出正方形的直观图.
(1)建轴：在已知图形中取相互垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O′, 且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.
(2)保平行：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴和y'轴的线段.
(3)定长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.
y
x
y'
x
O'
B'
D'
C'
环节二 师生互动，探究新知
追问:你能利用斜二测画法作等腰三角形、正三角形的直观图吗？直观图的面积发生了怎样的变化？
O
x
y
C'
E
y
x
O
环节三 例题联系，巩固理解
例1.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
追问1 你会如何建系？作图过程中，x轴和y轴起什么作用
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x轴和y轴起到参照系的作用，为确定正六边形各个顶点的位置提供基准.
环节三 例题联系，巩固理解
M
N
x
y
O
(1)取AD所在直线为x 轴 ，AD的垂直平分线为y 轴，两轴相交于点O,y 轴交EF于点M，交BC于点N. 如图8.2-4(2),画相应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.
以第一种建系为例，作图步骤为：
x'
y'
O'
A'
D'
N'
M'
B'
C'
F'
E'
(2)以O'为中点,在x'轴上取A'D'=AD,在y'轴上取M'N'=1/2MN.以N'点为中点,画B'C'平行于x'轴,并且等于BC;再以M'为中点,画F'E'平行于x'轴,并且等于FE.
(3)连接A'B'、C'D'、D'E'、F'A',并擦去辅助线x'轴和y'轴,便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'.
环节三 例题联系，巩固理解
M
N
x
y
O
x'
y'
O'
A'
D'
N'
M'
B'
C'
F'
E'
追问3 通过前面的探究及例1,你认为相等的线段在直观图中仍然相等吗 平行的线段仍然平行吗 直线的夹角大小改变了吗
追问2 你认为画水平放置的平面多边形的直观图的关键是什么
步骤：取轴、定点、连线、成图.
相等的线段在直观图中不一定相等，平行的线段在直观图中一定平行，相等的角在直观图中不一定相等.
环节四 学习规则，掌握技能
问题5：如果按照斜二测画法绘制水平放置的圆，则会得到如图的直观图，但这个直观图与我们的直觉相悖，那水平放置的圆的直观图如何绘制才能更符合我们的直觉呢 请大家阅读教科书109页内容，尝试按照书上方法画出水平放置的圆的直观图.
x'
y'
O'
x
y
O
环节四 学习规则，掌握技能
问题5：如果按照斜二测画法绘制水平放置的圆，则会得到如图的直观图，但这个直观图与我们的直觉相悖，那水平放置的圆的直观图如何绘制才能更符合我们的直觉呢 请大家阅读教科书109页内容，尝试按照书上方法画出水平放置的圆的直观图.
正等测法作圆的直观图：
环节四 学习规则，掌握技能
问题5：如果按照斜二测画法绘制水平放置的圆，则会得到如图的直观图，但这个直观图与我们的直觉相悖，那水平放置的圆的直观图如何绘制才能更符合我们的直觉呢 请大家阅读教科书109页内容，尝试按照书上方法画出水平放置的圆的直观图.
环节五 小节提升，形成结构
问题6：请你回顾本节课的学习探究过程，回答以下问题：
(1)我们是借助初中学习过的什么知识得到斜二测画法的
(2)用斜二测画法画平面多边形直观图的作图关键是什么 你能用简短的语言描述作图步骤吗
(3)你能举例说说不同的平面多边形的直观图的大致形状吗
(4)我们研究图形的直观图的意义是什么
(5)如果让你尝试用斜二测画法画出正三棱柱的直观图，你觉得最困难的地方在哪里
环节六 作业布置，应用迁移
作业1:教科书第112页习题8.2第5题
作业2:已知某水平放置的平面图形的直观图如图所示, ∠A'B'C'=45°,B'A'=B'C'=2,请画出原图，并计算原图的面积.
B'
A'
C'
下课
Thanks!
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